2026年浙江省考研数学线性代数专项习题

2026年浙江省考研数学线性代数专项习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设A为n阶矩阵，且存在正整数k，使得A^k=0矩阵，则下列命题中正确的是（）A.A一定可逆B.A一定不可逆C.A的特征值均为0D.A的伴随矩阵A为零矩阵2.已知向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,t)线性无关，则实数t的取值范围是（）A.t=2B.t≠2C.t=0D.t≠03.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数，则下列结论中不一定成立的是（）A.A一定可逆B.A的行列式大于0C.A的特征向量正交D.A的平方根仍为对称矩阵4.已知矩阵A=（a_{ij}）为三阶非零矩阵，且满足a_{ij}=-a_{ji}（i≠j），则下列说法中正确的是（）A.A的特征值一定包含0B.A的秩一定小于3C.A的行列式一定为0D.A的转置矩阵A^T仍为反对称矩阵5.设向量组α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，则下列结论中正确的是（）A.α1一定可以由α2，α3线性表示B.α4一定可以由α1，α2线性表示C.α3一定可以由α1，α2线性表示D.α2一定可以由α1，α3线性表示6.已知矩阵A=（a_{ij}）为四阶矩阵，且满足a_{ij}=|i-j|，则矩阵A的秩为（）A.1B.2C.3D.47.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且满足AB=0，则下列结论中正确的是（）A.B一定为零矩阵B.A的伴随矩阵A为零矩阵C.B的秩小于nD.A的行列式等于B的行列式8.已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列向量组中一定线性无关的是（）A.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1B.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1C.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α1+α4D.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α19.设A为n阶矩阵，且满足A^2=A，则下列结论中正确的是（）A.A一定为可逆矩阵B.A的特征值均为1或0C.A的行列式等于1D.A的伴随矩阵A等于A10.已知矩阵A=（a_{ij}）为三阶矩阵，且满足a_{ij}=i+j，则矩阵A的逆矩阵A^-1中元素a_{ij}的表达式为（）A.a_{ij}=(i+j)^2B.a_{ij}=1/(i+j)C.a_{ij}=(-1)^(i+j)/(i+j)D.a_{ij}=(-1)^(i+j)1/(i+j)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设A为三阶矩阵，且满足A^2-A=2E，其中E为单位矩阵，则A的特征值为________。2.已知向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,t)线性相关，则实数t=________。3.设A为三阶实对称矩阵，且满足A的特征值为1，2，3，则A的行列式det(A)=________。4.已知矩阵A=（a_{ij}）为四阶矩阵，且满足a_{ij}=|i-j|，则矩阵A的迹tr(A)=________。5.设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β可以由α1，α2，α3线性表示，且表示式唯一，则向量组α1，α2，α3，β的秩为________。6.已知矩阵A=（a_{ij}）为三阶矩阵，且满足a_{ij}=i+j，则矩阵A的行列式det(A)=________。7.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且满足AB=0，则B的秩rank(B)=________。8.已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1的秩为________。9.设A为n阶矩阵，且满足A^2=A，则A的特征值为________。10.已知矩阵A=（a_{ij}）为三阶矩阵，且满足a_{ij}=i+j，则A的逆矩阵A^-1中元素a_{ij}的表达式为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将判断结果填在题后的括号内，正确的填"√"，错误的填"×"。）1.设A为n阶矩阵，且满足A^k=0矩阵（k为正整数），则A一定不可逆。（）2.已知向量组α1，α2，α3线性无关，向量β可以由α1，α2，α3线性表示，则表示式一定唯一。（）3.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数，则A一定可逆。（）4.已知矩阵A=（a_{ij}）为三阶矩阵，且满足a_{ij}=-a_{ji}（i≠j），则A的行列式一定为0。（）5.设向量组α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，则α4一定可以由α1，α2线性表示。（）6.已知矩阵A=（a_{ij}）为四阶矩阵，且满足a_{ij}=|i-j|，则矩阵A的秩为3。（）7.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且满足AB=0，则B一定为零矩阵。（）8.已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1一定线性无关。（）9.设A为n阶矩阵，且满足A^2=A，则A的特征值均为1或0。（）10.已知矩阵A=（a_{ij}）为三阶矩阵，且满足a_{ij}=i+j，则A的逆矩阵A^-1中元素a_{ij}的表达式为a_{ij}=(-1)^(i+j)1/(i+j)。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请将答案写在答题卡上相应的位置。）1.设A为三阶矩阵，且满足A^2-A=2E，其中E为单位矩阵，请证明A的特征值均为1或2。2.已知向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,t)线性相关，请求实数t的取值范围，并说明理由。3.设A为三阶实对称矩阵，且满足A的特征值为1，2，3，请求A的行列式det(A)的值。4.已知矩阵A=（a_{ij}）为四阶矩阵，且满足a_{ij}=|i-j|，请求矩阵A的迹tr(A)的值。5.设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β可以由α1，α2，α3线性表示，且表示式唯一，请证明向量组α1，α2，α3，β的秩为3。6.已知矩阵A=（a_{ij}）为三阶矩阵，且满足a_{ij}=i+j，请求矩阵A的行列式det(A)的值。7.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且满足AB=0，请证明B的秩rank(B)小于n。8.已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，请证明向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1一定线性无关。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卡上相应的位置。）1.设A为三阶矩阵，且满足A^2-A=2E，其中E为单位矩阵，请求矩阵A的逆矩阵A^-1的表达式。2.已知向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,t)线性相关，请求实数t的取值范围，并给出α3用α1，α2线性表示的具体表达式。3.设A为三阶实对称矩阵，且满足A的特征值为1，2，3，请求A的平方根A^(1/2)的表达式。4.已知矩阵A=（a_{ij}）为四阶矩阵，且满足a_{ij}=|i-j|，请求矩阵A的逆矩阵A^-1的表达式。5.设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β可以由α1，α2，α3线性表示，且表示式唯一，请给出β用α1，α2，α3线性表示的具体表达式。6.已知矩阵A=（a_{ij}）为三阶矩阵，且满足a_{ij}=i+j，请求矩阵A的伴随矩阵A的表达式。7.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且满足AB=0，请给出B用A的逆矩阵A^-1线性表示的具体表达式。8.已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，请给出α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关的证明过程。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：根据矩阵的性质，若存在正整数k，使得A^k=0矩阵，则A为幂零矩阵，幂零矩阵一定不可逆。因此选B。2.B解析：向量组α1，α2，α3线性无关的充要条件是它们的行列式不为0。计算行列式：det(α1,α2,α3)=det((1,1,1),(1,2,3),(1,3,t))=1(2t-9)-1(3-3)+1(3-2)=2t-9令2t-9≠0，解得t≠2。因此选B。3.D解析：A为实对称矩阵，其特征向量正交是必然成立的。因此选D。4.A解析：A为反对称矩阵，其特征值一定包含0。这是因为反对称矩阵的特征值要么为0，要么为纯虚数，而实数域中纯虚数的共轭也是其特征值，因此至少有一个特征值为0。因此选A。5.A解析：由于α2，α3，α4线性无关，说明α2，α3线性无关。而α1，α2，α3线性相关，说明α1可以由α2，α3线性表示。因此选A。6.C解析：计算矩阵A：A=(a_{ij})=(|i-j|)=(0123)(1012)(2101)(3210)计算行列式：det(A)=0-1(0-1)+2(1-2)-3(1-2)=0+1+2-3=0由于行列式为0，但矩阵A有非零子式（如第一行第一列的元素为0，但其他位置的元素不为0），因此矩阵A的秩为3。因此选C。7.C解析：由于A为可逆矩阵，AB=0可以推出B=A^-1(AB)=A^-10=0。因此B一定为零矩阵。因此选A。8.C解析：考虑向量组α1，α2，α3，α4的线性组合：c1(α1+α2)+c2(α2+α3)+c3(α3+α4)+c4(α4+α1)=0展开得：(c1+c4)α1+(c1+c2)α2+(c2+c3)α3+(c3+c4)α4=0由于α1，α2，α3，α4线性无关，系数必须全为0：c1+c4=0c1+c2=0c2+c3=0c3+c4=0解得c1=c2=c3=c4=0，因此向量组线性无关。因此选C。9.B解析：A满足A^2=A，即A(A-E)=0。由于A可逆，可以推出A-E=0，即A=E。因此A的特征值均为1。因此选B。10.D解析：计算矩阵A：A=(a_{ij})=(i+j)=(234)(345)(456)计算行列式：det(A)=2(46-55)-3(36-54)+4(35-44)=2(24-25)-3(18-20)+4(15-16)=-2-6-4=-12计算伴随矩阵A：A=det(A)A^-1=-12A^-1计算A^-1：A^-1=1/det(A)adj(A)=-1/12adj(A)计算adj(A)：adj(A)=(A_{ij})^T，其中A_{ij}为代数余子式A_{11}=(-1)^(1+1)det((4,5),(5,6))=46-55=-1A_{12}=(-1)^(1+2)det((3,5),(4,6))=-(36-54)=-2A_{13}=(-1)^(1+3)det((3,4),(4,5))=35-44=-1A_{21}=(-1)^(2+1)det((3,4),(5,6))=-(36-45)=-2A_{22}=(-1)^(2+2)det((2,4),(4,6))=26-44=-4A_{23}=(-1)^(2+3)det((2,3),(4,5))=-(25-34)=-2A_{31}=(-1)^(3+1)det((3,4),(4,5))=35-44=-1A_{32}=(-1)^(3+2)det((2,4),(3,5))=-(25-43)=-2A_{33}=(-1)^(3+3)det((2,3),(3,4))=24-33=-1adj(A)=(-12-1)(-2-4-2)(-1-2-1)^T=(-1-2-1)(2-4-2)(-1-2-1)因此A^-1=-1/12(-1-2-1)(2-4-2)(-1-2-1)=1/12(121)(242)(121)因此A^-1中元素a_{ij}的表达式为a_{ij}=(-1)^(i+j)1/(i+j)。因此选D。二、填空题1.1,1,2解析：A^2-A=2E可以因式分解为(A-E)(A+2E)=0。由于A为三阶矩阵，因此(A-E)和(A+2E)中至少有一个为0矩阵。若A-E=0，则A=E，特征值为1。若A+2E=0，则A=-2E，特征值为-2。由于A的特征值均为正数，因此A的特征值为1，1，2。因此det(A)=112=2。2.6解析：向量组α1，α2，α3线性相关的充要条件是它们的行列式为0。计算行列式：det(α1,α2,α3)=det((1,1,1),(1,2,3),(1,3,t))=1(2t-9)-1(3-3)+1(3-2)=2t-9令2t-9=0，解得t=6。因此t=6。3.6解析：A为三阶实对称矩阵，其特征值为1，2，3，因此A的行列式det(A)等于特征值的乘积，即det(A)=123=6。4.12解析：矩阵A：A=(a_{ij})=(|i-j|)=(0123)(1012)(2101)(3210)计算迹tr(A)：tr(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}=0+0+0+0=0因此tr(A)=0。5.3解析：向量组α1，α2，α3线性无关，向量β可以由α1，α2，α3线性表示，且表示式唯一，说明β在α1，α2，α3张成的空间中，且不在其真子空间中，因此向量组α1，α2，α3，β的秩为3。6.6解析：矩阵A：A=(a_{ij})=(i+j)=(234)(345)(456)计算行列式：det(A)=2(46-55)-3(36-54)+4(35-44)=2(24-25)-3(18-20)+4(15-16)=-2-6-4=-12因此det(A)=-12。7.n-1解析：由于A为n阶可逆矩阵，因此AB=0可以推出B=A^-1(AB)=A^-10=0。因此B一定为零矩阵。因此rank(B)=0。8.4解析：向量组α1，α2，α3，α4线性无关，因此其秩为4。考虑向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1的线性组合：c1(α1+α2)+c2(α2+α3)+c3(α3+α4)+c4(α4+α1)=0展开得：(c1+c4)α1+(c1+c2)α2+(c2+c3)α3+(c3+c4)α4=0由于α1，α2，α3，α4线性无关，系数必须全为0：c1+c4=0c1+c2=0c2+c3=0c3+c4=0解得c1=c2=c3=c4=0，因此向量组线性无关。因此秩为4。9.1或0解析：A满足A^2=A，即A(A-E)=0。由于A可逆，可以推出A-E=0，即A=E。因此A的特征值均为1。因此选B。10.a_{ij}=(-1)^(i+j)1/(i+j)解析：矩阵A：A=(a_{ij})=(i+j)=(234)(345)(456)计算行列式：det(A)=2(46-55)-3(36-54)+4(35-44)=2(24-25)-3(18-20)+4(15-16)=-2-6-4=-12计算伴随矩阵A：A=det(A)A^-1=-12A^-1计算A^-1：A^-1=1/det(A)adj(A)=-1/12adj(A)计算adj(A)：adj(A)=(A_{ij})^T，其中A_{ij}为代数余子式A_{11}=(-1)^(1+1)det((4,5),(5,6))=46-55=-1A_{12}=(-1)^(1+2)det((3,5),(4,6))=-(36-54)=-2A_{13}=(-1)^(1+3)det((3,4),(4,5))=35-44=-1A_{21}=(-1)^(2+1)det((3,4),(5,6))=-(36-45)=-2A_{22}=(-1)^(2+2)det((2,4),(4,6))=26-44=-4A_{23}=(-1)^(2+3)det((2,3),(4,5))=-(25-34)=-2A_{31}=(-1)^(3+1)det((3,4),(4,5))=35-44=-1A_{32}=(-1)^(3+2)det((2,4),(3,5))=-(25-43)=-2A_{33}=(-1)^(3+3)det((2,3),(3,4))=24-33=-1adj(A)=(-12-1)(-2-4-2)(-1-2-1)^T=(-1-2-1)(2-4-2)(-1-2-1)因此A^-1=-1/12(-1-2-1)(2-4-2)(-1-2-1)=1/12(121)(242)(121)因此A^-1中元素a_{ij}的表达式为a_{ij}=(-1)^(i+j)1/(i+j)。因此选D。三、判断题1.×解析：根据矩阵的性质，若存在正整数k，使得A^k=0矩阵，则A为幂零矩阵，幂零矩阵一定不可逆。因此该命题错误。2.√解析：向量组α1，α2，α3线性无关，向量β可以由α1，α2，α3线性表示，且表示式唯一，说明β在α1，α2，α3张成的空间中，且不在其真子空间中，因此表示式唯一。因此该命题正确。3.√解析：A为实对称矩阵，其特征值均为正数，因此A可逆。这是因为实对称矩阵的特征值均为实数，且正数特征值的个数等于矩阵的阶数。因此该命题正确。4.√解析：A为反对称矩阵，其特征值一定包含0。这是因为反对称矩阵的特征值要么为0，要么为纯虚数，而实数域中纯虚数的共轭也是其特征值，因此至少有一个特征值为0。因此该命题正确。5.×解析：由于α2，α3，α4线性无关，说明α2，α3线性无关。而α1，α2，α3线性相关，说明α1可以由α2，α3线性表示。但α4是否可以由α1，α2线性表示不能确定，因为α4不在α1，α2张成的空间中。因此该命题错误。6.×解析：计算矩阵A：A=(a_{ij})=(|i-j|)=(0123)(1012)(2101)(3210)计算行列式：det(A)=2(46-55)-3(36-54)+4(35-44)=2(24-25)-3(18-20)+4(15-16)=-2-6-4=-12由于行列式为0，但矩阵A有非零子式（如第一行第一列的元素为0，但其他位置的元素不为0），因此矩阵A的秩为3。因此该命题错误。7.√解析：由于A为n阶可逆矩阵，AB=0可以推出B=A^-1(AB)=A^-10=0。因此B一定为零矩阵。因此该命题正确。8.√解析：向量组α1，α2，α3，α4线性无关，因此其秩为4。考虑向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1的线性组合：c1(α1+α2)+c2(α2+α3)+c3(α3+α4)+c4(α4+α1)=0展开得：(c1+c4)α1+(c1+c2)α2+(c2+c3)α3+(c3+c4)α4=0由于α1，α2，α3，α4线性无关，系数必须全为0：c1+c4=0c1+c2=0c2+c3=0c3+c4=0解得c1=c2=c3=c4=0，因此向量组线性无关。因此该命题正确。9.√解析：A满足A^2=A，即A(A-E)=0。由于A可逆，可以推出A-E=0，即A=E。因此A的特征值均为1。因此该命题正确。10.×解析：矩阵A：A=(a_{ij})=(i+j)=(234)(345)(456)计算行列式：det(A)=2(46-55)-3(36-54)+4(35-44)=2(24-25)-3(18-20)+4(15-16)=-2-6-4=-12计算伴随矩阵A：A=det(A)A^-1=-12A^-1计算A^-1：A^-1=1/det(A)adj(A)=-1/12adj(A)计算adj(A)：adj(A)=(A_{ij})^T，其中A_{ij}为代数余子式A_{11}=(-1)^(1+1)det((4,5),(5,6))=46-55=-1A_{12}=(-1)^(1+2)det((3,5),(4,6))=-(36-54)=-2A_{13}=(-1)^(1+3)det((3,4),(4,5))=35-44=-1A_{21}=(-1)^(2+1)det((3,4),(5,6))=-(36-45)=-2A_{22}=(-1)^(2+2)det((2,4),(4,6))=26-44=-4A_{23}=(-1)^(2+3)det((2,3),(4,5))=-(25-34)=-2A_{31}=(-1)^(3+1)det((3,4),(4,5))=35-44=-1A_{32}=(-1)^(3+2)det((2,4),(3,5))=-(25-43)=-2A_{33}=(-1)^(3+3)det((2,3),(3,4))=24-33=-1adj(A)=(-12-1)(-2-4-2)(-1-2-1)^T=(-1-2-1)(2-4-2)(-1-2-1)因此A^-1=-1/12(-1-2-1)(2-4-2)(-1-2-1)=1/12(121)(242)(121)因此A^-1中元素a_{ij}的表达式为a_{ij}=(-1)^(i+j)1/(i+j)。因此该命题错误。四、简答题1.证明：设A的特征值为λ，对应的特征向量为x，则Ax=λx。由于A^2-A=2E，可以得到A^2-A-2E=0，即(A-E)(A+2E)=0。由于A可逆，可以推出A-E=0，即A=E。因此A的特征值均为1。2.解：向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,t)线性相关的充要条件是它们的行列式为0。计算行列式：det(α1,α2,α3)=det((1,1,1),(1,2,3),(1,3,t))=1(2t-9)-1(3-3)+1(3-2)=2t-9令2t-9=0，解得t=6。因此t=6。3.解：A为三阶实对称矩阵，其特征值为1，2，3，因此A的行列式det(A)等于特征值的乘积，即det(A)=123=6。4.解：矩阵A：A=(a_{ij})=(|i-j|)=(0123)(1012)(2101)(3210)计算迹tr(A)：tr(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}=0+0+0+0=0因此tr(A)=0。5.证明：向量组α1，α2，α3线性无关，向量β可以由α1，α2，α3线性表示，且表示式唯一，说明β在α1，α2，α3张成的空间中，且不在其真子空间中，因此向量组α1，α2，α3，β的秩为3。6.解：矩阵A：A=(a_{ij})=(i+j)=(234)(345)(456)计算行列式：det(A)=2(46-55)-3(36-54)+4(35-44)=2(24-25)-3(18-20)+4(15-16)=-2-6-4=-12因此det(A)=-12。7.证明：由于A为n阶可逆矩阵，AB=0可以推出B=A^-1(AB)=A^-10=0。因此B一定为零矩阵。因此rank(B)=0。8.证明：向量组α1，α2，α3，α4线性无关，因此其秩为4。考虑向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1的线性组合：c1(α1+α2)+c2(α2+α3)+c3(α3+α4)+c4(α4+α1)=0展开得：(c1+c4)α1+(c1+c2)α2+(c2+c3)α3+(c3+c4)α4=0由于α1，α2，α3，α4线性无关，系数必须全为0：c1+c4=0c1+c2=0c2+c3=0c3+c4=0解得c1=c2=c3=c4=0，因此向量组线性无关。因此秩为4。五、应用题1.解：A^2-A=2E可以因式分解为(A-E)(A+2E)=0。由于A为三阶矩阵，因此(A-E)和(A+2E)中至少有一个为0矩阵。若A-E=0，则A=E，特征值为1。若A+2E=0，则A=-2E，特征值为-2。由于A的特征值均为正数，因此A的特征值为1，1，2。因此A的逆矩阵A^-1为：A^-1=1/6(111)(111)(111)2.解：向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,t)线性相关的充要条件是它们的行列式为0。计算行列式：det(α1,α2,α3)=det((1,1,1),(1,2,3),(1,3,t))=1(2t-9)-1(3-3)+1(3-2)=2t-9令2t-9=0，解得t=6。因此t=6。此时α3可以由α1，α2线性表示为：α3=-1α1+2α23.解：A为三阶实对称矩阵，其特征值为1，2，3，因此A的平方根A^(1/2)的特征值为√1，√2，√3。因此A^(1/2)的表达式为：A^(1/2)=1/6(111)(121)(113)4.解：矩阵A：A=(a_{ij})=(|i-j|)=(0123)(1012)(2101)(3210)计算行列式：det(A)=2(46-55)-3(36-54)+4(35-44)=2(24-25)-3(18-20)+4(15-16)=-2-6-4=-12计算伴随矩阵A：A=det(A)A^-1=-12A^-1计算A^-1：A^-1=1/det(A)adj(A)=-1/12adj(A)计算adj(A)：adj(A)=(A_{ij})^T，其中A_{ij}为代数余子式A_{11}=(-1)^(1+1)det((4,5),(5,6))=46-55=-1A_{12}=(-1)^(1+2)det((3,5),(4,6))=-(36-54)=-2A_{13}=(-1)^(1+3)det((3,4),(4,5))=35-44=-1A_{21}=(-1)^(2+1)det((3,4),(5,6))=-(36-45)=-2A_{22}=(-1)^(2+2)det((2,4),(4,6))=26-44=-4A_{23}=(-1)^(2+3)det((2,3),(4,5))=-(25-34)=-2A_{31}=(-1)^(3+1)det((3,4),(4,5))=35-44=-1A_{32}=(-1)^(3+2)det((2,4),(3,5))=-(25-43)=-2A_{33}=(-1)^(3+3)det((2,3),(3,4))=24-33=-1adj(A)=(-12-1)(-2-4-2)(-1-2-1)^T=(-1-2-1)(2-4-2)(-1-2-1)因此A^-1=-1/12(-1-2-1)(2-4-2)(-1-2-1)=1/12(121)(242)(121)因此A^-1中元素a_{ij}的表达式为a_{ij}=(-1)^(i+j)1/(i+j)。因此A^-1的表达式为：A^-1=1/12(-121)(242)(121)5.解：向量组α1，α2，α3线性无关，向量β可以由α1，α2，α3线性表示，且表示式唯一，说明β在α1，α2，α3张成的空间中，且不在其真子空间中，因