2026年浙江省人教版高中数学必修第7章数列习题

2026年浙江省人教版高中数学必修第7章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-10解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。选项B、C、D均不符合计算结果。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_5的值为（）A.16B.32C.64D.128解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}。验证n=1时S_1=b_1=1符合通项，故b_5=2^4=16。选项B、C、D计算错误。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，c_4=c_3+2×3=13，c_5=c_4+2×4=21，c_6=c_5+2×5=26。选项A、B、C计算错误。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=3。选项B、C、D均不符合计算结果。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_4的值为（）A.16B.20C.24D.28解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。验证n=1时T_1=e_1=2符合通项，故e_4=2×4=8。选项A、B、C、D均计算错误。6.若数列{f_n}的前n项和U_n=3^n-1，则f_3的值为（）A.26B.27C.28D.29解析：当n≥2时，f_n=U_n-U_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时U_1=f_1=2符合通项，故f_3=2×3^2=18。选项A、B、C、D均计算错误。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4解析：由等差数列性质a_4+a_5+a_6=(a_1+a_2+a_3)+9d，代入已知条件12+9d=18，解得d=2。选项A、C、D均不符合计算结果。8.已知数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=2h_n+n，则h_5的值为（）A.62B.64C.66D.68解析：由递推关系h_{n+1}=2h_n+n，可得h_2=2×2+1=5，h_3=2×5+2=12，h_4=2×12+3=27，h_5=2×27+4=58。选项A、B、C、D均计算错误。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_3=8，则该数列的前5项和S_5等于（）A.31B.33C.35D.37解析：由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=1，i_3=8得q=2。故S_5=1×(2^5-1)/(2-1)=31。选项B、C、D均不符合计算结果。10.已知数列{j_n}的前n项和V_n=2n^2-n，则j_3的值为（）A.11B.12C.13D.14解析：当n≥2时，j_n=V_n-V_{n-1}=2n^2-n-[2(n-1)^2-(n-1)]=4n-3。验证n=1时V_1=j_1=1符合通项，故j_3=4×3-3=9。选项A、B、C、D均计算错误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n等于______。解：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，即d=3。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_5-4d=2，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_4的值为______。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时S_1=b_1=2符合通项，故b_4=2×3^3=54。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_6的值为______。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，可得c_2=2+3×1=5，c_3=5+3×2=11，c_4=11+3×3=20，c_5=20+3×4=32，c_6=32+3×5=47。4.在等比数列{d_n}中，若d_3=12，d_5=96，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列性质d_5=d_3q^2，代入d_3=12，d_5=96得12q^2=96，解得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+2n，则e_4的值为______。解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+2n-[（n-1）^2+2(n-1)]=2n+1。验证n=1时T_1=e_1=3符合通项，故e_4=2×4+1=9。6.若数列{f_n}的前n项和U_n=4^n-1，则f_3的值为______。解：当n≥2时，f_n=U_n-U_{n-1}=(4^n-1)-(4^{n-1}-1)=3×4^{n-1}。验证n=1时U_1=f_1=3符合通项，故f_3=3×4^2=48。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=5，a_6=17，则该数列的前10项和S_10等于______。解：由等差数列性质a_6=a_1+5d，代入a_1=5，a_6=17得5d=12，即d=2.4。通项公式a_n=5+2.4(n-1)，故S_10=10×[5+5×2.4]/2=150。8.已知数列{h_n}满足h_1=3，h_{n+1}=h_n+2n，则h_5的值为______。解：由递推关系h_{n+1}=h_n+2n，可得h_2=3+2×1=5，h_3=5+2×2=9，h_4=9+2×3=15，h_5=15+2×4=23。9.在等比数列{i_n}中，若i_2=4，i_4=64，则该数列的前6项和S_6等于______。解：由等比数列性质i_4=i_2q^2，代入i_2=4，i_4=64得4q^2=64，解得q=4。故S_6=4×(4^6-1)/(4-1)=2100。10.已知数列{j_n}的前n项和V_n=n^2+n，则j_3的值为______。解：当n≥2时，j_n=V_n-V_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时V_1=j_1=2符合通项，故j_3=2×3=6。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3=15，则a_2=5。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2，代入已知条件15=3a_2，解得a_2=5。该命题正确。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_n=2^{n-1}。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}。但验证n=1时S_1=b_1=1不符合通项b_1=2^0=1，故该命题错误。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_3=8，则该数列的公比q=2。解：由等比数列性质c_3=c_1q^2，代入c_1=2，c_3=8得2q^2=8，解得q=±2。该命题不完整，故错误。4.已知数列{d_n}满足d_{n+1}=d_n+n，则该数列是等差数列。解：由递推关系d_{n+1}-d_n=n，可知该数列的公差为n，不是常数，故不是等差数列。该命题错误。5.在等差数列{e_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=5。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3，代入已知条件25=5a_3，解得a_3=5。该命题正确。6.若数列{f_n}的前n项和T_n=n^2+n，则f_n=2n。解：当n≥2时，f_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时T_1=f_1=2符合通项，故该命题正确。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则该数列的公比q=3。解：由等比数列性质g_4=g_2q^2，代入g_2=6，g_4=54得6q^2=54，解得q=3。该命题正确。8.已知数列{h_n}满足h_{n+1}=2h_n+1，则该数列是等比数列。解：由递推关系h_{n+1}-2h_n=1，可知该数列的差为常数1，不是等比数列。该命题错误。9.在等差数列{i_n}中，若i_1=1，i_5=9，则该数列的公差d=2。解：由等差数列性质i_5=i_1+4d，代入i_1=1，i_5=9得1+4d=9，解得d=2。该命题正确。10.已知数列{j_n}的前n项和V_n=2n^2-n，则j_n=4n-3。解：当n≥2时，j_n=V_n-V_{n-1}=2n^2-n-[2(n-1)^2-(n-1)]=4n-3。验证n=1时V_1=j_1=1符合通项，故该命题正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求等差数列{a_n}的通项公式，已知a_3=7，a_7=15。解：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，求b_4的值。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时S_1=b_1=2符合通项，故b_4=2×3^3=54。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+2n，求c_6的值。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=2+2×1=4，c_3=4+2×2=8，c_4=8+2×3=14，c_5=14+2×4=22，c_6=22+2×5=32。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求e_4的值。解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时T_1=e_1=2符合通项，故e_4=2×4=8。6.若数列{f_n}的前n项和U_n=4^n-1，求f_3的值。解：当n≥2时，f_n=U_n-U_{n-1}=(4^n-1)-(4^{n-1}-1)=3×4^{n-1}。验证n=1时U_1=f_1=3符合通项，故f_3=3×4^2=48。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=5，a_6=17，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列性质a_6=a_1+5d，代入a_1=5，a_6=17得5d=12，即d=2.4。通项公式a_n=5+2.4(n-1)，故S_10=10×[5+5×2.4]/2=150。8.已知数列{h_n}满足h_1=3，h_{n+1}=h_n+2n，求h_5的值。解：由递推关系h_{n+1}=h_n+2n，可得h_2=3+2×1=5，h_3=5+2×2=9，h_4=9+2×3=15，h_5=15+2×4=23。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产3台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=10，d=3，n=10得a_{10}=10+9×3=37。第10年生产设备数量为37台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.1，n=5得a_5=100×1.1^4≈146.41。2025年人口数量约为146.41万。3.某企业投资回报率为每年20%，已知第一年投资为100万元，求第5年投资总额。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.2，n=5得a_5=100×1.2^4≈259.2。第5年投资总额约为259.2万元。4.某学校图书馆藏书量每年增加200本，已知2020年藏书量为5000本，求2025年藏书量。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5000，d=200，n=5得a_5=5000+4×200=5800。2025年藏书量为5800本。5.某产品价格每年上涨5%，已知2020年价格为100元，求2024年价格。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.05，n=4得a_4=100×1.05^3≈115.76。2024年价格约为115.76元。6.某工厂生产零件数量每年比前一年多生产10%，已知2020年生产零件数量为1000件，求2023年生产零件数量。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=1000，q=1.1，n=3得a_3=1000×1.1^2≈1210。2023年生产零件数量约为1210件。7.某城市绿化面积每年增加2公顷，已知2020年绿化面积为50公顷，求2026年绿化面积。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=50，d=2，n=6得a_6=50+5×2=60。2026年绿化面积为60公顷。8.某企业员工工资每年上涨8%，已知2020年工资为5000元，求2025年工资。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=5000，q=1.08，n=5得a_5=5000×1.08^4≈7346.55。2025年工资约为7346.55元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.A6.A7.B8.A9.A10.A解析：所有选项均需详细计算过程，此处省略。二、填空题1.3n-112.5413.4714.215.916.4817.15018.2319.210020.6解析：所有选项均需详细计算过程，此处省略。三、判断题1.√22.×23.×24.×25.√26.√27.√28.×29.√30.√解析：所有选项均需详细判断过程，此处省略。四、简答题1.解：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时S_1=b_1=2符合通项，故b_4=2×3^3=54。3.解：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=2+2×1=4，c_3=4+2×2=8，c_4=8+2×3=14，c_5=14+2×4=22，c_6=22+2×5=32。4.解：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=3。5.解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时T_1=e_1=2符合通项，故e_4=2×4=8。6.解：当n≥2时，f_n=U_n-U_{n-1}=(4^n-1)-(4^{n-1}-1)=3×4^{n-1}。验证n=1时U_1=f_1=3符合通项，故f_3=3×4^2=48。7.解：由等差数列性质a_6=a_1+5d，代入a_1=5，a_6=17得5d=12，即d=2