鲁教版五四学制（2024）九年级上册数学 第二章 二次函数 单元测试（含答案）

鲁教五四版（2024）九年级上第二章二次函数单元测试题一．选择题（共10小题）1．抛物线y=（x-1）2-3的顶点坐标是（）A．（-1，-3）B．（-1，3）C．（1，-3）D．（1，3）2．图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”．如图2，门的内侧曲线为抛物线，以门的底部AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为y=−1A．门的最大高度为200mB．门的底部宽度AB为80mC．离地面150m处的门的水平宽度为50mD．当门的水平宽度为810m3．如图，四边形OABC是正方形，且点A、C恰好在抛物线y=x2上，点B在y轴上，则OB的长为（）A．2B．2C．4D．24．二次函数y=-x2+2x+4，当-1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．1＜y＜4B．1＜y＜5C．4≤y≤5D．1＜y≤55．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx-1与二次函数y=kx2+3的大致图象可以是（）A．B．C．D．6．在平面直角坐标系中，将函数y=（x-1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y=（x+1）2+5B．y=（x+1）2+3C．y=（x-3）2+3D．y=（x-3）2+57．对于二次函数y=3（x-2）2+1，下列说法中正确的是（）A．图象的开口向上B．函数的最大值为1C．图象的对称轴为直线x=-2D．当x＜2时y随x的增大而增大8．已知二次函数y=ax2-4ax（a为常数，且a≠0），当4≤x≤6时，y的最大值为24，则a的值为（）A．-2B．2C．3D．49．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（）A．y=（x-35）（200-5x）B．y=（x+40）（200-10x）C．y=（x+5）（200-5x）D．y=（x+5）（200-10x）10．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的图象的一部分，对称轴是直线x=1．下列说法：①a＞0；②2a+b=0；③b2-4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤c＞0．其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．②③⑤二．填空题（共5小题）11．若二次函数y=-x2+6x+c的图象经过点A（-1，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是______（用“＜”连接）．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（2，p），B（-4，q）两点，则不等式ax2-mx-n+c≤0的解集是______．13．将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为______．14．学校有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=10t-t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是______

s.15．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1．有下列结论：①abc＜0；②4a+c＜2b；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＞y2；④抛物线的顶点为（-1，m），则关于x的方程ax2+bx+c=m-1无实数根．其中正确结论是______．（只需填写序号）三．解答题（共8小题）16．（2026春•同步）汽车在刹车后都会由于惯性继续向前滑行一段距离，我们将其称为“刹车距离”，某型号轿车的刹车距离y（m）与速度x（km/h）之间的函数关系如图所示．

（1）写出y与α之间的函数关系式．

（2）要使刹车距离不超过12m,车速应当保持在哪个范围内？17．某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本y（万元）与产量x（万件）之间将近似满足二次函数关系y=-x2+bx+c（13≤x≤24），部分数据见表：产量x（万件）…151820…总成本y（万元）…285336360…（总利润=总销售额-总成本）

（1）求投产第一年该产品的总成本y与产量x之间的函数关系式；

（2）投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？

（3）投产第一年，如果该产品每件售价为m元时，总利润会随着产量x的增大而增大，则m的最小值是多少？18．已知抛物线G：y=ax2+（3a+m）x-（m+2）．

（1）当a=1，m=1时，求抛物线G的对称轴；

（2）若对于任意实数m,抛物线G总经过定点P（t,-6）．

①求t和a的值；

②点A（m-3，y1），B（m,y2）在抛物线G上，且线段AB与x轴有交点．记△PAB的面积为S，求S的取值范围．19．春节期间，由于我市执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨x（0≤x≤20，且x是整数）元．

（1）为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？

（2）这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？20．某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m.

（1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式；

（2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．21．如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；

（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．22．已知二次函数y=x2+bx+c.

（1）若c=-3，且二次函数象经过点（-1，-2），求函数顶点坐标；

（2）若b+c=-3，

①求证：二次函数的图象和x轴有两个交点；

②若b＞c,点A（m,n）在该二次函数图象上，当-3≤m≤1时，n的最小值是-6，求b的值．23．【综合与探究】如图所示，抛物线G1交x轴于A、B两点（点A在x轴的负半轴），将G1在x轴下方部分翻折得到抛物线G2：y=-x2+bx+c,交y轴于点C，且OA=OC=3，连接A、C，抛物线G2的对称轴交AC于点D，交x轴于点E，点P是抛物线G2顶点，将抛物线G1与G2整体视作曲线W．

【知识技能】（1）求抛物线G2的解析式；

【数学理解】（2）求线段PD的长度；

【拓展探究】（3）设平面内存在动直线y=n（n≥0），讨论并直接写出动直线y=n与曲线W的交点个数．

鲁教五四版（2024）九年级上第二章二次函数单元测试题

(参考答案)一．选择题（共10小题）1、C 2、C 3、A 4、D 5、C 6、B 7、A 8、B 9、C 10、D 二．填空题（共5小题）11、y1＜y2＜y3； 12、x≤-4或x≥2； 13、y=（x+2）2+2； 14、10； 15、①②③④； 三．解答题（共8小题）16、解：（1）设y与x的函数表达式为：y=kx,

根据题意得：9=60k,

∴k=320，

∴y与x的函数表达式为：y=320x；

（2）∵y≤12

∴320x≤12，

∴x≤80，

∴要使刹车距离不超过12m,17、解：（1）将x=15，y=285和x=20，y=360代入

y=-x2+bx+c得：{152+15b+c=285−202+20b+c=360，

解得：{b=50c=−240，

∴y=-x2+50x-240（13≤x≤24）；

（2）设生产该产品x万件时，总利润为w万元，

w=20x-（-x2+50x-240）

=x2-30x+240

=（x-15）2+15．

∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=15，

∵13≤x≤24，

∴当15＜x≤24时，w随x的增大而增大，当13≤x＜15时，w随x的增大而减小；

∵x=24距离对称轴x=15比x=13距离对称轴x=15远，

∴当x=24时，w取得最大值，

w最大值=242−30×24+240=96．

答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元．

（3）设生产该产品x万件时，总利润为w万元，

w=mx-（-x2+50x-240）

=x2+（m-50）x+240

∴对称轴为直线x=50−m2．

∵总利润随着产量x的增大而增大，且13≤x≤2418、解：（1）当a=1，m=1时，

y=x2+（3+1）x-（1+2）=x2+4x-3=（x+2）2-7，

所以抛物线Gy=ax2+（3a+m）x-（m+2）的对称轴为直线x=-2；

（2）①y=ax2+（3a+m）x-（m+2）=ax2+3ax+m（x-1）-2，

当x=1时，y=a+3a-2=4a-2，

∵对于任意实数m,抛物线G总经过定点P（t,-6），

∴t=1，4a-2=-6，

∴a=-1；

②由①得：t=1，a=-1，P（1，-6），

∴y=-x2+（-3+m）x-（m+2），

∵点A（m-3，y1），B（m,y2）在抛物线G上，且线段AB与x轴有交点，

∴y1•y2≤0，

把点A（m-3，y1），B（m,y2）代入y=-x2+（-3+m）x-（m+2）得：

y1=−（m−3）2+（−3+m）（m−3）−（m+2）=−m−2，

y2=−m2+（−3+m）m−（m+2）=−4m−2，

∴（-m-2）（-4m-2）≤0，点A（m-3，-m-2），B（m,-4m-2），

解得：−2≤m≤−12，

设直线AB的解析式为y=kx+b,

把点A（m-3，-m-2），B（m,-4m-2）代入得：

{k（m−3）+b=m−2km+b=−4m−2，

解得：{k=−mb=m2−4m−2，

∴直线AB的解析式为y=-mx+m2-4m-2，

如图，过点P作PQ⊥x轴交AB的延长线于点Q，则点Q（1，m2-5m-2），

∴PQ=m2-5m-2-（-6）=m2-5m+4，

∴S=S△PAQ-S△PBQ

=12（xP−xA）PQ−12（xP−xB）PQ

=12（xB−xA）PQ

=12|m219、解：（1）设该商场决定把售价上涨x（0≤x≤20，且x是整数）元，则单个利润为（40+x）-30=（10+x）元，每天销售量为（50-x）个，

依题意得：（10+x）（50-x）=800，

解得x=10或x=30（0≤x≤20，不合题意，舍去），

此时售价为：40+10=50（元），

答：这款电子鞭炮每个的售价应定为50元；

（2）设该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润为y元，

依题意得：y=（10+x）（50-x）=-（x-20）2+900，

当x=20时，y取得最大值，最大值为900，此时售价为40+20=60（元），

答：这款电子鞭炮每个的售价定为60元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，最大利润为900元．20、解：（1）由题意，∵抛物线的顶点坐标为（5，8），

∴可设抛物线y=a（x-5）2+8．

又把（13，0）代入y=a（x-5）2+8，

∴0=a（13-5）2+8．

∴a=-18．

∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：y=-18（x-5）2+8．

（2）由题意，由（1）y=-18（x-5）2+8，

∴可令x=0，则y=-18（0-5）2+8=398（m21、解：（1）将A（-1，0）和B（3，0）代入y=-x2+bx+c

∴{0=−1−b+c0=−9+3b+c

解得：{b=2c=3

∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3

∴顶点坐标为：（1，4）

（2）由于抛物线的对称轴为：x=1，

∴0＜x＜3时，

∴0＜y≤4

（3）设P（x,y）

∴△PAB的高为|y|，

∵A（-1，0）、B（3，0）

∴AB=4

∵S△PAB=10，

∴12×4×|y|=10

∴y=±5，

当y=5时，

∴5=-x2+2x+3

此时方程无解，

当y=-5时，

∴-5=-x2+2x+3，

解得：x=4或x=-2，

∴P（4，-522、（1）解：∵c=-3，且二次函数象经过点（-1，-2），

∴c=-3，和（-1，-2）代入y=x2+bx+c中

∴（-1）2-b-3=-2，解得b=0，

∴y=x2-3，

∴顶点坐标为（0，-3）；

（2）证明：①∵b+c=-3，

∴c=-3-b,

∴y=x2+bx+c=x2+bx-3-b,

∵Δ=b2-4×1×（-3-b）=b2+4b+12=（b+2）2+8＞0，

∴二次函数的图象和x轴有两个交点；

②解：∵点A（m,n）在该二次函数y=x2+bx+c=x2+bx-3-b的图象上，

∴n=m2+bm-3-b=（m+b2）2-b24-b-3，

∵b＞c,

∵c=-3-b,

∴b＞-3-b,

∴b＞-3