2026-2027学年浙教版八年级数学上册 第2章 特殊三角形 能力评价

第2章特殊三角形能力评价

（满分：120分时间：120分钟）

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.下列四个图形中，属于轴对称图形的是（）

0火d⑨

A.B.C.D.

2.如图，点石在正方形/3CD的边A8上。若EB=1,EC=2,则正方形A5CD的

面积为（）

A.V3B.3C.V5D.5

第2题图第3题图

3.如图，在△ABC中，，43=AC,ZBAC=100°,A5的垂直平分线分别交A3,BC

于点O,E,连结AE,则N5AE的度数为（）

A.80°B.60°C.50°D.40°

4.如图，在△ABC中，ZB=45°,NA>NACB>NB,尺规作图操作如下：（1）以

点8为圆心，适当长为半径画弧，分别交边84,BC于点、M,N；（2）以点。为

圆心，8N长为半径画弧，交边CB于点、V；再以点N，为圆心，MN长为半径画

弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点（3）过点M画射线

CM',交边AB于点、A下列结论错误的是（）

/、NN、C

A"B=/DCBB.ZBDC=90°

C.DB=DCD.AD-iDC=BC

5.如图，/M02100。，点A在射线OM上，以点。为圆心，04长为半径画弧，

交射线ON于点儿若分别以点A,8为圆心，长为半径画弧，两弧在NMON

内部相交于点C,连结AC,则N。4c的度数为（）

A.800B.100°C.I10°D.1200

第5题图

6.如图，在△人〃C中，NAC^=90°,。。，人片,垂足为0万是八〃的中点，CD=DE=a,

则A8的长为（）

A.2。B.2。C.3〃D.2岛

7.如图，在RQA8C中，AO8C=&，点。在43的延长线上，且CD=AB,则

B。的长是（）

A.V5-1B.V3-1C.2-v2D.2-V3

第7题图

8.意大利著名画家达・芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理。若设左图中空白

部分的面积为N,右图中空白部分的面积为S2,则下列表示Si,S2的等式成立

的是（）

人5=,+/+2"B.S尸〃+序+岫

22

C.S2=cD.S2=c-\--2ab

9.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳0A与地面垂直,摆绳长2m,

向前荡起到最高点8处时距地面高度1.3m,摆动水平距离8。为1.6m,然后向

后摆到最高点C处。若前后摆动过程中绳始终拉直，且08与0C成90。角，则

小丽在C处时距离地面的高度是（）

A.0.9mB.1.3mC.I.6mD.2m

第9题图

10.如图，在RtAABC中，AC=3,BC=4,ZACB=90°fP,。分别是边A8和8C

上的动点，且始终保持AP=8。，连结AQ,CP,则AQ+C尸的最小值为

()

A.V45B.V34C.V27D.6

第10题图

二、填空题（本题有6,卜题，每小题3分，共18分）

11.（3分）命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是,这个逆命题是_

（填“真”或“假”）命题。

12.（3分）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m,

则梯子顶端的高度h为mo

13.（3分）如图，在△/仍。中，AB=AC,以点C为圆心，C8长为半径作弧，交AC

的延长线丁点。，连结30。若NA=32Z则NCDB的度数为%

/

AR

14.（3分汝I图，在ZkABC中，ZC=90°,N8=30。，AO平分NCA8,交BC于点D。

若CZ>1,则80=。

15.（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，AC的长为半

径画弧，交于点。；（2）分别以点C和点。为圆心，大于的长为半径画

弧，两弧相交于点F；（3）画射线AF,交BC于点E。若NC=2NB,BC=23,BD=13,

则AE的长为。

第15题图

16.（3分）如图，在ZkACD中，AC=DC=2,ZACD=90°.分别以AACQ的边AD,

AC,CO为直径画半圆，所得两个月形图案（图中阴影部分）的面积之和为,

三、解答题（本题有8小题，共72分）

17.（8分）如图，在△/WC中，。是三角形内一点，连结OA,DB,DC.若Nl=/

2,Z3=Z4,求证：AB=ACO

18.（8分）如图，花果山上有两只猴子在一棵树CZ）上的点8处，且8C=5m,它

们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处,

另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处。已知两只猴子所

经过的路程相等，设为x（m）。

（1）（4分）请用含有x的代数式表示线段A。的长为mo

（2）（4分）求这棵树的高CD的长。

19.（8分）如图，在RSABC中，N4c3=90。，AB=®AC=1,分别以点A,B为

圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN,分别交人8,

BC于点、D,E,连结CO,AEO求：

（1）（4分）CO的长。

（2）（4分）A4CE的周长c

20.（8分）根据下列素材，探索完成任务。

项目背景我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究。

毕达哥拉斯树，也称“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出

来的一个可以无限重复的树形图形（如图1）,因为重复数次后的形状好

似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。

素材一

图1

经过小组讨论，同学们对三角形作出相应的限制：所画的基础三角形

素材二

周长均为7cm,其中一条边长固定为2cm。

根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究（如图

素材三

问题解决

（1）（2分）小明画出了锐角三角形ABC（类型①），AB=AC,BC=2cm,则

任务一

S2=cm'。

（2）（3分）小金画出了直角三角形OEF（类型②），ZPFf=90°,EF=2cm,

任务二

计算S2的值，并写出过程。

（3）（3分）小山画出了钝角三角形G”/（类型③），ZG///=120°,HI=2cm,

任务三

则S2=cm2o

21.（8分）如图，AB=CD,AC与8。相交于点G,过点。，8分别作。瓦LAC,BF

1AC,垂足分别为E,F。

（1）（4分）如图1,点£在点尸的左侧，若AE=CF,求证：G是£尸的中点。

（2）（4分）如图2,点E在点厂的右.侧，若川六CR则（1）中结论是否仍成立？请说

图1

图2

22.（10分）在中，AB=AC,P是BC上任意一点。

（1）（5分）如图1,若点P在线段3c上，尸/LLA5于点RPELAC于点E,BD为

△ABC的高线，试探究PE,尸尸与之间的数量关系。

（2）（5分）如图2,若点P在的延长线上，PF工AB于点F,PE1AC,交AC的

延长线于点E，C。是AA8C的高线，试探究尸石，尸尸与CO之间的数量关系。

A

图1图2

第22题图

23.（10分）如图，ZkABC是等边三角形，。是AB的中点，CE±BC,石口是由CQ

沿CE方向平移得到的。已知过点4,BE交CD于点G。

（1）（5分）求NOCE的度数。

（2）（5分）求证：aCEG是等边三角形。

/\

I）

BC

24.（12分）【基础巩固】（1）（3分）如图1,在A48C与A4OE中，AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAEo求证：△AEUzM。及

【尝试应用】（2）（6分）如图2,在aABC与△AOE中，AB=ACfAD=AEfZBAC=

ND4E=90。，B,D,E三点在同一条直线上，AC与8E相交于点F,且广件好

为AC的中点。

①（3分）求N8EC的度数。

②（3分）若CE=2,求z^ACEt的面积。

【拓展提高】（3）（3分）如图3,在△A8C与中，AB=ACfDA=DE,/BAC=

NA£>£=90。，3E与CA相交于点尸，连结。凡若DC=DF,CD1DF,ABCF的

面积为18,求A尸的长。

图1图2

图3

答案解析

第2章特殊三角形能力评价

（满分：120分时间：120分钟）

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.下列四个图形中，属于轴对称图形的是（D）

®火d⑨

A.B.

C.D.

2.如图，点石在正方形ABCQ的边上。若EB=l,EC=2,则正方形A3CD的

面积为（B）

A.V3B.3C.V5D.5

第2题图第3题图

3.如图，在/VlBC中，NR4C=100。，43的垂直平分线分别交A3,BC

于点。,E,连结AE,则NBAE的度数为（D）

A.80°B.60°C.50°D.40°

4.如图，在A4BC中，ZB=45°,ZA>ZACB>ZB,尺规作图操作如下：（1）以

点8为圆心，适当长为半径画弧，分别交边84,BC于点M,N；（2）以点。为

圆心，8N长为半径画弧，交边C8于点V；再以点V为圆心，MN长为半径画

弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点（3）过点M画射线

CM',交功AB于点、>下列结论错误的是（D）

u

M

B讨C

A.ZB=ZDCBB.Z80090。

C.DB=DCD.AD+DC=BC

5.如图，NM02100。，点A在射线OM上，以点。为圆心，。4长为半径画弧，

交射线ON于点儿若分别以点A,8为圆心，长为半径画弧，两弧在NMON

内部相交于点C,连结AC,则NCMC的度数为（B）

C.11O0D.12O0

第5题图第5题答图

【解析】如答图，连结A5,BCO

由作图可得，OA=OB,AC=BC=AB,

•••△ABC为等边三角形，

:.ZACB=60%

•：OC=OC,

：.AOAC^AOBC(SSS)f

:.ZACO=ZBCO=-Z4CB=30°,ZAOC=ZBOC=-ZAOB=^°,

22

:.ZOAC=180°-ZAOC-ZACO=1800-30°-500=100°o

6.如图，在△?14c中，ZACB=90°,CO_LA8,垂足为D,E是A3的中点,CD=DE=a,

则A3的长为(B)

A.2。B.2例C.3。D.2遮

【解析】VCD1AB,CD=DE=a,

：.CE=y[2a.

又；在AABC中,ZACB=90°,E是A5的中点，

：.AB=2CE=2y/2ao

7.如图，在RSABC中，AOBC二VL点。在AB的延长线上，且CQ=AB,则

RD的长是（R）

【解析】如冬图，过点C作于点”。

VAC=BC=V2,ZAC^=90°,CHLAB,

：.AB=2,AH=BH=CH=1。

又丁。0=48=2,

：.DH=^CD2-CH2=V3,

:.BD=DH-BH3-lo

8.意大利著名画家达・芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理。若设左图中空白

部分的面积为右图中空白部分的面积为S2,则下列表示S”S2的等式成立

的是（B）

A..S\=a2-]-b2A-2abB.S尸〃+按+而

C.S2=QDS=c2+I力

9.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直,摆绳长2m,

向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m,摆动水平距离8。为1.6m,然后向

后摆到最高点C处。若前后摆动过程中绳始终拉直，且。8与0C成90。角，则

小丽在。处时距离地面的高度是（A)

A.0.9m

第9题图第9题答

图

【解析】如答图，过&C作CEJ_OA于点E,到ZOEC=90%

由题意得，OA=O8=OC=2m,BD=1.6m,DF=1,3m,BDA.OAf

：.ZBDO=90°,；.OD=JoB2-BD?=^22-1.62=1.2(01),

.・・o尸=0。+。尸=1.2+1.3=2.5(01)。

VN3OC=90。，:.ZBOD+NCOE=90。。

■:NBOO=NOEC=90。，/.ZBOD+NO8O=90。，

:.ZCOE=ZOBDo

Z.BDO=乙OEC,

乙OBD=“OE,

{OR=CO,

:.△OBD^△COE(AAS)，

:.0E=BD=1.6m,AEF=OF~OE=2.5~1.6=0.9(m),

即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m。

10.如图，在RtAABC中，AO3,804,ZACB=90°,P,。分别是边A8和8C

上的动点，且始终保持4P=8。，连结AQ,CP,则4Q+C尸的最小值为

第10题答图

【解析】过点8作3M_LA3,并使得3M=AC,连结M0,AM,则NA3C+N

CBiW=90°o

VZCAB+ZABC=90°,

：.ZCAB=ZCBM.

AC=BM,

Z.CAP=乙MBQ,

{AP=BQ,

・・・ZkACP会△⑶MQ(SAS),

：.CP=MQ,：.AQ+CP=AQ+MQO

多知当A,Q,M三点共线时，4Q+M。的依最小，为ANI的长0

VAC=3,BC=4,ZACB=90°,

22

：.AB=AC+BC=5O

在RtZiASM中，ZABM=90°fBM=AC=3f

：.AM=JAB2+MB2=V34,：.AQ+CP的最小值为国。

二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是两宜线平行，内错角相

等，这个逆命题是真（填“真”或“假”）命题。

12.（3分）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m,

则梯子顶端的高度〃为

13.（3分）如图，在△A3C中，AB=ACf以点C为圆心，C3长为半径作弧，交4c

的延长线于点。，连结30。若N4=32。，则NCZ）8的度数为37。0

【解析】VAB=AC,

・•・ZABC=ZACB=-x(180°-32°)=74°o

2

由作图可知BC=CD,

：•/CBD=/CDB,

：.ZCDB=-ZACB=37°o

2

14.（3分）如图,在A48C中，ZC=90°,NB=30。，4。平分NC4B,交8c于点。。

若CD=1,则2。

A

15.（3分）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，AC的长为半

径画弧，交AC于点Q；（2）分别以点C和点Q为圆心，大于的长为半径画

弧，两弧相交于点后（3）画射线AF,交BC于点E。若NC=2NB,3c=23,BD=13,

则AE的长为12

第15题图第15即答

图

【解析】如答图，连结40。

由作图过程可知，AD=ACfAE1BC,

AZADC=ZC=2ZB,ZAED=90°,DE=CEO

VZADC=ZB+/BAD,

:・/BAD=/B,：.AD=BD=13.

VBC=23,BO=13,

工CD=BC-BD=U）,

：

.DE=-2CD=5,

：.AE=JAD2~DE2=J132-52=12o

16.（3分）如图，在AACD中，AC=DC=2,NACQ=90。。分别以^ACQ的边A。,

AC,。。为直径画半圆，所得两个月形图案（图中阴影部分）的面积之和为」。

EC

【解析】VAACD是宜角三角形,

^AC^+CD^ADh

2

由题意，得S率阖4c・①。）=%・4£>2,

22

S率同AEC~-^*g/ic)=%•AC2.S率闿cn)=^n•QCD)=?*CD2,

••S华国ACD=S率u]A£(?+S半周CFD，

==x=

•'S用”=S4.SQA£C'+S4•闺C7:〃+SRSACD-S率fl]ACZ>^»RtA4CD"2x22o

二、解答题（本题有8小题，共72分）

17.（8分）如图，在△/13c中，。是三角形内一点，连结OA,DB,DC,若N1=N

2,Z3=Z4,求证：AB=ACO

证明：VZ1=Z2,：.DB=DCO

在△A30和△AC。中，

AD=AD,

z3=z4,

{DB=DC,

•:△ABO也△ACD(SAS),

：.AB=ACo

18.（8分）如图，花果山上有两只猴子在一棵树C。上的点B处，且8C=5m,它

们都要到4处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处,

另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处。已知两只猴子所

经过的路程相等，设BD为Xm）o

（1）（4分）请用含有x的代数式表示线段AQ的长为15—x或J（X+5）2+1（）2m。

（2）（4分）求这棵树的高CD的长。

解：(2)VZC=90°,

•••AD^aa+oc2,

・・・(15—X)2=(X+5)2+1(P,

/.x=2.5,

ACD=54-2.5=7.5(m)o

答：树的高OC的长为7.5mo

19.（8分）如图，在RIA4BC中，NACB=90。，AB二通，AC=\,分别以点A,B为

圆心，人于的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN,分别交/店,

BC于点、D,E,连结CO,AEo求：

（1）（4分）CO的长。

⑵（4分）/VICE的周长,

解：（1）由作图过程可知,支线MN为线段AB的垂直平分线,

:・D为AB的中点,

：.CD=-AB=—

22O

22

⑵在RSABC中，由勾股定理得，BC=^AB~AC=2O

•:筐线MN为线段AB的垂直平分线，

：.EA=EB,

:.LACE的周^=AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=1+2=3o

20.（8分）根据下列素材.，探索完成任务。

项目背景我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究。

毕达哥拉斯树，也称“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出

来的一个可以无限重复的树形图形（如图1）,因为重复数次后的形状好

似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。

经过小组讨论，同学们对三角形作出相应的限制：所画的基础三角形

素材二

周长均为7cm,其中一条边长固定为2cm。

根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究（如图

2）。

素材三

类型①类型②类型③

问题解决

（1）（2分）小明画出了锐角三角形48c（类型①）,AB=ACfBC=2cm,则

任务一

S2=6.25cm2o

（2）（3分）小金画出了直角三角形。及'（类型②），/DFE=90。,EF=2cm,

任务二

计算S2的值，并写出过程。

任务三（3）（3分）小山画出了钝角三角形GH/（类型③），ZGIH=\20%H1=2cm,

则S2二勺cm2o

-16—

解：(1)由条件可知4B=AC=—=2.5cm,

/.S2=AC2=2.52=6.25(cm2)o

⑵由条件可知OE+O尸=5cm。①

由勾股定理，得尸=后尸=4,

(DE+DF)(DE-DF)=4,

；・DE-DF=±,②

①一②，斛得给尸二2，

22

.-.S2=DF=g)=鬻cm)

(3)如答图，过点“作交G/延长线于点M。

第20题答图

VZGZH=120°,

:.ZMHI=ZGIH-NM=120°-90°=30。，

/.IM=-HI=1cm。

2

由勾股定理，得HM=J"*加=遍cm。

设G/=6(cm),GH=a(cm),则〃+方=7—HI=5cm,GM=GI+IM=(b+l)cmc

在Rt^GHM中，由勾股定理，得GH2—GM^HM2,

即(。+力+1)(。一1):3,

同(2)斛得仁2,S2=(-]=—(cm2)o

24\4/16

21.(8分)如图，AB=CDtAC与8。相交于点G,过点。，8分别作。口LAC,BF

_LAC,垂足分别为E,凡

(1)(4分)如图1,点七在点”的左侧，若AE=CF,求证：G是七”的中点。

(2)(4分)如图2,点E在点尸的右侧，若4E=C凡则(1)中结论是否仍成立？请说

图1

图2

解：(1)VAE=CF,：.AE+EF=CF+EF,AF=CEO

VDEIAC,BFLAC,

：.ZAFB=ZCED=^°.

式〈AB=CD,

.•.RtAABF^RtACDE(HL),

工BF=DE。

又V/BGF=/DGE,/BFG=/DEG,

：.ABFG^ADEG(AAS),

・・・GF=GE,即G是£尸的中支。

(2)(1)中基论仍成立。理由%下：

・.・DE_LAC,BFLAC,

：.ZAFB=^CED=9^.

■:AE=CF,：.AE-EF=CF-EF,AF=CEO

又<AB=CD,

ARtAABF^RtACDEiHL),

:・BF=DE。

"NBGF=/DGE,ZBFG=ZDEG=9Q°f

:.△Bf'G也△OEG(AAS),

:.GF=GE,即G是Er的中点。

22.（10分）在"BC中,AB=AC,2是8C上任意一点。

（1）（5分）如图1,若点P在线段3c上，户凡LA8于点r尸EJ_4C于点E,BD为

△A8C的高线，试探究PE,夕尸与8。之间的数量关系。

（2）（5分）如图2,若点P在8c的延长线上，尸"LAB于点尸，PELAC,交AC的

延长线于点E,CO是AA3C的高线，试探究PE,P/与C。之间的数量关系。

第22题答图

解：(1)如答图1,连.结APr则SAABC=SAABP+SMCP，

：.-AC・BD=-AB・PF-\--AC・PE°

222

又・.・A5=AC,：.BD=PE+PFQ

⑵如答图2,连结AP,则S"BC=SAABP—SAACP，

即±43•CD=-AB・PF--AC-PE。

r222

又・・・4B=4C,：.CD=PF-PEO

23.（10分）如图，ZkA3c是等边三角形，。是八3的中点，CEVBC,石厂是由CO

沿CE方向平移得到的。已知EF过点A,BE交CD于点、G。

（1）（5分）求NOCE的度数。

（2）（5分）求证：4CEG是等边三角形。

解：⑴・.・反43。是等边三角形，

；・ZACB=60°o

,:D更AB的