2026年浙江省人教版高中数学必修第6章数列习题

2026年浙江省人教版高中数学必修第6章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故b_4=2^3=8。选项A正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系可得c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，c_4=c_3+2×3=13，c_5=c_4+2×4=21，c_6=c_5+2×5=26。选项D正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=±3。选项C正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，故e_3=2×3-1=5。选项B正确。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则数列{f_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摄动数列D.非等差非等比数列解析：当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故f_1=S_1=2，f_2=6，f_3=18，数列是首项为2，公比为3的等比数列。选项B正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9等于（）A.24B.27C.30D.33解析：由等差数列性质可得a_4+a_5+a_6=a_1+a_2+a_3+9d，代入数据得18=12+9d，解得d=2/3，故a_7+a_8+a_9=a_4+a_5+a_6+9d=18+9×2/3=30。选项C正确。8.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则h_5等于（）A.10B.11C.12D.13解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)/2-[(n-1)n/2]=2n，故h_5=2×5=10。选项A正确。9.若数列{p_n}满足p_1=2，p_{n+1}=p_n+1/n，则p_5的值为（）A.3.5B.4C.4.5D.5解析：由递推关系可得p_2=p_1+1=3，p_3=p_2+1/2=3.5，p_4=p_3+1/3≈3.833，p_5=p_4+1/4≈4.083。选项C正确。10.在等比数列{q_n}中，若q_1=1，q_3=8，则q_6等于（）A.32B.64C.128D.256解析：由等比数列通项公式q_n=q_1q^{n-1}，代入q_3=q_1q^2=8，解得q=2，故q_6=q_1q^5=2^5=32。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_3+a_7=18，则a_5+a_9=________。参考答案：30解析：由等差数列性质可得a_5+a_9=a_3+a_7+4d=18+4d，又a_5=a_3+2d，a_9=a_7+2d，故a_5+a_9=2a_7+4d=2(a_3+a_7)/2+4d=18+4d，即a_5+a_9=30。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则b_4=________。参考答案：13解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故b_4=2×4=8。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6=________。参考答案：21解析：由递推关系可得c_2=3，c_3=7，c_4=13，c_5=21，c_6=26。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则公比q=________。参考答案：-3解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=±3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_5=________。参考答案：15解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[(n-1)n/2]=2n，故e_5=2×5=10。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则数列{f_n}是________数列。参考答案：等比解析：当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故f_1=S_1=2，f_2=6，f_3=18，数列是首项为2，公比为3的等比数列。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_10+a_11+a_12=________。参考答案：36解析：由等差数列性质可得a_4+a_5+a_6=a_1+a_2+a_3+9d，代入数据得18=12+9d，解得d=2/3，故a_10+a_11+a_12=a_4+a_5+a_6+18d=18+18×2/3=36。8.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则h_6=________。参考答案：21解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)/2-[(n-1)n/2]=2n，故h_6=2×6=12。9.若数列{p_n}满足p_1=2，p_{n+1}=p_n+1/n，则p_4=________。参考答案：4.083解析：由递推关系可得p_2=3，p_3=3.5，p_4=3.833。10.在等比数列{q_n}中，若q_1=1，q_3=8，则q_7=________。参考答案：64解析：由等比数列通项公式q_n=q_1q^{n-1}，代入q_3=q_1q^2=8，解得q=2，故q_7=q_1q^6=2^6=64。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2+n，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-2(n-1)^2-(n-1)=4n-1，故数列是首项为3，公差为4的等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1+b_2+b_3=13，b_2+b_3+b_4=39，则公比q=3。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质可得b_2+b_3+b_4=b_1+b_2+b_3+3b_1q，代入数据得39=13+3b_1q，解得b_1q=26/3，又b_2=b_1q，故q=3。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+n，则该数列是等差数列。（）参考答案：错误解析：由递推关系可得c_2=2，c_3=5，c_4=9，d_2=c_2-c_1=1，d_3=c_3-c_2=3，公差不恒定，故不是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9=24。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质可得a_4+a_5+a_6=a_1+a_2+a_3+9d，代入数据得18=12+9d，解得d=2/3，故a_7+a_8+a_9=a_4+a_5+a_6+9d=18+9×2/3=24。5.已知数列{e_n}的前n项和为T_n=n^2+n，则e_n=2n。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[(n-1)n/2]=2n，但e_1=T_1=2≠2×1，故不是等差数列。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则数列{f_n}是等比数列。（）参考答案：正确解析：当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故f_1=S_1=2，f_2=6，f_3=18，数列是首项为2，公比为3的等比数列。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_3=8，则g_5=32。（）参考答案：正确解析：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_3=g_1q^2=8，解得q=2，故g_5=g_1q^4=2×16=32。8.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则h_n=2n。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)/2-[(n-1)n/2]=2n，但h_1=S_1=1≠2×1，故不是等差数列。9.若数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=p_n+1/n，则p_4=4.5。（）参考答案：错误解析：由递推关系可得p_2=1.5，p_3=2.5，p_4=3.5。10.在等比数列{q_n}中，若q_1=1，q_3=8，则q_5=64。（）参考答案：正确解析：由等比数列通项公式q_n=q_1q^{n-1}，代入q_3=q_1q^2=8，解得q=2，故q_5=q_1q^4=2^4=16。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_5=15，求该数列的通项公式。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=15可得15=5+4d，解得d=2.5，故a_n=5+(n-1)×2.5=2.5n+2.5。2.若数列{b_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求b_4的值。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故b_4=2×4=8。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=3，c_4=81，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_4=c_1q^3=81，解得q=3。4.已知数列{d_n}的前n项和为T_n=2^n-1，求d_3的值。解：当n≥2时，d_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故d_3=2^2=4。5.在等差数列{e_n}中，若a_1+a_2+a_3=15，a_4+a_5+a_6=21，求a_7+a_8+a_9的值。解：由等差数列性质可得a_4+a_5+a_6=a_1+a_2+a_3+9d，代入数据得21=15+9d，解得d=2/3，故a_7+a_8+a_9=a_4+a_5+a_6+9d=21+9×2/3=27。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=3^n-1，求该数列是等比数列的证明。解：当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故f_1=S_1=2，f_2=6，f_3=18，数列是首项为2，公比为3的等比数列。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_3=16，求g_5的值。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_3=g_1q^2=16，解得q=2，故g_5=g_1q^4=2×16=32。8.已知数列{h_n}的前n项和为T_n=n(n+1)/2，求h_n的通项公式。解：当n≥2时，h_n=T_n-S_{n-1}=n(n+1)/2-[(n-1)n/2]=2n，但h_1=S_1=1≠2×1，故h_n=2n（n≥2），h_1=1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的10%，若第一年生产能力为100万吨，求第5年的生产能力。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.1，n=5，可得a_5=100×1.1^4≈146.41万吨。2.某城市人口每年增长2%，若当前人口为100万，求10年后的预计人口。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.02，n=11，可得a_11=100×1.02^10≈121.89万。3.某投资账户每年收益率为5%，若初始投资为10万元，求5年后的账户总额。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=10，q=1.05，n=6，可得a_6=10×1.05^5≈12.97万元。4.某工厂计划每年比上一年减少能耗5%，若第一年能耗为100吨，求第4年的能耗。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=0.95，n=5，可得a_5=100×0.95^4≈81.46吨。5.某城市绿化面积每年增加3%，若当前绿化面积为100公顷，求8年后的预计绿化面积。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.03，n=9，可得a_9=100×1.03^8≈125.97公顷。6.某产品成本每年下降2%，若初始成本为100元，求6年后的预计成本。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=0.98，n=7，可得a_7=100×