山东省青岛第九中学2025-2026学年高二下册适应性检测数学试卷-含答案

数学满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.2.“或a=1”是“复数为纯虚数”的（）A.充分非必要条件 B.充要条件C.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件3.对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（）A.r1>r2>r3>r4.已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（）A.2 B.−2 C.e D.5.若球O1与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球O1的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.π46.将函数图象上各点的横坐标先缩短至原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到曲线y=gx．若直线x=t是曲线y=gx的一条对称轴，则的最小值为（）A. B. C. D.7.如图，双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，AB⊥BA. B.2 C.103 D.8.已知函数的导函数为f′(x)，和f′(x)的定义域均为，若，，，，则（）A. B. C. D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.若，则B.若随机变量X服从正态分布，则不论取何值，为定值C.数据2，7，4，5，16，1，21，11的下四分位数是2D.若事件A,B满足，且，则事件A,B独立10.已知斜率为k的直线经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A,B两点．点C是圆（）上的任意一点，使得的重心G在轴上．线段与轴的交点为K．则下列说法正确的是（）A.k的取值范围为B.三角形的面积是斜率k的函数C.当时，的最大值为6D.的最小值为4911.正方体内有两个互相垂直的内切圆柱（如图1所示），将它们公共部分的几何体记为（如图2所示）.若圆柱底面半径为1，两个圆柱相交时表面形成的交线分别记为，点P在上运动，E，F分别为，CC1的中点，则下列说法正确的是（）A.B.点P的轨迹是椭圆BC.存在点P，使D.棱长为1.6的正四面体能够被整体放入内第Ⅱ卷三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.若的展开式中的常数项是________．13.若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围为____________.14.不透明的盒子中装有大小质地相同的3个红球、2个白球，每次从盒子中摸出一个小球，若摸到红球得1分，并放回盒子中摇匀继续摸球；若摸到白球，则得2分且游戏结束．摸球n次后游戏结束的概率记为Pn，则________；在数列中，若，A为常数，现游戏进行了n次，n趋近于无穷大，游戏结束后，总得分记为X，则X的数学期望________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知在中，，.（1）求证：；（2）若边上的中线的长为1，求的面积.16.如图，在三棱台中，AC⊥平面ABB1A1，∠AA1（1）求证：平面AB1C⊥平面（2）求平面BB1C17.已知，分别是椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点，O为坐标原点，M为椭圆C上任意一点，的最大值为，当时，的面积为1．（1）求椭圆C的方程及其离心率；（2）已知A，B为椭圆C的左右顶点，若点P满足，当M与A，B不重合时，直线MP交椭圆C于另一点N，直线AM，BN交于点T．（ⅰ）证明：点T在一条定直线上；（ⅱ）求的最大值．18.已知函数，，.（1）当a=1时，讨论的单调性；（2）若a=0，令（其中表示，中的较小值），若存在，，使得恒成立.（ⅰ）求k的值；（ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，，证明：.19.某商场举行回馈顾客的抽奖游戏．箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”．每张“金券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为元，元，…，元．顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到3张“金券”时停止，不可中途退出游戏．游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金．现有一顾客参加了此次抽奖游戏．（1）求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率；（2）求该顾客的奖金不低于元的概率；（3）已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X，Y，有，求该顾客的奖金的期望．

数学满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解绝对值不等式求得集合B,再结合集合的运算即可求解.解答过程：解得或，即,则，则.2.“或a=1”是“复数为纯虚数”的（）A.充分非必要条件 B.充要条件C.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件答案：C解析：思路：先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可.解答过程：若复数为纯虚数，则，解得a=1，所以“或a=1”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件．3.对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（）A.r1>r2>r3>r答案：B解析：思路：根据给定的四组数据的散点图，结合相关系数的含义，即可求解.解答过程：由给定的四组数据的散点图可以看成：图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近1，所以r1>r图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近−1，所以r2<r综上可得，r14.已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（）A.2 B.−2 C.e D.答案：B解析：思路：先求在处的切线方程为；利用导数相等求出的切点横坐标x0=0；代入切线方程解得a=−2.解答过程：对求导得，当时，y=0，y′=1，曲线在处的切线方程为.设切线与相切于点，对求导得，由切线斜率为得，解得x0=0，将切点代入切线方程得，解得a=−2.5.若球O1与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球O1的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.π4答案：B解析：解答过程：设球O1与球的半径分别为，，球O1的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，所以，，所以，因为棱长为1的正方体的所有顶点都在球O1所以，则，所以球的表面积为.6.将函数图象上各点的横坐标先缩短至原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到曲线y=gx．若直线x=t是曲线y=gx的一条对称轴，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先根据三角函数的图像变换得到的解析式，再根据三角函数的对称性即可求出t的最小值．解答过程：依题意可得，又直线x=t是曲线y=gx则，，解得，，所以t的最小值为．7.如图，双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，AB⊥BA. B.2 C.103 D.答案：D解析：思路：根据双曲线的定义及勾股定理，得到与关系，从而求得双曲线的离心率.解答过程：设，则，.在中，有，整理得m=a，故.设，在中，有4c2=9a所以C的离心率.8.已知函数的导函数为f′(x)，和f′(x)的定义域均为，若，，，，则（）A. B. C. D.2答案：C解析：思路：利用题设等式和函数值，对进行赋值，依次求出，…，推得是以0为首项，−1为公差的等差数列，即可计算；再由条件推出，依次赋值求出，…，计算，即得答案.解答过程：由求导得，又，两式相减可得，令，可得，在中，取，可得，解得，在中，取，可得，所以，在中，取，可得，所以，再取，可得，则得，…，故是以0为首项，−1为公差的等差数列，所以；由得，则，取，可得，故，即，又，所以，则，因为，，则，，，，，，，即，所以．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.若，则B.若随机变量X服从正态分布，则不论取何值，为定值C.数据2，7，4，5，16，1，21，11的下四分位数是2D.若事件A,B满足，且，则事件A,B独立答案：ABD解析：思路：对于A，根据二项分布的概率公式计算即可判断；对于B，根据正态分布的对称性求解即可判断；对于C，先排序，再计算对应下四分位数判断即可；对于D，利用独立事件的定义可判断．解答过程：对于A，若，则，故A正确；对于B，因为随机变量，所以，则，所以为定值，故B正确；对于C，将数据从小到大排序：1，2，4，5，7，11，16，21，由，所以该组数据的下四分位数为，故C错误；对于D，由，所以相互独立，因此A,B也相互独立，故D正确．10.已知斜率为的直线经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A,B两点．点C是圆（）上的任意一点，使得△ABC的重心在轴上．线段与轴的交点为K．则下列说法正确的是（）A.的取值范围为B.三角形的面积是斜率的函数C.当时，的最大值为6D.的最小值为49答案：ACD解析：思路：利用重心坐标公式结合韦达定理得到，再利用圆上点的性质得到参数范围判断A，举反例并结合函数的定义判断B，结合题意得到直线和圆的位置关系，进而得到不等式，求解参数范围判断C，将表示为一元函数，再利用换元法与二次函数的性质求解最值判断D即可.解答过程：结合题意，可设，对于A，设直线的方程为，则，联立方程组，可得，由韦达定理得，，由重心坐标公式得，因为在轴上，所以，解得，则，由题意得圆心坐标为，半径为，因为点C是圆上的任意一点，所以，解得，则，得到斜率的取值范围为，故A正确，对于B，当时，此时，此时，直线方程为，此时，将代入中，解得或，则或，设C到的距离为，由点到直线的距离公式得，，而，则，而此时，，由弦长公式得，为定值，即得到，可得三角形的面积不可能是斜率的函数，故B错误，对于C，由题意得的斜率为，的斜率为，因为，所以，解得，此时点C在直线x=5上，而点C是圆上的任意一点，可得直线与圆相交或相切，得到，解得，则的最大值为6，故C正确，对于D，由三角形面积公式得，由线段共线的性质得，，则，由题意得，则，而，可得，，则，令，则，得到，则，令，，当时，符合题意，由二次函数性质得，当时，g(t)取得最大值，且，则，可得，即的最小值为49，故D正确.11.正方体内有两个互相垂直的内切圆柱（如图1所示），将它们公共部分的几何体记为（如图2所示）.若圆柱底面半径为1，两个圆柱相交时表面形成的交线分别记为，点P在上运动，E，F分别为，CC1的中点，则下列说法正确的是（）A.B.点P的轨迹是椭圆BC.存在点P，使D.棱长为1.6的正四面体能够被整体放入内答案：ABD解析：思路：根据几何体特征结合四棱锥体积公式计算判断A，应用曲线特征判断B，C，应用正方体及正四面体的外接球性质计算判断D.解答过程：设于O，O1，对A，，即选项A正确．对B，曲线所在平面斜截圆柱，故为椭圆，选项B正确．对C，当时，在以为直径的圆上，显然椭圆上这样的点不存在，选项C错误．对D，设Ω内部有一个正四面体，该正四面体内接于球，Ω内部的球的最大半径为1，设半径为1的球是边长为的正方体的外接球，所以，所以，半径为1的球是边长为正四面体的外接球，所以正四面体的边长是正方体的面对角线，所以，故此正四面体的棱长最大为，而比1.6大，故选项D正确．第Ⅱ卷三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.若的展开式中的常数项是________．答案：解析：解答过程：因为展开式的通项为

，的幂指数为

，令其为0得k=35，非整数，故常数项不存在，系数为0.13.若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________.答案：解析：思路：首先变形曲线C，并画出曲线C的图象，再根据直线l恒过点−1,0，利用数形结合，结合临界值，求实数的取值范围.解答过程：由题意得，所以，当时，曲线C为；当x≥0时，曲线C为，显然为半圆，如图所示，易得直线经过定点，当直线与相切时，，,所以，易得，故当时，直线l与曲线C恰有三个公共点，即的取值范围为．14.不透明的盒子中装有大小质地相同的3个红球、2个白球，每次从盒子中摸出一个小球，若摸到红球得1分，并放回盒子中摇匀继续摸球；若摸到白球，则得2分且游戏结束．摸球n次后游戏结束的概率记为Pn，则________；在数列中，若，A为常数，现游戏进行了n次，n趋近于无穷大，游戏结束后，总得分记为X，则X的数学期望________．答案：①.②.72解析：思路：第一空利用相互独立事件的乘法公式可求解；第二空利用离散型随机变量的期望公式，再借助错位相减法求和进行求解即可.解答过程：根据题意可知，摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，摸球3次后游戏结束，意味着前两次摸到红球，第三次摸到白球，因为每次摸球相互独立，所以；根据题意，的可能取值为2，3，4，⋯，，⋯，且，则，则，则，则，即，又，故．故答案为：；72．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知在△ABC中，，.（1）求证：；（2）若边上的中线的长为1，求△ABC的面积.答案：（1）证明见解析；（2）解析：思路：（1）由题意知，再结合题意得，整理得，即，再根据内角和定理即可证明结论；（2）结合（1）得，再结合二倍角公式得，进而得，，根据余弦定理，结合得，再根据正弦定理求得△ABC外接圆半径，最后计算面积即可.（1）解：因为，，所以，即，所以，因为，即因为A,B∈0,π，A,B所以，所以，即所以，所以，即，因为，所以，即.（2）解：由（1）知，即，所以，因为，所以，因为，所以，所以，因为，，所以，，因为，所以，所以，由余弦定理得，即，所以设为△ABC外接圆半径，所以，所以，解得，即，所以，所以16.如图，在三棱台中，AC⊥平面ABB1A1，∠AA1（1）求证：平面AB1C⊥平面（2）求平面BB1C答案：（1）在三棱台中，△ABC~△A因为AB=AC=2，所以A1B因为∠AA1B1所以AB即AB因为AC⊥平面ABB1A1，A所以AC⊥A因为AB1∩AC=A，AB1所以A1B1⊥因为A1B1⊂所以平面AB1C⊥平面A（2）7010解析：思路：（1）证明A1B1⊥（2）以A为坐标原点，为轴，AB1为轴，为轴，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，求出平面BB1C与平面B1C（1）略（2）因为AB//A1B所以AB1又AC⊥平面ABB1A1，A所以AC⊥AB1以A为坐标原点，为轴，AB1为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B2,0,0所以BB1=(−2,3,0)，B设平面BB1C的法向量n=(x1,则BB1⋅n=−2x1+则平面BB1C由A1B1⋅m=x2则平面B1CA设平面BB1C与平面B所以cos所以平面BB1C与平面B17.已知，分别是椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点，O为坐标原点，M为椭圆C上任意一点，的最大值为，当时，的面积为1．（1）求椭圆C的方程及其离心率；（2）已知A，B为椭圆C的左右顶点，若点P满足，当M与A，B不重合时，直线MP交椭圆C于另一点N，直线AM，BN交于点T．（ⅰ）证明：点T在一条定直线上；（ⅱ）求的最大值．答案：（1）x24+y（2）（ⅰ）由（1）得，由，得点，设，显然直线不垂直于，设其方程为，由消去，得，，，直线的方程为，即，同理直线NB方程为，联立消去得，整理得，因此，即，所以点T在一条定直线上.（ⅱ）解析：思路：（1）根据给定条件，结合勾股定理及椭圆定义求出a,b,c即可；（2）（ⅰ）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出点的横坐标即可；（ⅱ）利用斜率坐标公式及差角的正切公式求解.（1）令椭圆C：的半焦距为，由的最大值为，得，由，的面积为1，得，，而，因此，即，，解得，所以椭圆C的方程为x24+y2（2）（ⅰ）略（ⅱ）由对称性不妨令点在上方，设，则，因此，当且仅当时取等号，而为锐角，所以的最大值为.18.已知函数，，.（1）当a=1时，讨论的单调性；（2）若a=0，令（其中表示，中的较小值），若存在，，使得恒成立.（ⅰ）求的值；（ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，，证明：.答案：（1）fx在0,+∞（2）（i）1；（ii）若在0,+∞内有两个不相等的实数根x1,x2，不妨设x1<x由（ⅰ）得，在单调递增，单调递减，所以，，要证，只需证，又，且在单调递减，所以只需证，又，即证，令，，由（ⅰ）得在单调递增，在1,+∞单调递减，所以，所以，所以，又当时，，则，即在单调递增，，故，得证.解析：思路：（1）由题可得，然后利用导数研究f'x单调性可判断单调性；（2）（i）通过研究单调性，结合，可比较fx与的大小，从而得到解析式，然后通过研究，的单调性可得单调性，据此可得答案；（ii）由（i）可将所证命题转化为证明：，然后通过研究，1<x<x0的单调性可完成证明.解答过程：（1）当a=1时，，，令，，令，得，当0<x<1时，，单调递减，当x>1时，，单调递增，所以，即，所以fx在0,+∞（2）（i）先比较fx与的大小，当a=0时，，所以，令，，所以在0,+∞单调递增，又，（又，则）所以存在唯一x0∈1,2，使得，即所以当0<x<x0时，，即fx<gx，当x>x即，又，令，得，当时，f'x<0，fx单调递减，当时，，f，令，得，当0<x<1时，，单调递增，当x>1时，，单调递减.结合，的单调性可得，在单调递减，单调递增，单调递减，注意到当x→0时，，且，所以，结合x0∈1,2，所以的值为1.（ⅱ）略19.某商场举行回馈顾客的抽奖游戏．箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银