不等式的基本性质【十一大题型】-人教版七年级数学下册

不等式的基本性质【十一大题型】

【题型1不等式的定义】........................................

【题型2取值是否满足不等式】.....................................................2

【题型3在数轴上表示不等式〕.....................................................2

【题型4根据实际问题列出不等式〕.................................................3

【题型5根据不等式的性质判断正误】...............................................3

【题型6根据不等式的性质比较大小】...............................................4

【题型7根据不等式的解集求字母取值范围】.........................................5

【题型8根据不等式的性质求式子取值范围】.........................................5

【题型9根据不等式的性质求最值】.................................................5

【题型10不等关系的简单应用】.....................................................6

【题型11利用不等式性质证明不等式】...............................................7

【知识点1认识不等式】

用符号“V"（或W"）,（或2"）,”尹连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用

来连接的符号统称不等式.

【题型1不等式的定义】

【例1】（2023春•安徽宿州•七年级校考期中）下列式子：X-/>l；2x+2,-2<0^x-^y=0-,

x2y<0.其中是不等式的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式1-1]（2023春•七年级统考课时练习）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含

钙>150毫克”，它的含义是指（）

A.每100克内含钙150毫克B.每100克内含钙不低于150毫克

C.每100克内含钙高于150亳克D.每100克内含钙不超过150亳克

【变式1-2]（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级校考期中）学校组织同学们春游，租用45座和30

座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+3QyN50（F

表示的实际意义是（）

A.两种客车总的载客量不少于500人B.两种客车总的载客量不超过500人

C.两种客车总的载客量不足500人D.两种客车总的载客量恰好等干500人

【变式1-3］在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义

很明确.在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：/表示不小于；A表示不大

于，》表示远大于；《表示远小于等.下列选项中表达错误的是（）

A.2X2B.-IX）C.100»1D.-2«-99

【题型2取值是否满足不等式】

【例2】（2023秋•七年级课时练习）试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：

（1）%=-2是不等式的一个解；

（2）-2,0都是不等式的解；

（3）不等式的正整数解只有1,2,3；

（4）不等式的非正整数解只有一2,-7,0；

（5）不等式的解中不含0.

【变式2・1】（2023春•江西景德镇•七年级统考期中）x=3是下列不等式（）的一个解.

A.x+l<0B.x+l<4C.x+l<3D.x+l<5

【变式2・2】下列各数中，能使不等式,一2<0成立的是（）

A.6B.5C.4D.2

【变式2-3］（2023春•广西南宁•七年级三美学校校考期末）下列说法中，正确的是（）

A.x=2是不等式3x>5的一个解B.x=2是不等式3x>5的唯一解

C.x=2是不等式3x>5的解集D.x=2不是不等式3x>5的解

【题型3在数轴上表示不等式】

【例3】（2023秋♦浙江温州•七年级统考期中）如图，在数轴上表示的是下列哪个不等式（）

A.x>—2B.xV—2C.x>—2D.x<—2

【变式3-11（2023春・永丰县期中）不等式应。的解集在数轴上表示如图所示，则a=

----------1j>

012345

【变式3-2］（2023春・全国•七年级专题练习）把下列不等式的解集在数轴上表示出来.

（l）x>-3；（2）x>-l：（3）x<3；（4）x<-1.

【变式］在数轴上表示不等式的解集和的下列值：并利

3-3-3WxV6x-4,-2,0,4-“17,

用数轴说明x的这些数值中，哪些满足不等式-30XV6,哪些不满足？

【题型4根据实际问题列出不等式】

【例4】用不等式表示：x的2倍与y的:的和不大于5,正确的是（）

A.2x+^y>5B.2x+^y>5C.2（x+^y）<5D.2x+^y<5

【变式4-1］（2023春・河南周口•七年级校考期中）据气象台报道.2023年2月14日郑州市的

最高气温为14。3最低气温为6。（：则当天气温£（。0的变化范围是.

【变式4・2】某校女子100m跑的记录是14秒.在今年的校春季运动会上，很遗憾，没有人能

打破该项记录,若参加运动会的女生小丽的100m成绩为i秒，则用不等式表示为.

【变式4-3】将、与6的和是负数”用不等式表示为.

【知识点2不等式的基本性质】

性质1：若a（b,b<c,贝I」aVc.这个性质叫做不等式的传递性.

性质2：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

若a>b,则a±c>bic.

性质3：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

若a>b,c>0,则ac>bc,

若则

a>b,c<0,ac<bc,-c<-c

【题型5根据不等式的性质判断正误】

【例5】（2023秋•湖北鄂州•七年级校考期末）下列说法中，错误的个数为（）

①若a>b,则a+c>b+c；

②若a>b,则ac>be；

③若a>b,贝ijac?>be2-,

后若0>b,c>d,则QC>bd；

2

⑤若a<b<0<cf则屋c<bc.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式5-1］（2023・四川南充•七年级校考期末）若〃，>〃，则下列不等式不成立的是（）

A.m-2>n-2B.a-m>a-nC.-^―>-r—D.<-7

a*+7a-+755

【变式5-2］（2023春・山东威海•七年级统考期末）设x,y,z是实数，则下列结论正确的是（）

A.若％,y,贝kz>yzB.若x<y,则z—%vz—y

C.若％vy,贝仁v'D.若％>y,则x—z>y—z

zz

【变式5-3】如果"那么下列不等式正确的是（）

A.5x<5yB.-2x<—2yC.3x—1>3y—1D.2%+/>2y+/

【题型6根据不等式的性质比较大小】

［例］比较大小：如果时，那么；如果三>那么

6ac>be,cV0a--------bb7,b<0,a--------b.

【变式6・1】比较（5a-3。）一3（。2一2b）与5a+36+/的大小,并说明理由.

【变式6-2］（2023春♦河北保定•七年级统考期末）比较力与4a的大小关系是（）

A.7a<4aB.7a=4aC.7a>4aD.不能确定

【变式6-3］（2023秋•广东惠州•七年级校考阶段练习）若a—b>0,则a>匕；若a—b=0,

则。=>；若Q-b<0,则a<b,这是利用“作差法''比较两个数或两个代数式值的大小.

（1）试比较代数式5m2-4m+2与4m2-4m-7的值之间的大小关系；

（2）已知代数式3a+2匕与2Q-3b相等，试用等式的性质比较Q,b的大小关系.

（3）已知!瓶-"-一，九，试用等式的性质比较m,n的大小关系.

【题型7根据不等式的解集求字母取值范围】

【例7】不等式（2a-l）x<2（2a-l）的解集是x>2,则a的取值范围是（）

A.a<0B.a<jC.a<-；D.a>-j

【变式7-1］若且（a-2）x>（a-2）y,贝ija的取值范围是.

【变式7-21（2023春•广西南宁•七年级统考期末）若关于工的不等式s-m的解集是x

<-1,则相的取值范围是（）

A.m>1B.zw<1C./«>-1D."?V-1

【变式7-3］若x>y,且似+3及v（a+3）y,求。的取值范围.

【题型8根据不等式的性质求式子取值范围】

【例8】已知x-y=5,且％>3,y<0,则x+y的取值范围是（）

A.1<x+y<5B.3<x+y<5C.1<x+y<2D.2<x+y<5

【变式8-1】已知—/vxWO,则/一的取值范围是（）

A.-^<1-^-x<1B.-i<1-7%<1C.1<7--^X<7D.1<

//ZZZZAz

【变式8-2］已知2a+3b+c=0,a>b>c,求2-3臼的取值范围？

a

【变式8-3］若6a=2b-6=3c,且力>（）fcE2,设t=2a+b-c,则/的取值范围为.

【题型9根据不等式的性质求最值】

【例9】（2023春•安徽六安•七年级校考阶段练习）若Q+b=—2,且QN2b,则（）

A.a有最小值9B.6有最小值为一:C.?有最大值2D.m有最小值一］

33bD3

【变式9・1］若x+y=3,x>0,y>0,则2x+3y的最小值为（）

A.0B.3C.6D.9

【变式9-2］若a,b,c,d为整数，且〃V2b,b<3c,c<4d,dVIOO,则。可能取的最大值

是（）

A.2367B.2375C.2391D.2399

【变式9-3］已知实数Q（QNO）,b满足三=,，若m=Q+3b,则加的最大值为（）

A.9B.7C.5D.；

【题型10不等关系的简单应用】

【例10】P,Q,R,S四个小朋友玩跷跷板,结果如图所示，则他们的体重大小关系为（）

A.R<Q<P<SB.Q<R<P<SC.Q<R<S<PD.Q<P<R<S

【变式10-115名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为。米，

后两名的平均身高为6米.又前两名的平均身高为。米，后三名的平均身高为d米，则（）

A.手>等B.等〈等c.芋=誓D.以上都不对

【变式10-2］在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究琛索，发现

了数字的美和数学的灵动性，现在我们继续探索一类数.

定义：一个各位数字均不为0的四位自然数，，若Z的百位、十位数字之和的2倍等于千位与

个位数字之和，那我们称这个四位数，为“优数”.

例如；当L6414时，V2x（4+1）-（6+4）一0,・・.6414是“优数

当1=4257时，・・'2x（2+5）-（4+7）=3翔，.\4257不是“优数

（1）判断1318和7401是否是优数”,并说明理由;

（2）已知：t=4abc（1ME9,岸区9,岸区9且〃，b,c均为正整数）是“优数”，且满足而

与位的差能被7整除，且下⑺=|4+〃-6-c|,求尸⑴的最大值.

【变式10-3】（2023春•重庆渝北•七年级统考期末）中国共产主义青年团成立100周年之际，

某校团委组织义务植树活动，让七、八、九二个年级的学生到某苗圃为本年级的种植点选购

树苗，购买树苗的饯由学校统一支付.该苗圃共有a种树苗可供选择，每种树苗分别有大、

中、小三类树苗，且每种树苗大、中、小三类的单价分别为80元/棵、10〃?元/棵、10〃元/棵,

其中3Wn<m<8,而，〃均为整数；三个年级每种树苗都选择了一棵，但对于同一种树苗,

三个年级选择的树苗大小又各不相同.结账时，七年级花费了730元，七年级和七年级共花

费了1220元，则七年级购买小树苗共花费元.

【题型H利用不等式性质证明不等式】

【例11]（2023春・全国•七年级专题练习）【阅读】在证明“如果Q>b>0,c<0,那么小十bc>

ab+ac”时，小明的证明方法如下:

9

证明：：a>b>0t

a2>.a2+be>.

Va>b,c<Oy

be>.ab+be>.

/.a2+be>ab+ac.

【问题解决】

（1）请将上面的证明过程填写完整；

（2）有以下几个条件：①Q>b,②QVb,③QV0,④匕<。.请从中选择两个作为已知条件,

得出结论⑷>|^|.你选择的条件序号是,并给出证明过程.

【变式11-1】（2023春•武侯区期末）求证:如果e>ftc>0,那么aeVe-be.

【变式11-2】（2023春・全国•七年级专题练习）请先阅读下列材料，再解决问题.

例题:已知几>0,求证：m—：几vm-gn

证明:因为-gv—%又因为兀>0,根据不等式基本性质2,得-g/v—gm再根据不等式基

本性质1,在不等式的两边同时加上〃?，得m-gnvm-gn

仿照上例，证明卜.题；已知kv0,求证2x—5y>3%—5y.

【变式11・3】（2023春•夏津县期中）已知实数a,b,c满足：a+b+c=0,c>0,3a+2b+c>0.

求证：（1）a>c；（2）

a

不等式的基本性质【十一大题型】

【题型1不等式的定义】...........................................................9

【题型2取值是否满足不等式】....................................................10

【题型3在数轴上表示不等式〕....................................................12

【题型4根据实际问题列出不等式〕................................................14

【题型5根据不等式的性质判断正误】..............................................15

【题型6根据不等式的性质比较大小】............................错误！未定义书签。

【题型7根据不等式的解集求字母取值范围】......................错误！未定义书签。

【题型8根据不等式的性质求式子取值范围】........................................20

【题型9根据不等式的性质求最值】................................................22

【题型10不等关系的简单应用】....................................................25

【题型11利用不等式性质证明不等式】.............................错误！未定义书签。

【知识点1认识不等式】

用符号“V"（或W"）,（或2”）,”尹连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用

来连接的符号统称不等式.

【题型1不等式的定义】

【例1】（2023春•安徽宿州•七年级校考期中）下列式子：X-/>l；2x+2,-2<0^x-^y=0-,

x2y<0.其中是不等式的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】根据不等式的定义逐个判断即可得到答案.

【详解】解：不等式有工一/2/;-2<0；x+2y<0,故选：B.

【点睛】本题考查不等式定义，熟记由不等号表示大小关系的式子叫不等式是解决问题的关键.

【变式1-1]（2023春•七年级统考课时练习）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含

钙>150毫克”，它的含义是指（）

A.每100克内含钙150毫克B.每100克内含钙不低于150毫克

C.每100克内含钙高于150毫克D.每100克内含钙不超过150毫克

【答案】C

【分析】“>”就是大于，在本题中也就是“高于”的意思.

【详解】解：根据〉的含义，“每100克内含钙>150亳克”，就是“每100克内含钙高于150亳

克”，故选：C.

【点睛】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容.

【变式1-2］（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级校考期中）学校组织同学们春游，租用45座和30

座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45%+30）2500”

表示的实际意义是（）

A.两种客车总的载客量不少于500人B.两种客车总的载客量不超过500人

C.两种客车总的载客量不足500人D.两种客车总的载客量恰好等于500人

【答案】A

【分析】主要依据不等式的定义：用“>”、2"、“V“、、¥”等不等号表示不相等关系的

式子是不等式来判断.

【详解】不等式“45*+30注500''表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于500人，故选A.

【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式.解答

此类题关键是要识别常见不等号：><仝尢

【变式1-3］在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义

很明确.在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：/表示不小于；A表示不大

于，》表示远大于；《表示远小于等.下列选项中表达错误的是（）

A.2X2B.-1^0C.100»/D.-2«-99

【答案】D

【分析】根据对每个符号的定义对每一项进行判断即可.

【详解】解：A.2X2表示2不小于2,正确，故本选项不符合题意；

B.-A0表示-1不大于0,正确，故本选项不符合题意；

C./00>>/表示100远大于1,正确，故本选项不符合题意；

D.-299表示-2远小于-99,错误，故本选项符合题意；故选:D.

【点睛】本题主要考查了不等式的新定义问题，解决本题的关键是理解各个符号的意思.

【题型2取值是否满足不等式】

【例2】（2023秋•七年级课时练习）试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：

（1）%=-2是不等式的一个解；

（2）-2,0都是不等式的解；

（3）不等式的正整数解只有1,2,3；

（4）不等式的非正整数解只有—2,0；

（5）不等式的解中不含0.

【答案】（答案不唯一）（2）%>-3（答案不唯一）（3）x<4（答案不唯一）（4）

x>—3（答案不唯一）（5）%>/（答案不唯一）

【分析】（1）只要解集中含有-2这个解的不等式均可以；

（2）只要解集中含有.2,-1,0这三个整数解的不等式均可以；

（3）只要不等式的解集中恰好含有1,2,3这三个正整数解的不等式均可以；

（4）只要不等式的解集中恰好含有-2,0这三个非正整数解的不等式均可以；

（5）只要不等式的解集中不含0的不等式均可以.

【详解】（1）满足题意的不等式为3（答案不唯一）；

（2）满足题意的不等式为%>—3（答案不唯一）；

（3）满足题意的不等式为4（答案不唯一）；

（4）满足题意的不等式为%>-3（答案不唯一）；

（5）满足题意的不等式为%>/（答案不唯一）；

【点睛】本题根据不等式的解集要求写出一个不等式，考查了不等式的概念.

【变式2-1］（2023春•江西景德镇•七年级统考期中）x=3是下列不等式（）的一个解.

A.x+l<0B.x+l<4C.x+l<3D.x+l<5

【答案】D

【分析】直接将x=3代入各个不等式，不等式成立的即为所选.

【详解】解：A、3+1=4>0,故A不成立；

B、3+1=4,故B不成立；

C、3+1=4>3,故C不成立；

D、3+1=4<5,故D成立；故选：D.

【点睛】本题主要考查不等式的的解（集），使不等式成立的的未知数的值，就是不等式的解,

由所有不等式的解组成的集合就是不等式的解集.

【变式2・2】下列各数中，能使不等式,一2<0成立的是（）

A.6B.5C.4D.2

【答案】D

【分析】将A、B、C、D选项逐个代入①―2中计算出结果，即可作出判断.

【详解】解：当％=6时，-2=1>0,

当乂=5时・，；%-2=0.5>0,

当x=4时，"-2=0,

当x=2时，^%-2=-1<0,

由此可知，x=2可以使不等式g%-2Vo成立.故选D.

【点睛】本题考查了一元一次不等式的解的概念，代入求值是关键.

【变式2-3］（2023春•广西南宁•七年级三美学校校考期末）下列说法中，正确的是（）

A.x=2是不等式3x>5的一个解B.x=2是不等式3x>5的唯一解

C.x=2是不等式3x>5的解集D.x=2不是不等式3x>5的解

【答案】A

【详解】A.x=2是不等式3x>5的一个解，正确；B.不等式3x>5的解有无数个，则B错误；

C..『2是不等式3x>5的解，则C错误；D.x=2是不等式微>5的解，则D错误，故选A.

【题型3在数轴上表示不等式】

【例3】（2023秋・浙江温州•七年级统考期中）如图，在数轴上表示的是下列哪个不等式（）

■2-I<）

A.x>—2B.x<—2C.x>—2D.x<—2

【答案】C

【详解】根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断

即可得到x"2.故选C.

本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，根据题意得出数轴上不等式组的解集

是解答此题的关键，注意实点和虚点的区别.

【变式3-11（2023春•永丰县期中）不等式应。的解集在数轴上表示如图所示，则。=.

----------1j>

012345

【分析】根据数轴上表示的解集确定出a的值即可.

【详解】解：根据数轴上的解集得：a=2,故答案为：2

【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（>,

N向右画；〈，W向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的

线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解

集时，才,集，要用实心圆点表示；“V”,要用空心圆点表示.

【变式3-2］（2023春・全国•七年级专题练习）把下列不等式的解集在数轴上表示出来.

(l)x>-3；(2)x>—1；(3)x<3；(4)x<-?

【详解】试题分析：

将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可.

试题解析：

(1)将xZ-3表示在数轴上为:

(2)将x>-1表示在数轴上为:

(3)将xW3表示在数轴上为:

(4)将XV-g表示在数轴上为：,5-02-1°'2145

点睛：将不等式的解集表示在数轴上时，需注意两点：U)“大于(大于或等于)向右，小于

(小于或等于)向左”；(2)"%>a或(％<a)时”,数轴上表示数“a”的点用“空心圆圈”二%之a(或

%<a)时”，数轴上表示数“a”的点用“实心圆点”.

【变式3・3】在数轴上表示不等式・3SxV6的解集和x的下列值：・4,-2,0,4^7,并利

用数轴说明x的这些数值中，哪些满足不等式-3勺<6,哪些不满足？

【答案】・2,0,4满足不等式；・4,7不满足不等式

【分析】根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心''的原则将不等式的

解集和x的下列值：・4,-2,0,4g7在数轴上表示出来，这些值如果在解集范围内则表

示满足不等式，否则就是不满足不等式.

【详解】解：根据图可知：x的下列值：・2,0,4：满足不等式；x的下列值：・4,7不满足

不等式.-8-7-6-5-3-5-3-101234*56I8>

【点睛】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,N

向右画；V,W向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的

线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解

集时“之”.七”要用实心圆点表示：“V”,要用空心网点表示.

【题型4根据实际问题列出不等式】

【例4】用不等式表示：X的2倍与y的:的和不大于5,正确的是（）

A.2x+^y>5B.2x>5C.2（x+：y）M5D.2x<5

【答案】D

【分析】根据题意列出不等式，不大于5即W5.

【详解】解：x的2倍与y的;的和不大于5,即2"年”5,故选：D.

【点睛】本题考查了列不等式，熟练掌握不等式的定义是解题的关键.

【变式4-1］（2023春•河南周口•七年级校考期中）据气象台报道.2023年2月14日郑州市的

最高气温为14。3最低气温为6久，则当天气温t（。。的变化范围是.

【答案】6<t<14/14>t>6

【分析】根据最高气温和最低气温，可得答案.

【详解】解：由郑州市的最高气温为/4。。最低气温为6。。

可得当天气温X。。的变化范围是64£工/4,故答案为：6<t<14.

【点睛】本题考查了不等式的定义，熟练根据题意列出不等式是解题的关键.

【变式4・2】某校女子100m跑的记录是14秒.在今年的校春季运动会上，很遗憾，没有人能

打破该项记录,若参加运动会的女生小丽的100m成绩为t秒，则用不等式表示为.

【答案】t>14

【分析】根据没有人能打破该项记录列不等式即可.

【详解】解：・・•没有人能打破该项记录，

：.t>14.

故答案为：tN/4.

【点睛】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算

及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别.

【变式4-3】将％与的和是负数”用不等式表示为.

【答案】a+b<0

【分析】。与〃的和为负数即是小于0的数，据此列不等式.

【详解】解：由题意得，a+b<0.故答案为：a+b<0.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算

的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.

【知识点2不等式的基本性质】

性质1：若aVb,b<c,则aVc.这个性质叫做不等式的传递性.

性质2：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

若a>b,则aic>b±c.

性质3：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

若a>b,c>0,则ac>bc,

cc

若a>b,c<0,则ac<bc,-<-

cc

【题型5根据不等式的性质判断正误】

【例5】（2023秋•湖北鄂州•七年级校考期末）下列说法中，错误的个数为（）

。若a>b,则Q+c>b+c；

②若a>匕，贝UQC>be；

③若a>b,贝be2>儿2：

④若a>b,c>d,贝be>bd；

⑤若a<b<0<c,贝ija2c<b2c.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【详解】分析：运用不等式的基本性质判定即可.

详解；①若贝I正确；

②若a>b,则ac>bc\c的符号不确定，故错误，③若a>b,则ac2>bc2；当c=0时不成立.故

错误.

④若c>d,则c,d符号不确定，故错误，⑤若a<b<0<c,则Rvb%.应

为屋c>〃c,故错误.

所以错误的有4个.故选C.

点睛：本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的性质.

【变式5・1】（2023•四川南充•七年级校考期末）若〃7>〃，则下列不等式不成立的是（）

A.777-2>??-2B.a-ni>a-nC.-^―>-^―D.--<--

a-+la-+l55

【答案】B

【详解】分析：

根据不等式的性质进行分析判断即可.

A选项中，因为〃7>”,所以〃?-2>〃-2；故A中不等式成立；

B选项中，因为〃?>〃，所以・mv・n,所以a-mva-n；故B中不等式不成立；

C选项中，因为“>〃，a2+l>0,所以七,二三，故C中不等式成立；

D选项中，因为机>〃，所以-£〈一点故D中不等式成立.故选B.

点睛：熟记“不等式的性质”，尤其是“当不等式两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号

方向要发生改变”是解答这类题的关键.

【变式5-2］（2023春・山东威海•七年级统考期末）设x,y，z是实数，则下列结论正确的是（）

A.若x>y,贝ijxz>yzB.若x<y,5Hz-x<z-y

C.若％vy,则?D.若x>y,PIJx—z>y—z

//z

【答案】D

【分析】根据不等式性质逐选项判断即可.

【详解】解：A,%>y时，不知z的正负，无法判断，因此A选项不符合题意.

B,xvy时，根据不等式基本性质3,两边同时乘以-/,可得再根据不等式基本

性质1,两边同时加z,可得：z-x>z-y,因此B选项不符合题意.

C,xvy时，不知z的正负，无法判断，因此C选项不符合题意.

D,x>yflj,根据不等式基本性质1,两边同时减z,可得：x-z>y-z,因此D选项符合

题意.故选：D.

【点睛】本题考查了不等式的基本性质，尤其注意不等式两边同时乘以或除以一个不为0的数

时，不等号的变化.

【变式5-3】如果4%—/v4y—/,那么下列不等式正确的是（）

A.5x<5yB.-2x<—2yC.3x-1>3y—IV）.2x+1>2y+1

【答案】A

【分析】由已知条件得出％<y,再由不等式的性质逐项判断即可得到答案.

【详解】解：

•••4x<4y,

■,­x<y,

A.5xv5y正确，故该选项符合题意；

B.-2x>-2y,此选项不正确，故该选项不符合题意；

C.3x-l<3y-l,此选项不正确，故该选项不符合题意；

D.2x+/<2y+/,此选项不正确，故该选项不符合题意：故选：A.

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）

同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)

同一个正数，不等号的方向不变：③不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个

负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.

【题型6根据不等式的性质比较大小】

[例比较大小：如果时，那么；如果>/,那么

6]ac>bc,c<0a_____bhbv0,a_____b.

【答案】<<

【分析】根据不等式的性质进行求解即可：不等式两边同时乘以或除以一个小于0的数或式子,

不等式要改变方向.

【详解】解：'•QC>be,c<0,

/.a<b；

•・：>7,b<0,

b

'.a<b,

故答案为：<;<.

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键.

【变式6・1】比较(5。一3匕)-3(a2-2b)与5a+3b+/的大小，并说明理由.

【答案】(5a-3b)-3(/-2b)<5a+3b+/,理由见解析

【分析】两个整式相减，用它们的差和零作比较即可做出判断.

【详解】解：(5a-3b)-3(/-2b)<5a+3b+I,

理由如下：

[(5a-3b)-3(M-2b)]-(5a+3b+1)

=5a-3b-3a2+6b—5a—3b—1

=-3a2-7,

1•,a2>0,

•••-3a2<0,

3a2-1<0-1,

-3a2-I<-/,

:,—3u~—/v0,

・•・[(5Q-3b)-3(a2-2b)]-(5a+3b+/)v0,

•••(5a-3b)—3(/—2b)<5Q+3b+/.

【点睛】本题考查了整式加减应用，不等式的性质，准确算出两个整式的差和零作比较是解答

本题的关键.

【变式6-2](2023春・河北保定•七年级统考期末)比较力与4a的大小关系是()

A.7a<4aB.7a=4aC.7a>4aD.不能确定

【答案】D

【分析】由7>4,分。>0,。=0,三种情况讨论，得出答案即可.

【详解】由7>4,

当a>0时，7a>4a；

当a=0时，7Q=4a；

当aVO时，7a<4a.故选：D.

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意：不等式两边同时乘以负数时，不等号方向

改变.

【变式6・3】(2023秋•广东惠州•七年级校考阶段练习)若。一人>0,则若a-b=0,

则Q=b:若Q-b<0,则Q<b,这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小.

(1)试比较代数式5巾2-4m+2与4m2-4m-7的值之间的大小关系；

⑵已知代数式3Q+2b与2Q-3b相等，试用等式的性质比较Q,b的大小关系.

(3)已知gm-!n一/=-71-g租，试用等式的性质比较nt,n的大小关系.

【答案】(l)5n;2—4m+2>4加？-4m—7；(2)a=b；(3)m>n

【分析】(1)把两个多项式作差比较大小即可；

(2)等式两边同时减去(2a+3b)即可得到a-b=O,由此即可得到结论；

(3)等式的性质两边同时乘以6可得5(m-n)=6,m-n>Of由此可得结论.

【详解】(1)解：(5m2—4m+2)—(7m2-7m-7)=5m2-4m+2-4m2+4m+7=m2+9.

・・,不论m为何值,都有血2+9>0.

5m2—4m+2>4m2—4m—7.

(2)解：9：3a+2b=2a+3b,

；・等式两边同时减去(2a+3b),得3a+2b-(2a+3b)=0,

整理得Q-b=0,

.\a=b.

(3)解；—jn—I=^zi—

根据等式的性质两边同时乘以6可得3m-2n-6=Q3n-2m),

整理得5m-5n=6,

即5(m-n)=6,

；・m-n>0,

,\m>n.

【点睛】本题主要考查了等式的性质和不等式的性质，正确理解题意是解题的关键.

【题型7根据不等式的解集求字母取值范围】

【例7】不等式(2a-l)x<2(2a-l)的解集是x>2,则a的取值范围是()

A.a<0B.a<；C.a<-；D.

【答案】B

【详解】【分析】仔细观察，(2a-l)x<2(2a-l),要想求得解集，需把(2a-l)这个整体看作

x的系数，然后运用不等式的性质求出，给出的解集是x>2,不等号的方向已改变，说明运

用的是不等式的性质3,运用性质3的前提是两边都乘以(或除以)同一个负数，从而求出

a的范围.

【详解】•・•不等式(2a-l)x<2(2a-l)的解集是x>2,

・,•不等式的方向改变了，

.\2a-K0,

・・・aVg故选B.

【点睛】本题考查了利用不等式的性质解含有字母系数的不等式，解题的关键是根据原不等式

和给出的解集的情况确定字母系数的取值范围，为此需熟练掌握不等式的基本性质，也是正

确解一元一次不等式的基础.

【变式7-1］若xvy,且9一2)%>(。一2»,则。的取值范围是.

【答案】a<2

【分析】根据不等式的性质，两边同时乘一个负数不等号改变，求出。的取值范围.

【详解】解：Yxvy,且(a-2)x>(Q-2)y,

*•(1—2v0,

••CL<2,故答案为：Q<2.

【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质.

【变式7-21(2023春•广西南宁•七年级统考期末)若关于x的不等式的解集是x

<-1,则m的取值范围是()

A.〃？A1B.V1C.〃zA-1D.V一1

【答案】B

【分析】根据不等式的性质可得，两边同除以一个负数，不等号方向发生改变，即可求得结果.

【详解】解：将不等式7nx-x>1—m化为％-1）>1—m,

•・•不等号两边同时除以加一/得到%<-1,

•TTI-/VOt

解得租</,故选：B.

【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.

【变式7-3］若x>y,且似+3）xv（a+3）y,求。的取值范围.

【答案】a<-3

【分析】根据题意，在不等式工〉y的两边同时乘以似+3）后不等号改变方向，根据不等式的

性质3,得出Q+3〈0,解此不等式即可求解.

【详解】解：二”>y,且似+3及v（Q+3）y,

，Q+3<0,

则Qv—3.故答案为：a<—3.

【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或

减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不

等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

【题型8根据不等式的性质求式子取值范围】

【例8】已知％-y=5,且％>3,y<0,则％+y的取值范围是（）

A.1<x+y<5B.3<x+y<5C./<x+y<2D.2<x+y<5

【答案】A

【分析】直接利用不等式的性质求解.

【详解】解：・.”-y=5,

••y=x-5,

\'x>3,y<0f

.\3<x<5,—2<y<0,

.*./<x+y<5,故选：A.

【点睛】此题考查了不等式的性质，正确理解题意掌握计算能力是解题的关键.

【变式8-1］（2023春・河南漂河•七年级统考期末）已知-/<xW0,则/一/的取值范围是

()

A.；</-；x<1B.-^<l-\x<1

C.1</-；x<7D.1<

【答案】D

【分析】根据不等式的性质，由x通过乘以-/,再乘以彳，再加上/,注意不等号方向的变化.

【详解】v-I<x<0

同时乘以一/,0<-x<1

同时乘以［0<-^x<^

同时加上/,/</-；%<；.故选D.

【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键.

【变式・］己知求的取值范围？

822a+3b+c=0,a>b>c,23*a

【答案】!<2-3s<〃

2a

【分析】由2a+3b+c=0,可得3b=—2a—c,再根据a>b>c,可得3a>—2Q—c>3c,

再根据不等式的性质解答即可.

【详解】解：,♦,2a+3b+c=0,

3b=-2a-c,

又；a>b>c,

•••3a>—2a-c>3c,

由3a>—2a—c,得5a>—c,

5>--a,

c「

一》-

a5,

；

-3-a<15

由一2a—c>3c,得一2a>4c,

、、

一4c,

2>a

综上所述，一：5

2V-3£aV

£

2--2<2a-3</5+2,

：,L-3-<17.

2<2a

【点睛】本题考查了不等式的性质，根据题意得出3a>-2a-c>3c是解答本题的关键.

【变式8-3］若6a=2b-6=3c,且b>0,c<2,设t=2Q+b-c,则，的取值范围为.

【答案】0<t<6

【分析】由条件可得2b—646,先求解6的取值范围，再把t=2a+b-c化为2,

再结合不等式的基本性质可得答案.

【详解】解：二"。=2b-6=3c,c<2,

：.2b-6<6,

解得：h<6而b之0,

••・0<b<6,

6a=2b-6=3c,

：•a=-1,c=jb-2,

.\t=2a+b—c

=2Qb-/)+b—(gb-2)

=^b-2)+b-^b-2)

=匕,

,：()<b<6,

:・t的取值范围是：。4t46,故答案为：0<t<6.

【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解04b46及t=b是解本题的关

键.

【题型9根据不等式的性质求最值】

【例9】(2023春・安徽六安•七年级校考阶段练习)若。+力=-2,且aN2b,则()

A.。有最小值:B.b有最小值为一:

C.E有最大值2D.三有最小值一1

bb3

【答案】C

【分析】由Q+b=-2,QN2b得Q>2(—a—2),于是Q>—p故A错误；a+b=-2,得Q=-

b-2,得一b-2>2b,于是b3故B错误；由b32b,得bW2,故C正b确b;=

—/—，，无最小值；

b

【详解】解：A.〃有最小值/

由a+b=-2,得b=-a—2,

••CLN2(—CL—2),

：.a>-y故A错误，本选项不合题意；

B)有最小值为一余

由a+b=-2,得a=-b-2,

:・一b—2N2b,

：.b<-^故B错误，本选项不合题意；

C.?有最大值2,b<-\

D3

Va>2b,

A;<2,故C正确，本选项符合题意；

D.W有最小值一:

b3

三==心=一】一1,无最小值；故选：C.

bbb

【点睛】本题考查不等式的性质，等式变形；掌握不等式的性质是解题的关键.

【变式9-1］若x+y=3,x>0,y>0>则2x+3y的最小值为()

A.0B.3C.6D.9

【答案】C

【分析】把问题转化为2%+3y=6-2y+3y=6十y,利用不等式的性质解决最值问题.

【详解】解：%+y=3,

x=3-y,

•*.2x+3y=6-2y+3y=6yt

x>0,

3-y>0,B|Jy<3,

Vy>0

<?<y<5,

：.6<y+6<9.

即6<2x+3y<9,

.•.y=0时，2%+3y的值最小，最小值为6.故选：C.

【点