2026年湖南省岳阳市九年级第三次学情自测数学试题附答案

九年级第三次学情自测数学试题一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列各数中，是无理数的是（）A． B．0 C． D．2．我国著名科学家钱学森被誉为“中国航天之父”．为了纪念钱学森，中国科学院紫金山天文台将一颗距地球约亿公里的行星命名为“钱学森星”．数据“亿”用科学记数法表示为（）A． B． C． D．5230000003．山西的许多地方春节有剪纸贴窗花的传统民间习俗，剪纸的图案内容都取材于生活，来源于生活．下列剪纸作品中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．4．下列计算正确的是（）A． B．C． D．5．在平行四边形中，，，则等于（）A． B． C． D．6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．7．一次射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示．他这10次成绩的众数是（）A．9.2环 B．9环 C．8.6环 D．8环8．如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（）A． B． C． D．9．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．110．为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照上面推理计算出的值是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．计算：.12．现有四张正面分别写有汉字“马”，“年”，“快”，“乐”的卡片，卡片除正面汉字不同外，其余均相同．将四张卡片的背面朝上洗匀．若从中随机抽取一张卡片，则抽得的卡片是“乐”的概率为．13．如图，，的面积等于5，，，则的面积是．14．一个扇形的弧长是，半径是18cm，则此扇形圆心角是．15．如图，函数与的图象交于点，不等式的解集．16．如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，，线段的延长线交x轴于点C，．则k的值为．三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）17．计算：．18．先化简，再求值：其中19．为了解学生的体育锻炼情况，某学校八年级以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．该年级随机抽取了甲、乙两个班，通过问卷收集了甲、乙两个班学生的平均每周锻炼时长数据．现从这两个班级中分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息．【数据收集】甲班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13；乙班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下：【数据整理、分析】班级平均数中位数众数方差甲班8a86乙班88.5b1.8根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：___________、___________；（2）小明对小刚说：“体育考试在即．每个班级按时间多少进行排名，运动时间更多者排名更靠前．虽然我俩的平均每周锻炼时长都是小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小明是_____________班的学生．（填“甲”或“乙”）（3）你认为甲、乙这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请写出理由．20．如图，在中，，、分别是边、的中点，连结并延长到点，使，连结、、．（1）求证：四边形是菱形．（2）连结．若，，则的长为______．21．为响应国家“限塑令”升级号召，助力成都建设“无废城市”，某环保科技公司推出新型可降解餐盒．公司在售普通款餐盒（A类）和加厚款餐盒（B类），已知每个B类餐盒的价格是每个A类餐盒价格的，用40元购买A类餐盒的数量比用30元购买B类餐盒的数量多15个．（1）求A类餐盒的价格．（2）某餐饮商家计划向该公司购买两种餐盒共600个，其中购买A类餐盒的数量不超过B类餐盒数量的2倍，当两种餐盒分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用．22．项目式学习项目背景2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．蔡旭哲成为目前在舱外执行任务次数最多的中国航天员．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务．图示及说明如图所示，是垂直于工作台的移动基座，，为机械臂，，．任务1

（1）求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到）任务2（2）求的长．（结果精确到）参考数据23．如图，已知在中，，，，如果点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为（单位：）（）．解答下列问题：（1）当为何值时，；（2）设的面积为（单位：），求关于的函数关系式；（3）在点P，Q的运动过程中，在同一平面内是否存在点D，使得以点A，P，Q，D为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．24．已知，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B．（1）若抛物线经过点，点B的坐标为_________；（2）若点，在抛物线上，且，求m的取值范围；（3）已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），请直接写出a的取值范围．

答案1．【答案】A【解析】【解答】解：0是整数，是整数，是分数，整数和分数都属于有理数，只有是无限不循环小数，因此是无理数．

故答案为：A.

【分析】只需根据有理数和无理数的定义，对给出的各个数逐一分类判断，即可得到结果.2．【答案】A【解析】【解答】解：“亿”用科学记数法表示为．

故答案为：A【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.3．【答案】D【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意．

故答案为：D.【分析】若将一个图形绕某一点旋转180°后，旋转得到的图形能够和原图形重合，这个图形就叫做中心对称图形，该点叫做对称中心；若一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。需要根据两个概念，对每个选项逐一判断即可得到结果.4．【答案】C【解析】【解答】解：A．，错误；B．，等式不恒成立，错误；C．，C正确；D．，错误．

故答案为：C.

【分析】需要分别运用合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法法则、积的乘方运算法则，对四个选项逐一计算验证，即可得到正确结果．5．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，，∴．

故答案为：D.

【分析】根据平行四边形“对角相等”的性质，结合题干给出的已知角度计算即可得到结果.6．【答案】B【解析】【解答】解：解不等式，得，解不等式，得，∴不等式组的解集为，且其在数轴上表示为：故选：B．【分析】先分别解各不等式，再把各解集表示在同一数轴上即可．7．【答案】B【解析】【解答】解：首先从折线图中提取10次射击成绩，依次为：（单位：环），统计各成绩的出现次数：环共出现次，是所有成绩中出现次数最多的，因此这10次成绩的众数是环．

故答案为：B.

【分析】需要结合折线统计图读取数据，再根据众数的定义判断即可得到结果.8．【答案】D【解析】【解答】解：连接，∵与相切于点B，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴．

故答案为：D.

【分析】通过连接辅助线，先利用切线的性质得到，结合已知角度求出的度数，再利用等腰三角形等边对等角的性质得到所求角的度数，完成求解．9．【答案】B【解析】【解答】解：由抛物线图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上，，对称轴为，即，，，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，，，故②错误；，点A的坐标为，代入解析式得，∵，等式两边同时除以得，故③正确；设，，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，和是方程的两根，，，，故④正确；综上所述：正确的有①③④，共3个，故选：B．【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.10．【答案】D【解析】【解答】解：令，则，∵，∴，∴．故答案为：．

【分析】可根据错位相减法求解，设等于要求的原式，将原式整体乘以公比5得到新的等式，再将两个等式错位相减，抵消掉中间所有重复的项，即可化简计算得到的结果．11．【答案】3【解析】【解答】解：，故答案为3.

【分析】利用算术平方根的性质及任何不等于0的零次幂等于1，先算乘方和开方运算，再算加法运算.12．【答案】【解析】【解答】解：由题意，共有4种等可能的结果，其中抽得的卡片是“乐”的情况只有1种，故抽得的卡片是“乐”的概率为．

故答案为：.

【分析】根据概率公式，结合题目给出的条件计算得到抽取结果的概率.13．【答案】20【解析】【解答】解：过作于点，过作于点，∵，∴，∴，∵的面积等于5，，，∴，∴．

故答案为：20.【分析】过点作，垂足为，再过点作，垂足为。结合平行线之间的距离处处相等的性质，得到，再根据“等底等高的三角形面积相等”这一性质就可以求出结果.14．【答案】【解析】【解答】解：设此扇形的圆心角为，由题意得：，，根据弧长公式，代入得：，等式两边同除以，得：，化简得：，解得：．

故答案为：.

【分析】设圆心角的度数为，再将题目给出的弧长和半径代入扇形弧长公式，即可解出圆心角的度数.15．【答案】【解析】【解答】解：∵点在函数的图象上，∴，解得，∴交点的坐标为，由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象的上方，∴不等式的解集为．

故答案为：.【分析】将交点P的坐标代入已知正比例函数的解析式，计算得到m的值，确定两个函数交点的坐标；再结合函数图象的性质：不等式，对应的就是一次函数图象在上方的部分，找出对应的x的取值范围，即得到不等式的解集．16．【答案】【解析】【解答】解：过作轴于，过作轴于，则，∴，∴，∵A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，，∴，，设，∴，，，，，∴，解得，∴，∵．∴，解得．

故答案为：.

【分析】设，，。过点作轴，垂足为；过点作轴，垂足为。可得，得出，根据相似三角形的性质，对应边成比例可得，将各线段对应长度代入比例式后，可解得。再依据，解方程即可得到最终结果.17．【答案】【解析】【解答】解：原式．

【分析】根据零指数幂的性质、绝对值的化简法则、特殊锐角的三角函数值以及二次根式的运算规则，对原式中的每一项分别化简后，再合并同类二次根式即可.18．【答案】解：原式当时，原式【解析】【分析】先计算括号内分式的加减，再把除法化为乘法，分解因式约分化简，再把x的值代入计算即可．19．【答案】（1）（2）甲（3）解：乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由如下：甲班方差，乙班的中位数大于甲班的中位数，说明乙班有一半以上学生的锻炼时长超过小时，整体锻炼时长更长；乙班的方差小于甲班的方差，说明乙班学生的锻炼时长波动更小，数据更稳定，故乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好.【解析】【解答】（1）解：甲班数据由小到大排序为：，∴中位数，∵乙班条形图中，时长为小时的人数最多，∴众数；

故答案为：7.5；9；（2）解：甲班中位数为，乙班中位数为，小明与小刚平均时长均为小时，在甲班中，说明小明在甲班排名前名；在乙班中，说明小刚在乙班排名后名，所以小明是甲班的学生；故答案为：甲.

【分析】（）根据中位数和众数的定义，即可算出对应结果；（）结合中位数代表的统计意义，对这个问题分析判断，即可得到结论；（）计算得出甲班成绩的方差，再结合中位数与方差的统计含义，即可得出结论.（1）解：甲班数据由小到大排序为：，∴中位数，∵乙班条形图中，时长为小时的人数最多，∴众数；（2）解：甲班中位数为，乙班中位数为，小明与小刚平均时长均为小时，在甲班中，说明小明在甲班排名前名；在乙班中，说明小刚在乙班排名后名，所以小明是甲班的学生；（3）解：乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由如下：甲班方差，乙班的中位数大于甲班的中位数，说明乙班有一半以上学生的锻炼时长超过小时，整体锻炼时长更长；乙班的方差小于甲班的方差，说明乙班学生的锻炼时长波动更小，数据更稳定，故乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好．20．【答案】（1）证：、分别是边、的中点，，，，，，即，，，四边形是菱形.（2）【解析】【解答】（2）解：四边形是菱形，，，，，，，则，，中，．

故答案为：.【分析】（1）根据三角形中线的定义，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，可以证得，；再根据线段垂直平分线的性质，得到，四边相等的四边形是菱形，即可完成证明；（2）根据菱形的性质可以得到，同时，再结合三角形中位线的性质求出的长度，解直角三角形计算得到的长度，最后由勾股定理计算即可.（1）证：、分别是边、的中点，，，，，，即，，，四边形是菱形．（2）解：四边形是菱形，，，，，，，则，，中，．21．【答案】（1）解：设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元，

∴，

解得，，

检验，当时，原方程有意义，

∴A类餐盒每个的价格为1元；（2）解：根据（1）的计算可知，B类餐盒每个的价格为元，设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个，

∴，

解得，，

设总费用为，

∴，

∵，

∴随的增大而减小，

∴当时，最小，最小值为（元），

∴，

∴购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元．【解析】【分析】本题以购买可降解餐盒为背景，考查了分式方程的应用及一元一次不等式与一次函数最值的综合应用。

（1）设A类餐盒单价为x元，则B类为x元，根据购买数量关系列分式方程求解，并检验。

（2）设购买A类y个，则B类(600-y)个，根据数量关系列不等式求y的范围，写出总费用函数，利用一次函数增减性求最小费用及对应进货方案。（1）解：设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元，∴，解得，，检验，当时，原方程有意义，∴A类餐盒每个的价格为1元；（2）解：根据（1）的计算可知，B类餐盒每个的价格为元，设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个，∴，解得，，设总费用为，∴，∵，∴随的增大而减小，∴当时，最小，最小值为（元），∴，∴购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元．22．【答案】（1）过点作于点，过点作于点，过点作于，四边形，四边形都是矩形，，，，，，在中，，，，，，答：机械臂端点到工作台的距离的长约为米．（2）在中，由勾股定理可知：，则，在中，，，．答：的长约为米.【解析】【分析】（1）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，再过点作，垂足为。先在中计算得到，再在中计算得到，即可计算出的长度；（2）求解长度时，先在中求出的长度，再在中求出的长度，计算即可得到的长度．23．【答案】（1）解：如图，

∵，，，

∴，

当时，则，

∴，

∵，，

∴，

解得，

∴当时，；（2）解：如图，作于点，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴关于的函数关系式为；（3）解：存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，如图，四边形是菱形，且以为对角线，作于点，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得；

如图，四边形是菱形，且以为对角线，则，

∴，

解得；

如图，四边形是菱形，且以为对角线，作于点，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得；

综上所述，存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，的值为或或．【解析】【分析】（1）已知△ABC中∠C=90∘，$AC=4cm，BC=3cm，根据勾股定理可以先计算出.当时，可得对应角，此时PQ与BC平行，根据平行线分线段成比例可得.题目已知，将各线段长度代入比例式可得，解方程即可得到.；

（）过点作，垂足为点，可以证明，根据相似三角形的性质可得比例式，计算得到.结合三角形面积公式，即可推导出关于的函数关系式为；

（）分三种情况讨论，①若四边形是菱形，且为对角线，作于点，则，由，得，解得，于是；②若四边形是菱形，且为对角线，此时，即；③若四边形是菱形，且为对角线，作于点，则，由，得，解得，于是，分别计算上述方程，即可计算出对应t值.（1）解：如图，∵，，，∴，当时，则，∴，∵，，∴，解得，∴当时，；（2）解：如图，作于点，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴关于