复数重点试题及其答案解析

复数重点试题及其答案解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足(1+i)z=2+i，则z的实部是（）A.1B.1/2C.3/2D.22.复数i⁹的值是（）A.iB.-1C.-iD.13.复数z=√3-i在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.若复数z=a+bi(a,b∈R)的模长|z|=5，且辐角主值arg(z)=π/3，则a的值是（）A.5√3/2B.5/2C.-5/2D.-5√3/25.复数(1-i)²的值是（）A.2iB.-2iC.2D.-26.复数z₁=3+4i与z₂=-1-2i的乘积z₁z₂是（）A.11+10iB.11-10iC.-11+10iD.-11-10i7.已知复数z满足|z|=2且z²是纯虚数，则z的一个可能值是（）A.2iB.√2+√2iC.-2D.1-i8.设z=1+i，则z³的值是（）A.-2B.2C.-2iD.2i9.若z₁=a+bi，z₂=c+di(a,b,c,d∈R)，则|z₁+z₂|与|z₁|+|z₂|的关系是（）A.总有|z₁+z₂|≥|z₁|+|z₂|B.总有|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|C.仅当z₁,z₂为共轭复数时，才有|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|D.仅当z₁,z₂为纯虚数时，才有|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|10.若关于x的实系数一元二次方程x²+px+q=0有一个根是1-2i，则它的另一个根是（）A.1+2iB.-1-2iC.-1+2iD.1-2i二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。11.若复数z=(2-i)/(1+i)，则z的实部是________。12.已知复数z=√3+i，则|z|=________，arg(z)=________（结果用反三角函数表示）。13.若复数z满足z²=-8-6i，则z的模|z|=________。14.若复数w=(1+i)²-i(1-i)，则w=________。15.在复平面内，点A,B分别对应复数z₁=2，z₂=-3+4i，则向量AB的模|AB|=________。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）已知复数z=a+bi(a,b∈R)，且|z|=3，z²-2z的实部为7。求a,b的值。17.（本小题满分12分）计算(1-i)⁵+(1+i)⁵的值。18.（本小题满分14分）设复数z=1-cosθ+isinθ(θ∈R)。（1）求|z|的值；（2）若z²是纯虚数，求θ的一个可能值。19.（本小题满分15分）已知复数z₁=1+i，z₂=x-2i(x∈R)。（1）若|z₁+z₂|=√10，求x的值；（2）若z₁与z₂互为共轭复数，求x的值，并计算z₁+z₂+z₁z₂的值。20.（本小题满分15分）设z=a+bi(a,b∈R)，且z+2i与z-2i均为实数。（1）求证：b=0；（2）若|z|=2，且z<0（在复数范围内），求z。试卷答案一、选择题：1.C2.C3.A4.B5.D6.D7.A8.A9.A10.B二、填空题：11.1/212.2；arctan(√3/3)13.√1014.315.5三、解答题：16.解析：由|z|=3，得a²+b²=9。z²-2z=(a+bi)²-2(a+bi)=(a²-b²-2a)+(2ab-2b)i。实部为a²-b²-2a=7。联立方程组：{a²+b²=9{a²-b²-2a=7解得a=2,b=√5或a=2,b=-√5。17.解析：(1-i)⁵=[(1-i)²]²*(1-i)=(-2i)²*(1-i)=4*(1-i)=4-4i。(1+i)⁵=[(1+i)²]²*(1+i)=(2i)²*(1+i)=4*(1+i)=4+4i。原式=(4-4i)+(4+4i)=8。18.解析：（1）|z|=√[(1-cosθ)²+(sinθ)²]=√[1-2cosθ+cos²θ+sin²θ]=√[2-2cosθ]=√[2(1-cosθ)]=2√[1-cosθ]=2√(2sin²(θ/2))=2|sin(θ/2)|。由于θ∈R，|sin(θ/2)|≥0，所以|z|=2|sin(θ/2)|。（2）z²=(1-cosθ+isinθ)²=1-2cosθ+cos²θ+2isinθ-2icosθsinθ+i²sin²θ=(1-cos²θ-2cosθ)+i(2sinθ-2cosθsinθ)=-cos²θ-2cosθ+1+i(2sinθ-sin²θ)=-(cosθ+1)²+1+isinθ(2-sinθ)。z²为纯虚数，则实部为0且虚部不为0。实部：-(cosθ+1)²+1=0，得cosθ+1=±1。即cosθ=0或cosθ=-2。cosθ=-2无解。当cosθ=0时，θ=kπ+π/2(k∈Z)。此时虚部sinθ(2-sinθ)=(kπ+π/2)(2-0)=(kπ+π/2)*2=2kπ+π=π≠0。符合条件。所以θ的一个可能值为π/2。19.解析：（1）z₁+z₂=(1+i)+(x-2i)=(1+x)+(-1+2)i。|z₁+z₂|=√[(1+x)²+(-1+2)²]=√[(1+x)²+1²]=√[x²+2x+2]。由|z₁+z₂|=√10，得x²+2x+2=10。解得x=√8或x=-√8，即x=2√2或x=-2√2。（2）z₁与z₂互为共轭复数，则z₂=1-i。由z₂=x-2i，得x-2i=1-i。解得x=1,i=-i。矛盾。所以不存在实数x使得z₁与z₂互为共轭复数。（或：若z₁与z₂互为共轭复数，则z₂=1-i。由z₂=x-2i，得x-2i=1-i。解得x=1。此时z₁+z₂+z₁z₂=(1+i)+(1-i)+(1+i)(1-i)=1+1+1²-i²=2+2=4。）20.解析：（1）设z+2i=m(m∈R)，则z=m-2i。代入z=a+bi，得m-2i=a+bi。由复数相等的充要条件，得m=a,-2=b。所以b=-2。即b=0。（或设z-2i=n(n∈R)，则z=n+2i。代入z=a+bi，得n+2i=a+