上海2017-2026年高考数学复习：函数的概念与性质（学生版）

考点01函数及其表示

1.(2026・上海・高考真题)对了函数y=/(x),xeD,设为=心,田|”/(x),xe。｝.对丁点集M,若存

在(%,为)eM,使得任取总有"打,则称(小,")为“最低点”.对于函数丁=/(力和产g(%),

以下说法中正确的是()

A.若尸=/(4)和y=g(x)都有最小值,则4/n4有最低点:

B.若4n4有最低点，则y=/(x)和y=g(x)都有最小值；

C.若y=/(x)或y=g(x)有最小值，则4U4有最低点；

D.若4/U4有最低点，则歹二/卜)或歹=8(工)有最小值.

2.(2018・上海・高考真题)设。是含数1的有限实数集，/(X)是定义在。上的函数，若/(幻的图像绕原点

逆时针旋转?后与原图像重合，则在以下各项中，/⑴的可能取值只能是()

6

A.百B.—C.—D.0

23

1

3.（2019•上海•高考真题）卜列函数中，值域为[0,e）的是

x

A.y=2B.v_JC.y=tanxD.N=co注

Jy-A

1,x>0

4.（2025•上海•高考真题）已知/（》）=•0,x=0,1、及万是平面内三个不同的单位向量.若

-1,x<0

f（ab）+f（b否+/（D）=0,则11B+0|的取值范围是.

5.（2025•上海•高考真题）已知全集^=｛娟2«X45/£1<｝,集合4=｛X|24.X<4,X€R｝,则彳=.

f（X）x20

6.（2024•上海•高考真题）已知/'（幻=幺芯（幻="八，求g（x）W27的x的取值范围.

7.（2024•上海•高考真题）函数y=log/的定义域为.

8.（2024・上海・高考真题）已知=则〃3）=______.

[1,A<0

9.（2023・上海・高考真题）已知f（x）=H，则/（、）的值域是；

l,x<0

10.（2022・上海•高考真题）设函数/。）满足f（x）=/｛击｝定义域为力=[0,”），值域为力，若集合

bb，=〃x）,xw[0,。]｝可取得力中所有值，则参数。的取值范围为.

考点02函数的基本性质

1.（2025•上海・高考真题）已知4（01）,例1,2）,C在心0）上，则的面积（）

A.有最大值，但没有最小值B.没有最大值，但有最小值

C.既有最大值，也有最小值D.既没有最大值，也没有最小值

2.（2023•上海•高考真题）下列函数是偶函数的是（）.

A.y=sinxB.P=cosxC.y=x3D.y=2x

3.（2021•上海•高考真题）已知函数），=/"）的定义域为R,下列是/W无最大值的充分条件是（）

A.八幻为偶函数且关于直线x=l对称B./J）为偶函数且关于点（1,1）对称

C./（幻为奇函数且关于直线x=l对称D./（x）为奇函数且关于点（1,1）对称

4.（2020•上海•高考真题）若存在awR且。工0,对任意的xeR,均有</（均+/（。）恒成立，则

称函数/（x）具有性质P，已知：4：/"）单调递减，且/（幻>0“亘成立；%：八用单调递增，存在x0<0使

得/'（%）=0,则是/（x）具有性质尸的充分条件是（）

2

A.只有/B.只有%

C.%和/D.%和%都不是

5.(2016・上海・高考真题)设/()、g(x)、力(力是定义域为是的三个函数,对于命题：①若f(x)+g(x)、

/(x)+〃(x)、g(x)+力(X)均为增函数，则/(%)、g(x)、h(x)中至少芍一个增函数；②若/(x)+g(x)、/(x)+〃(x)、

g(x)+〃(x)均是以r为周期的函数，则/(.*)、g(x)、力(X)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是

A.①和②均为真命题

B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题

D.①为假命题，②为真命题

6.(2026•上海•高考真题)已知函数/(上)是偶函数，当"0时，=若〃-4)=3,则

a=.

7.(2024•上海•高考真题)若函数/(X)=X3+〃(XGR)是奇函数，则实数。=.

a2x-\,x<0

8.(2022•上海•高考真题)若函数/(x)=,x+«,x>0,为奇函数，则参数〃的值为.

0,x=0

9.(2018•上海•高考真题)在平面直角坐标系中，已知点力(-1,0)、5(2,0),E、厂是N轴上的两个动点，

且|而|=2,则荏•丽的最小值为

1().(2017・上海・高考真题)定义在(0,+⑹上的函数y=/(x)的反函数为了=.广(》)，若g(x)=:::

为奇函数，则厂1(力=2的解为.

11.(2017•上海•高考真题)已知四个函数：①y=~x；②y=--i③y=x\④%.从中任

选2个，则事件”所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为

12.(2026•上海•高考真题)已知。"；左)是1,2,3的一个排列，若函数工(x),人(力，/(力，对任意xeI,

都有工(力4工。)且工(x)+/(x)«〃x)+£.(x),则称(i,j㈤是关于工(x),人⑴，人(力的一个/排列，

则关于工卜)，人(戈)，AU)的/排列总数记为勺.

2

(1)已知/=[3,+8),/(x)=x,ZW=0,f.(x)=x+\t判断(3,1,2)是否为/排列：

(2)对/=(。,口)，/(x)=x-l,f2(x)=x+m,八(X)=/满足条件的%=6,求〃?的取值范围；

3

(3)对'x«0,*o),且对任怠x«O,E),0<F(x)<l,令/=［a,+oo),/(x)=F(x),

人(x)=；(F(x+a)+Wx-a)),£(x)=l-e7,证明：若P(x)严格减，则存在a>0,使〃/之4：若尸(x)严

格增，则存在ae(O,l),%H2.

13.(2026•上海•高考真题)设/(x)是定义在R上的函数.定义性质P：若对任意司,当£%当园〈网时，

/(再)</(%)，则称函数)(力具有“性质P”.

⑴判断函数/(x)=G'是否具有“性质P”；

(2)若分段函数=具有“性质尸”，求所有满足条件的实数〃和人的解；

⑶已知/(X)的值域为［0［)，且在［0,心)上是严格增函数，证明：/(x)是偶函数的充要条件是：/(x)具有

“性质产

14.(2024•上海,高考真题)已知函数/(工)=108乂4>0,4=1).

(1)若函数7=/。)的图象经过点(4,2),求解不等式/(2x-2)</(x)；

(2)若存在x,使得/(x+1)、/(融)、/(4+2)依次成等差数列，求。的取值范围.

15.(2022•上海•高考真题)已知函数/⑸,甲变化:/(x)-/(x-O；乙变化:|/(x+O-/(x)|,/>0.

⑴若，=1,八公=23/CD经甲变化得到g(x),求方程g(x)=2的解;

(2)若/(x)=x2,/(x)经乙变化得到力(X),求不等式h(x)</(x)的解集;

(3)若/(用在(一*0)上单调递增，将八外先进行甲变化得到〃(x),再将《r)进行乙变化得到％(x)；将〃幻

先进行乙变化得到Wx),再将行劝进行甲变化得到饱(幻,若对任意经0,总存在似外=似幻成立,求证：

/(X)在R上单调递增.

16.(2018•上海•高考真题)设常数数函数/(x)=asin2x+2cos2x.

(1)若/")为偶函数，求。的值;

(2)若/(f)=6+l,求方程/'(幻=1-夜在区间［-工兀］上的解.

4

17.(2017•上海•高考真题)设定义在R上的函数/(均满足：对于任意的耳、x2eR,当时，都有

(I)若/(A)=ax:'+1,求。的取值范围;

4

(2)若/(x)为周期函数，证明：/(.，)是常值函数；

(3)设/(x)恒大于零，g(x)是定义在R上、恒大于零的周期函数，河是g(x)的最大值.

函数〃(x)=/Q)g(x).证明：“力(M是周期函数”的充要条件是“/(x)是常值函数

一、单选题

1.(2026・上海黄浦•三模)设U,。均为非空集合，函数y=/(x)的定义域为。，若存在与wo,使得对任

意xsD,均有〃x)-/(x0)eU,则称函数尸/(x)具有“。性质”.下列说法中正确的是().

A.“仆=0”是“函数/")=4具有［0,位)性质，”的充分非必要条件

B.设。=R,则“函数y=/(x)具有［0,+8)性质，”是“y=/(x)具有最小值”的必要非充分条件

C.设。二R,“6-心2”是“函数/(x)=cosx具有，［巴可性质，”的充分必要条件

D.设。=R,“函数y=/(x)具有【〃肉性质是"，=/")具有性质’”的既非充分又非必要条

件

2.(2026•上海•三模)设函数y=〃})定义域为R,且对任意xeR,不等式|/(x)归2026恒成立，设〃、力£R,

定义8⑪(刈=)。)-/(如+。,现给出如下两个命题:

①若y=/(x)是周期函数，则对于任意实数〃WR,函数y=g0.o(x)是周期函数；

②函数y=/(x)存在正整数周期，当且仅当函数y=g"(x)存在正整数周期；

下列选项中正确的是()

A.①②都是真命题B.①②都是假命题

C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题

3.(2026・上海虹口三模)已知函数〉=/3是定义在口上的奇函数，且同小丝幽=2,则函数二/(工)

xh

的表达式可以是().

A./(x)=2c*+2B.f［x}=ex-e~x

C./(x)=cos2xD.f(x)=x-sinx

4.(2026・上海黄浦•二模)设函数>=/(x)的定义域为R,则下列结论：①若y=/'(x)是奇函数或偶函数，

2R

且在区间［0,”)上严格增，则对任意的占,々wR，/(xl)>/(x2)=>.r1>只或<>^；②若对任意的玉e，

5

X；=¥=[/（XJ]2=[/（X2）]2,则k/（X）是奇函数或偶函数.具中正确的说法是（）.

A.①和②均正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①和②均错误

5.（2026•上海•二模）设y=/卜）和y=g（x）是两个不同的函教，且定义域和值域均为R,设

例=｛（〃,力）|/（〃）*优）4力6对，则对于以下两个结论，说法正确的是（）

结论①：若当恒有则函数J=/（x）一定是偶函数；

结论②：若当（〃/）€”,恒有（t,-〃）£例，则函数V=g（x）可以不是偶函数.

A.①和②都正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①和②都错误

6.（2026・上海崇明•二模）下列函数中，在R上为严格增函数的是（）

A.y=x2B.y=|x|C.y=sinxD.y=x3

7.（2026・上海闵行•二模）已知定义在R上的偶函数y=/（x）在[0,”）上是严格减函数，若⑴,

则工的取值范围为（）

A.（0,2）B.（-2,2）C.（-2,0）D.（-1,1）

8.（2026•上海金山•二模）函数y=cos（1-2x）是（）

A.最小正周期为冗的奇函数B.最小正周期为兀的偶函数

C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数

9.（2026•上海长宁•二模）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）

A.y=x2B.y=x3C.y=2xD.^=lgv

10.（2026・上海静安•二模）函数》=）的大致图象是（）

6

二、填空题

11.(2026•上海虹口•三模)设函数/(x)='-当x<l时，/1/(X)]表达式的二项展开式中f的

I-x+2,x<I

系数是.

12.(2026・上海黄浦•三模)求函数y=j2sinx-l的定义域.

13.(2026•上海嘉定•二模)将函数xw[0J的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到

曲线C.若对于每一个角0,曲线。都是一个函数的图象，则。的最大值为.

14.(2026•上海普陀•二模)已知向量值=(1,2),^=(-1,1),工=(3,4),函数y=/(%)的表达式为

x+lx<2—一一—一

/(x)=11设Z(x)=/(x)“+/(x+2)'，若Z(x)〃%则“=.

15.(2026・上海•三模)已知贝U/(x)W6的解集是

/(-x),x<0

16.(2026・上海•三模)已知函数y=/(x)的定义域为{12…,9},值域4q{1,2,3,4,5},且对任意正整数

^[1,8],W|/(^+l)-/(A9|>3.则符合条件的函数尸/⑴的个数为.

17.(2026・上海徐汇•二模)如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意

图.将种植坡面视为坡角为。的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药

的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴、母线与轴夹角为45°的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，

航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响：则飞行过程中会

在种植坡面上形成一条宽为“夕)米的“农药条带”.当0Y6W1S时，”夕)的最大值为.(结果精

确到0.01)

航线无人机

18.(2026・上海静安•二模)设。>0,函数/(x)={〃2一—给出下列三个结论:

-\[x-\,x>a

①y=/(x)在区间(a-L”)上单调递减；

②当。21时，)，=/")存在最大值;

7

③设用(再,/&))(玉

so)，/v(x2,/(x2))(x2>a),JUIJ\MN\>1.

其中所有正确结论的序号是.

19.(2026•上海普陀•二模)设定义域为R的函数y=/(x)的导函数为y=/'(x),令

g(x)=r(x)+(x+J7W『，若函数y=/3和函数y=g(x)皆为偶函数，则不等式〃x+2)>/(2x—3)的

解集为.

20.(2026・上海静安•二模)已知定义在R上的偶函数尸”X)的最小正周期为2,当时，/(x)=x,

则当7W8时，f(x)=.

21.(2026•上海杨浦•二模)不等式3、+log2X<3的解集为.

22.(2026•上海奉贤•二模)已知函数片八、八是奇函数，则人

x(/)x+l),x<0------------

23.(2026•上海•三模)若。为常数，且函数/(力=怆(含+。)是奇函数，则。的值为.

g(x),14xv〃

24.(2026•上海•三模)定义：若/(x)=，则称/*)是函数g(x)的〃倍伸缩周期函数.设

g(x)=sin(7Lx),且〃x)是g㈤的2倍伸缩周期函数.若对于任意的X£(l,m),都有/(x)N-8,则实数〃[的

最大值为__________

三、解答题

25.(2026・上海•三模)设y=/(x)是定义在。上的函数，若对任何实数ae(0/)以及。中的任意两个实数

xlfx2,恒有/伍为+(1-0)占)4。/(石)+(1-。)/(/)，则称。=/有)为C函数.

(1)判断函数了二-Lxw(0,+8)是否为C函数，说明理由；

X

(2)已知胴是实数，函数尸,一〃N，xw[l,+8)是C函数，求，〃的最大值；

(3)若，=/卜)是定义域为R的C函数，求证：“存在实数%,使得/(力=依恒成立”是“存在非零实数7,使

得〃"7)=/(力+/任)恒成立，,的充要条件.

26.(2026•上海徐汇•二模)已知函数歹二/(x),其中/")=生士里MwR且00.

”g(x)

⑴设g(x)=2',写出函数y=/(工)的定义域，并判断是否存在正数。，使得函数y=/(x)为奇函数，说明

8

理由；

⑵没g(x)=log2X.若关于X的方程/(x)=g(x)的解集为单元素奠合，求正数。的值.

27.(2026•上海奉贤•二模)已知函数y=/(x)的表达式为/(x)=sing+p),[恭。<]),

(1)/(0)=|,求的值：

⑵若/(；)，/⑴’/(2)依次成等比数列，求e的值.

28.(2026・上海金山•二模)若函数y=/(x),xe。，其值域为4.若力Q。，则称函数y=/")在区间。

上为封闭函数.

7Y4-

(1)已知/(x)=m，判断函数,=/(x)是否在区间[2,8]上为封闭函数，并说明理由；

(2)已知g(x)=d+2x,若函数y=g(x)在区间句上不为单调函数，但在区间[。向上为封闭函数，求b-a

的最大值；

(3)已知函数J="(x)在区间[4句上连续且为封闭函数,且对于任意的x、ye[a,b]t都有

卜卜)一〃(9)卜小一出04£<1)成立.若数列上｝满足％=〃«),且〃eN,证明：存在唯一常数

。《〃，可，使得/i(c)=c,且对于任意的$w[a,6],都有」WHL"=c.

29.(2026・上海•三模)设S,"R,对于定义域为。的函数y=f(x)与P=g(x),人(力=加(力+名(力,若

函数9=〃")是区间。上的单调两数，则称y=/(x)与歹=g(x)在区间。上满足“性质M(s,/)”.

2

⑴设。=[2,+00),f(x)=x,g(x)=xf若J，=/(x)与y=g(x)在区间。上满足“性质历(1")”，求。的取

值范围；

(2)设s>0,Q=(0,l],/(x)=x,g(x)=-—.若y=/(x)与y=g(x)在区间。上满足“性质”(s/)”，

求上的取值范围：

*

(3)设。=R,若对任意s、t,函数y=/(x)与7=g(x)在R上都满足“性质〃(取)”.求证：存在不全为零

的实数/、B，使得函数y="(x)+8g(x)为常值函数.

30.(2026・上海长宁•二模)设连续函数y=/(x)定义域为/,区间。皿，记函数)，=/(%)在区间。上的

最大值为最小值为吗M).

⑴设以，。=(-1,1),若%(0=/(0),求实数〃的值；

9

(2)设/⑺=£_3/,D=[t,t+2],若MJ。)—吗(。)=4,且-1q41,求/的值；

(3)已知/(0)=0,/(1)=1,且对任意闭区间。口0川，场(。)与吗(力)均存在.

求证:“尸/(X)在区间[0』上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间A、2，当%(〃)=%(2),

且吗(A)=加/(。2)时，均有。1=2

31.(2026•上海杨浦•二模)设函数，=/卜)的定义域为。，值域若阳,吃£。且满足

/&)+/(/)=/($+当)，则称演与9构成“函数y=/6)的线性对”.

⑴若/(x)=cosx，判断方与冗是否构成函数y=/(x)的线性对，并说明理由：

(2)若/(戈)=2'—；，。=(e,()).若对于任意王«-8,a)(常数a«0),都存在吃€。，使得办与超构成函

数了=/")的线性对，求”的取值范围；

⑶函数N=/(x)是定义在R上的奇函数，且满足：若司与毛构成函