2026年浙江省人教版高中数学必修第4章数列习题

2026年浙江省人教版高中数学必修第4章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-10解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-n，则b_5的值为（）A.16B.31C.48D.63解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。验证n=1时S_1=1，b_1=S_1=1符合通项，故b_5=2^4-1=15。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.100C.150D.200解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，变形为c_{n+1}-(n+1)=c_n-n，构造新数列d_n=c_n-n，则d_{n+1}=d_n，即d_n为常数。由c_1=1得d_1=1，故c_n=n+1，c_10=10+1=11。4.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2或-3C.3或-2D.2或3解析：由等比数列性质a_4=a_2q^2，代入a_2=6，a_4=54得q^2=9，解得q=3或q=-3。5.已知数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则d_3的值为（）A.7B.9C.11D.13解析：当n≥2时，d_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时S_1=2，d_1=S_1=2符合通项，故d_3=2×3=6。6.若数列{e_n}的前n项和T_n=3^n-1，则e_5等于（）A.243B.242C.240D.239解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=3^n-1-[3^{n-1}-1]=2×3^{n-1}。验证n=1时T_1=2，e_1=T_1=2符合通项，故e_5=2×3^4=162。7.在等差数列{f_n}中，若f_1+f_3+f_5=27，f_2+f_4+f_6=39，则该数列的公差d等于（）A.2B.3C.4D.5解析：由等差数列性质f_1+f_5=2f_3，f_2+f_6=2f_4，代入已知条件得3f_3=27，3f_4=39，解得f_3=9，f_4=13，故d=f_4-f_3=4。8.已知数列{g_n}满足g_1=2，g_{n+1}=2g_n+n，则g_6的值为（）A.112B.114C.116D.118解析：由递推关系g_{n+1}=2g_n+n，变形为g_{n+1}+n+1=2(g_n+n)，构造新数列h_n=g_n+n，则h_{n+1}=2h_n，即h_n为等比数列。由g_1=2得h_1=3，公比q=2，故h_6=3×2^5=96，g_6=h_6-6=90。9.在等比数列{h_n}中，若h_1=1，h_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.64C.127D.128解析：由等比数列性质h_3=h_1q^2，代入h_1=1，h_3=8得q^2=8，q=2√2。前6项和S_6=1×(1-2^6)/(1-2√2)，化简得S_6=127。10.已知数列{i_n}的前n项和U_n=2n^2+n，则i_4等于（）A.25B.26C.27D.28解析：当n≥2时，i_n=U_n-U_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1。验证n=1时U_1=3，i_1=U_1=3符合通项，故i_4=4×4-1=15。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列的通项公式a_n=_________。解：由S_n=3n^2-2n得a_n=S_n-S_{n-1}=6n-5。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，则该数列的公比q=_________。解：由b_4=b_1q^3，代入b_1=2，b_4=32得q=2。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+3n，则c_5=_________。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，构造新数列d_n=c_n+3(n-1)，则d_{n+1}=d_n+3，即d_n为等差数列。由c_1=1得d_1=4，d_5=4+12=16，c_5=16-3×4=4。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，则d_3=_________。解：当n≥2时，d_n=T_n-T_{n-1}=2n+1。验证n=1时T_1=3，d_1=3符合通项，故d_3=7。5.在等差数列{e_n}中，若e_1=5，e_4=14，则该数列的公差d=_________。解：由e_4=e_1+3d，代入e_1=5，e_4=14得d=3。6.已知数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=2f_n+n，则f_4=_________。解：由递推关系f_{n+1}=2f_n+n，构造新数列g_n=f_n+n，则g_{n+1}=2g_n，即g_n为等比数列。由f_1=3得g_1=4，g_4=4×2^3=32，f_4=32-4=28。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_5=162，则该数列的公比q=_________。解：由g_5=g_2q^3，代入g_2=6，g_5=162得q=3。8.若数列{h_n}的前n项和V_n=2^n-n，则h_4=_________。解：当n≥2时，h_n=V_n-V_{n-1}=2^n-1。验证n=1时V_1=1，h_1=1符合通项，故h_4=15。9.在等差数列{i_n}中，若i_1+i_2+i_3=12，i_2+i_3+i_4=18，则该数列的公差d=_________。解：由等差数列性质i_1+i_3=2i_2，i_2+i_4=2i_3，代入已知条件得3i_2=12，3i_3=18，解得i_2=4，i_3=6，故d=i_3-i_2=2。10.已知数列{j_n}的前n项和W_n=n^2+n，则j_5=_________。解：当n≥2时，j_n=W_n-W_{n-1}=2n。验证n=1时W_1=2，j_1=2符合通项，故j_5=10。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。解：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n+1。验证n=1时a_1=S_1=5符合通项，故该数列是等差数列，正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q=±2。解：由b_3=b_1q^2，代入b_1=1，b_3=8得q^2=8，q=±2√2，错误。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+2n，则该数列是等差数列。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，构造新数列d_n=c_n+n，则d_{n+1}=d_n+2，即d_n为等差数列，正确。4.在等差数列{d_n}中，若d_1+d_3+d_5=27，则d_2+d_4+d_6=39。解：由等差数列性质d_1+d_5=2d_3，d_2+d_6=2d_4，代入d_1+d_3+d_5=27得3d_3=27，d_3=9，故d_2+d_4+d_6=3d_4=27，错误。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=3^n-1，则该数列是等比数列。解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2×3^{n-1}。验证n=1时T_1=2，e_1=2符合通项，故该数列是等比数列，正确。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=2，f_4=32，则该数列的公比q=4。解：由f_4=f_1q^3，代入f_1=2，f_4=32得q=2，错误。7.若数列{g_n}满足g_{n+1}=2g_n+n，则该数列的前n项和为2n^2+n。解：由递推关系g_{n+1}=2g_n+n，构造新数列h_n=g_n+n，则h_{n+1}=2h_n，即h_n为等比数列。由g_1=1得h_1=2，前n项和为2(2^n-1)，错误。8.在等差数列{i_n}中，若i_1+i_2+i_3=12，则i_4=18。解：由等差数列性质i_1+i_3=2i_2，代入i_1+i_2+i_3=12得3i_2=12，i_2=4，无法确定i_4，错误。9.已知数列{j_n}的前n项和V_n=n^2+n，则该数列是等比数列。解：当n≥2时，j_n=V_n-V_{n-1}=2n。验证n=1时V_1=2，j_1=2符合通项，故该数列是等差数列，错误。10.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的前6项和S_6=63。解：由a_4=a_2q^2，代入a_2=6，a_4=54得q=3。前6项和S_6=6×(1-3^6)/(1-3)=127，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为3，公差为2，求该数列的前10项和S_10。解：S_10=10×3+(10×9/2)×2=210。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，求该数列的通项公式b_n。解：公比q=2，b_n=2×2^{n-1}=2^n。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+3n，求c_5的值。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，构造新数列d_n=c_n+3(n-1)，则d_{n+1}=d_n，即d_n为常数。由c_1=1得d_1=4，故c_n=n+1，c_5=6。4.在等差数列{i_n}中，若i_1+i_3+i_5=27，求i_2+i_4+i_6的值。解：由等差数列性质i_1+i_5=2i_3，代入i_1+i_3+i_5=27得3i_3=27，i_3=9，故i_2+i_4+i_6=3i_4=27。5.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，求a_4的值。解：a_4=S_4-S_3=25-12=13。6.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_5=162，求该数列的公比q。解：由b_5=b_2q^3，代入b_2=6，b_5=162得q=3。7.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=2c_n+n，求c_4的值。解：由递推关系c_{n+1}=2c_n+n，构造新数列d_n=c_n+n，则d_{n+1}=2d_n，即d_n为等比数列。由c_1=2得d_1=3，d_4=3×2^3=24，故c_4=24-4=20。8.在等差数列{d_n}中，若d_1=5，d_4=14，求该数列的通项公式d_n。解：公差d=3，d_n=5+3(n-1)=3n+2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=10，d=5得a_{10}=10+9×5=55。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.1，n=5得a_5=100×1.1^4≈146.41万。3.某人存款计划每年存入银行一笔固定金额，已知第一年存入1万元，以后每年比前一年多存入0.5万元，求第5年存入银行的总金额。解：由等差数列性质S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=1，d=0.5，n=5得S_5=12.5万元。4.某产品成本每年下降10%，已知2020年成本为100元，求2024年成本。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=0.9，n=4得a_4=100×0.9^3≈72.9元。5.某林场计划每年比上一年多植树，已知第一年植树1000棵，以后每年比前一年多植树200棵，求第8年植树数量。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=1000，d=200得a_8=1800。6.某公司员工工资每年上涨5%，已知2020年工资为5000元，求2026年工资。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=5000，q=1.05，n=6得a_6≈6690.8元。7.某城市道路建设计划每年比上一年多修建，已知第一年修建道路20公里，以后每年比前一年多修建3公里，求第7年修建道路总长度。解：由等差数列性质S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=20，d=3，n=7得S_7=161公里。8.某农场计划每年比上一年多种植作物，已知第一年种植面积100亩，以后每年比前一年多种植10亩，求第6年种植面积。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=100，d=10得a_6=160。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.C5.A6.C7.B8.A9.C10.D二、填空题1.6n-512.213.1614.715.316.2817.318.1519.220.10三、判断题1.√22.×23.√24.×25.√26.×27.×28.×29.×30.×四、简答题1.解：S_10=10×3+(10×9/2)×2=210。2.解：公比q=2，b_n=2×2^{n-1}=2^n。3.解：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，构造新数列d_n=c_n+3(n-1)，则d_{n+1}=d_n，即d_n为常数。由c_1=1得d_1=4，故c_n=n+1，c_5=6。4.解：由等差数列性质i_1+i_5=