2026年浙江省高中数学选修2-9第5章数列习题

2026年浙江省高中数学选修2-9第5章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n为（）A.2n-6B.2n-8C.3n-9D.3n-12解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=8，故a_3+a_7=8。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=8，解得a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，所以a_1=0，d=1。因此通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=n-1，化简得a_n=2n-6。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.19B.20C.21D.22解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，得b_n+1-b_n=2n。累加可得b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，则c_5的值为（）A.242B.243C.244D.245解析：由S_n=3^n-1，得c_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-（3^{n-1}-1）=2×3^{n-1}（n≥2）。当n=1时，c_1=S_1=2，符合上式。故c_5=2×3^4=162。4.在等比数列{d_n}中，若d_2d_8=64，d_4=4，则该数列的公比q为（）A.2B.-2C.2或-2D.4或-4解析：由等比数列性质d_2d_8=d_4^2，代入d_2d_8=64，d_4=4得4^2=64，故q=±2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.7B.9C.11D.13解析：由T_n=n^2+n，得e_n=T_n-T_{n-1}=（n^2+n）-（（n-1）^2+n-1）=2n。当n=1时，e_1=T_1=2，符合上式。故e_3=2×3=6。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√（f_n+1）（n≥1），则该数列是（）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解析：由f_1=2，f_2=√3>2，f_3=√（√3+1）>√3，可知数列单调递增。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3的值为（）A.3B.4C.5D.6解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，得5a_3=15，故a_3=3。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则数列{log_2（h_n+1）}的前5项和为（）A.10B.11C.12D.13解析：由U_n=2^n-1，得h_n=2^n-1（n≥1）。则log_2（h_n+1）=log_22^n=n，故前5项和为1+2+3+4+5=15。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=（i_n+1）/（i_n+2）（n≥1），则i_5的值为（）A.1/8B.1/9C.1/10D.1/11解析：由递推关系i_n+1=i_n/（i_n+2），得i_n+1/i_n=1/（i_n+2）。累加可得i_5/i_1=1/（i_1+2）×1/（i_2+2）×…×1/（i_5+2）=1/（i_1+i_2+…+i_5+10）。又i_1=1，i_2=i_1/3=1/3，i_3=i_2/4=1/12，…，i_5=1/60。故i_5=1/11。10.已知数列{j_n}的前n项和V_n=n(n+1)/2，则j_100的值为（）A.9900B.9901C.9902D.9903解析：由V_n=n(n+1)/2，得j_n=V_n-V_{n-1}=n(n+1)/2-（（n-1)n/2）=n。故j_100=100。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的公比q=________。解：由a_4=a_2q^2，得54=6q^2，解得q=±3。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_5=________。解：b_5=S_5-S_4=32-16=16。3.在等差数列{c_n}中，若a_1=2，a_5=10，则该数列的通项公式c_n=________。解：由a_5=a_1+4d，得10=2+4d，解得d=2。故c_n=2+（n-1）×2=2n。4.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+1（n≥1），则d_6=________。解：由递推关系d_n+1=2d_n+1，得d_n+1-1=2（d_n-1）。令e_n=d_n-1，则e_n+1=2e_n，故e_n=（1/2）^(n-1)。故d_n=（1/2）^(n-1)+1，d_6=64/32+1=65/32。5.在等比数列{e_n}中，若e_1=3，e_3=12，则该数列的前5项和S_5=________。解：由e_3=e_1q^2，得12=3q^2，解得q=2。故S_5=3×（2^5-1）/（2-1）=93。6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=n^2+n，则f_4=________。解：f_4=T_4-T_3=20-12=8。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3+a_4=________。解：由a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，得5a_3=25，故a_3=5，a_4=a_3+d=5+d。又a_1+a_5=2a_3=10，故a_4=25-10-a_3=15-5=10。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=3h_n（n≥1），则h_5=________。解：由递推关系h_n+1=3h_n，得h_n=3^(n-1)。故h_5=3^4=81。9.已知数列{i_n}的前n项和P_n=2^n-1，则数列{log_2（i_n+1）}的前3项和为________。解：由P_n=2^n-1，得i_n=2^n-1（n≥1）。则log_2（i_n+1）=log_22^n=n，故前3项和为1+2+3=6。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=4，j_4=16，则该数列的公比q=________。解：由j_4=j_2q^2，得16=4q^2，解得q=±2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：由S_n=3n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=6n-2（n≥2），a_1=S_1=4。故数列是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q=2。（）解：由b_3=b_1q^2，得8=1×q^2，解得q=±2。故该命题错误。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n^3，则该数列是等比数列。（）解：由T_n=n^3，得c_n=T_n-T_{n-1}=3n^2-3(n-1)^2=6n-3（n≥2），c_1=T_1=1。故数列是等比数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_5=10，则a_3=5。（）解：由a_1+a_5=2a_3，得2a_3=10，故a_3=5。5.若数列{e_n}满足e_n+1=e_n+1（n≥1），则该数列是常数列。（）解：由e_n+1=e_n+1，得e_n+1-e_n=0，故数列是常数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则f_3=18。（）解：由f_4=f_2q^2，得54=6q^2，解得q=±3。故f_3=±18。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，则g_n=2^(n-1)（n≥1）。（）解：由S_n=2^n-1，得g_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)（n≥2），g_1=S_1=1。故该命题错误。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=3，d=2，则a_5=11。（）解：由a_5=a_1+4d，得a_5=3+8=11。9.若数列{i_n}满足i_n+1=i_n/2（n≥1），则该数列是等比数列。（）解：由i_n+1/i_n=1/2，故该数列是等比数列。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_3=8，则j_5=32。（）解：由j_3=j_1q^2，得8=2q^2，解得q=±2。故j_5=±32。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=5。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n+1。故a_n=4n+1（n≥1）。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=2，a_5=14，求该数列的前10项和S_10。解：由a_5=a_1+4d，得14=2+4d，解得d=3。故S_10=10×2+（10×9/2）×3=330。3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1（n≥1），求c_5的值。解：由递推关系c_n+1=2c_n+1，得c_n+1-1=2（c_n-1）。令e_n=c_n-1，则e_n+1=2e_n，故e_n=（1/2）^(n-1)。故c_n=（1/2）^(n-1)+1，c_5=32/16+1=3。4.在等比数列{d_n}中，若d_1=3，d_4=81，求该数列的公比q。解：由d_4=d_1q^3，得81=3q^3，解得q=3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求e_4的值。解：e_4=T_4-T_3=20-12=8。6.在等差数列{f_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，求a_3的值。解：由a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，得5a_3=25，故a_3=5。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=g_n+2（n≥1），求g_5的值。解：由递推关系g_n+1=g_n+2，得g_n+1-g_n=2。故g_n=g_1+2（n-1）=2+2（n-1）=2n。故g_5=10。8.在等比数列{j_n}中，若j_2=4，j_4=16，求该数列的前5项和S_5。解：由j_4=j_2q^2，得16=4q^2，解得q=±2。当q=2时，S_5=4×（2^5-1）/（2-1）=124。当q=-2时，S_5=4×（（-2）^5-1）/（-2-1）=-36。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年的产量比前一年增加200件，求第10年的产量。解：由等差数列性质，首项a_1=1000，公差d=200。故第10年产量a_10=1000+9×200=2800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数。解：由等比数列性质，首项a_1=100，公比q=1.05。故2025年人口数a_5=100×1.05^5≈127.63万。3.某人存款1000元，每年利息为10%，求5年后的本息和。解：由等比数列性质，首项a_1=1000，公比q=1.1。故5年后的本息和S_5=1000×（1.1^5-1）/（1.1-1）≈1610.51元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年的种植数量比前一年增加10棵，求第10年的种植数量。解：由等差数列性质，首项a_1=100，公差d=10。故第10年种植数量a_10=100+9×10=190棵。5.某公司员工工资每年上涨5%，若2020年工资为5000元，求2025年的工资。解：由等比数列性质，首项a_1=5000，公比q=1.05。故2025年工资a_5=5000×1.05^5≈6381.49元。6.某产品成本第一年为100元，以后每年的成本比前一年减少5%，求第5年的成本。解：由等比数列性质，首项a_1=100，公比q=0.95。故第5年成本a_5=100×0.95^4≈81.46元。7.某城市道路建设，第一年修建20公里，以后每年的修建数量比前一年增加2公里，求第10年的修建数量。解：由等差数列性质，首项a_1=20，公差d=2。故第10年修建数量a_10=20+9×2=38公里。8.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年的产量比前一年增加10%，求第5年的产量。解：由等比数列性质，首项a_1=1000，公比q=1.1。故第5年产量a_5=1000×1.1^4≈1464.1件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.B4.C5.A6.A7.A8.A9.D10.D解析：2.由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=8，故a_3+a_7=8。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=8，解得a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，所以a_1=0，d=1。因此通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=n-1，化简得a_n=2n-6。3.由递推关系b_n+1=b_n+2n，得b_n+1-b_n=2n。累加可得b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91。4.由S_n=3^n-1，得c_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-（3^{n-1}-1）=2×3^{n-1}（n≥2）。当n=1时，c_1=S_1=2，符合上式。故c_5=2×3^4=162。5.由等比数列性质d_2d_8=d_4^2，代入d_2d_8=64，d_4=4得4^2=64，故q=±2。6.由T_n=n^2+n，得e_n=T_n-T_{n-1}=（n^2+n）-（（n-1）^2+n-1）=2n。当n=1时，e_1=T_1=2，符合上式。故e_3=2×3=6。7.由f_1=2，f_2=√3>2，f_3=√（√3+1）>√3，可知数列单调递增。8.由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，得5a_3=15，故a_3=3。9.由U_n=2^n-1，得h_n=2^n-1（n≥1）。则log_2（h_n+1）=log_22^n=n，故前5项和为1+2+3+4+5=15。10.由递推关系i_n+1=i_n/（i_n+2），得i_n+1/i_n=1/（i_n+2）。累加可得i_5/i_1=1/（i_1+2）×1/（i_2+2）×…×1/（i_5+2）=1/（i_1+i_2+…+i_5+10）。又i_1=1，i_2=i_1/3=1/3，i_3=i_2/4=1/12，…，i_5=1/60。故i_5=1/11。11.由V_n=n(n+1)/2，得j_n=V_n-V_{n-1}=n。故j_100=100。二、填空题1.±32.163.2n4.65/325.936.87.108.819.610.±2解析：2.由a_4=a_2q^2，得54=6q^2，解得q=±3。3.由P_n=2^n-1，得i_n=2^n-1（n≥1）。则log_2（i_n+1）=log_22^n=n，故前3项和为1+2+3=6。4.由S_n=3n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=6n-2（n≥2），a_1=S_1=4。故数列是等差数列。5.由j_3=j_1q^2，得8=1×q^2，解得q=±2。6.由T_n=n^3，得c_n=T_n-T_{n-1}=3n^2-3(n-1)^2=6n-3（n≥2），c_1=T_1=1。故数列是等比数列。7.由a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，得5a_3=25，故a_3=5。8.由e_n+1=e_n+1，得e_n+1-e_n=0，故数列是常数列。9.由f_4=f_2q^2，得54=6q^2，解得q=±3。故f_3=±18。10.由S_n=2^n-1，得g_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)（n≥2），g_1=S_1=1。故该命题错误。11.由a_5=a_1+4d，得14=2+4d，解得d=3。故S_10=10×2+（10×9/2）×3=330。三、判断题1.√2.×3.√4.√5.√6.×7.×8.√9.√10.×解析：2.由S_n=3n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=6n-2（n≥2），a_1=S_1=4。故数列是等差数列。3.由j_3=j_1q^2，得8=1×q^2，解得q=±2。故该命题错误。4.由T_n=n^3，得c_n=T_n-T_{n-1}=3n^2-3(n-1)^2=6n-3（n≥2），c_1=T_1=1。故数列是等比数列。5.由a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，得5a_3=25，故a_3=5。6.由e_n+1=e_n+1，得e_n+1-e_n=0，故数列是常数列。7.由f_4=f_2q^2，得54=6q^2，解得q=±3。故f_3=±18。8.由S_n=2^n-1，得g_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)（n≥2），g_1=S_1=1。故该命题错误。9.由a_5=a_1+4d，得14=2+4d，解得d=3。故S_10=10×2+（10×9/2）×3=330。10.由e_n+1=e_n+1，得e_n+1-e_n=0，故数列是常数列。11.由j_4=j_2q^2，得16=4q^2，解得q=±2。故j_5=±32。四、简答题1.由S_n=2n^2+3n，得a_n=S_n-S_{n-1}=4n+1（n≥2），a_1=S_1=5。故a_n=4n+1（n≥1）。2.由a_5=a_1+4d，得14=2+4d，解得d=3。故S_10=10×2+（10×9/2）×3=330。3.由递推关系c_n+1=2c_n+1，得c_n+1-1=2（c_n-