山东省日照市东港区部分校联考2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）．A. B. C. D.2.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.3.“”是“数列为等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（）．A. B. C. D.35.已知等比数列的各项均为正数，是函数的极值点，则（）A.5 B.6 C.10 D.156.设是数列的前项和，且，，则（）A. B. C. D.7.已知函数，若有两个零点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.8.古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的一个数列．该数列将满月等分为240份，记数列为第n天（其中且），月球被太阳照亮部分占满月的份数组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．若在数列中，前5项构成公比为q的等比数列，第5项到第15项构成公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则第9天月球被太阳照亮部分占满月的（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.函数的定义域是B.“”的否定是“”C.若，，，则的最小值为4D.不等式对一切实数x恒成立的充要条件是10.已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（）A. B.是偶函数C. D.在上单调递增11.已知函数有三个极值点，，（），则（）A.B.C.若，，成等差数列，则，，成等比数列D.若，，成等差数列，则数列，，的公差为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数过定点________．13.已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________．14.已知无穷等比数列的公比为，设集合，其中为正整数．若，且对于任意，集合是闭区间，则的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求的值；（2）解不等式．16.设数列的前n项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．17.在数列中，，，，且是等差数列.（1）求的值和数列的通项公式；（2）证明：.18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若时，函数恒成立，求实数a的取值范围；（3）设．求的小数点后第一位数字（如：自然对数的底数的小数点后第一位数字为7，的小数点后第一位数字为6）．19.设全集为U，，定义域为D的函数是关于x的“函数组”，当n取U中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为R的函数，当时，有，等．若存在非空集合满足当且仅当时，函数在D上存在零点，则称是A上的“跳跃函数”．（1）设，，若函数是A上的“跳跃函数”，求集合A；（2）设，，若不存在集合A使为A上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合U的并集；（3）设，为A上的“跳跃函数”，．已知，且对任意正整数n，均有．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求实数a的最大值，使得对于任意，均有的零点．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）．A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：集合或，因为，所以.2.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，，则，根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为.3.“”是“数列为等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：B解析：解答过程：必要性验证：若数列为等差数列，根据等差中项的性质：对任意，若，则，令，可得，故必要性成立；充分性验证：若仅满足，无法推出数列为等差数列，例如构造数列：，此时，，满足，但该数列相邻项差值不恒定，不是等差数列，故充分性不成立，因此该条件是数列为等差数列的必要不充分条件.4.幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（）．A. B. C. D.3答案：B解析：思路：根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A.解答过程：因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误；对于A，若，则，当时，，所以幂函数过点，故A错误；对于B，若，则，当时，，所以幂函数过点，故B正确.故选：B.5.已知等比数列的各项均为正数，是函数的极值点，则（）A.5 B.6 C.10 D.15答案：A解析：思路：利用极值点的定义得到，再利用等比数列的下标和性质即可得解.解答过程：因为，所以，因为是函数的极值点，所以是的两根，所以，又，则，故选：A.6.设是数列的前项和，且，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由题意可得，根据等差数列通项公式可得，由与的关系计算可得.解答过程：，，即，而是以2为首项，公差为2的等差数列，，则，.故选：C7.已知函数，若有两个零点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：令，问题化为与（）只有一个交点，数形结合确定参数范围.解答过程：令，则，由对勾函数性质，得，则，所以等价于，即，由开口向上，对称轴为：在上单调递增，，即，在上单调递减，，即，原函数有两个零点，即与（）只有一个交点，由图知，的取值范围是.8.古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的一个数列．该数列将满月等分为240份，记数列为第n天（其中且），月球被太阳照亮部分占满月的份数组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．若在数列中，前5项构成公比为q的等比数列，第5项到第15项构成公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则第9天月球被太阳照亮部分占满月的（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先利用等比数列通项公式求出，结合等差数列通项公式得到与的关系式，根据为正整数的条件确定参数值，再计算并求对应占比．解答过程：由题意，数列前项为首项，公比为的等比数列，第5项到第15项为公差为d的等差数列，所以，，所以，即，若，则，解得，不符合题意，若，则，解得，符合题意，若，则，无符合条件的解，因此，，，，所以第天月球被太阳照亮部分占满月的比例为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.函数的定义域是B.“”的否定是“”C.若，，，则的最小值为4D.不等式对一切实数x恒成立的充要条件是答案：BC解析：解答过程：选项A：函数有意义需满足x−2≥03x−7≠0，解得且，即定义域为，不是，A错误；选项B：全称量词命题的否定为存在量词命题，规则是将全称量词改为存在量词，同时否定结论，因此“”的否定为“”，B正确；选项C：因为，则，当且仅当时等号成立，故最小值为4，C正确；选项D：对任意实数恒成立，需满足判别式，解得，D错误.10.已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（）A. B.是偶函数C. D.在上单调递增答案：ACD解析：思路：对A，令抽象函数式中，代入等式直接求解的值进行判断；对B，令，再通过奇偶定义验证函数奇偶性；对C，令，求导即可判断；对D，对两边求导，求出，在区间内判断导函数正负，依据导数与单调性的关系判定函数增减性.解答过程：对于A：令，代入原式得，解得，A正确；对于B：令，所以，所以，所以是奇函数，不是偶函数，B错误；对于C：令，则，求导得，即，C正确；对于D：因为，对两边求导得，，又，所以，当，，因此在上单调递增，D正确.11.已知函数有三个极值点，，（），则（）A.B.C.若，，成等差数列，则，，成等比数列D.若，，成等差数列，则数列，，的公差为答案：ACD解析：思路：A导函数零点个数转化为方程的实根个数，由在取最小值且时有一根；B由和得，利用对数平均不等式得到；C等差条件代入相乘得，即成等比；D设公差，由C得，再对得到的等式取对数得.解答过程：函数有三个极值点，等价于导函数有三个不同零点，即有三个不同实根，令，即与有三个不同的交点.由于，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.在处取最小值，要使有三个不同解，需，A正确.已知，​，取对数相减得，由对数平均不等式得​​，得，B错误.若​成等差数列，则​.因为​，​，​，两式相乘得，代入得a2满足等比中项性质，故成等比数列，C正确.设等差数列公差为，则，，由C的结论得，舍去得.又，代入，​得，两边取对数得，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数过定点________．答案：解析：思路：利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解.解答过程：令，解得，得，因此函数恒过定点.13.已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________．答案：解析：思路：结合函数单调性及基本不等式求解即可.解答过程：当时，，当且仅当时取等号.即，当时，在上单调递减，此时，因为在定义域内有最小值，所以.故实数的取值范围为.14.已知无穷等比数列的公比为，设集合，其中为正整数．若，且对于任意，集合是闭区间，则的取值范围为________．答案：解析：思路：根据为闭区间可得要对任意的恒成立，据此可求的范围.解答过程：不妨设，由，得，记，，，，集合，要使（其中）的取值范围为闭区间，需不存在空隙，即所有介于最小值和最大值之间的数都能取到，在正数范围内，到可被的差覆盖，下一个最小的正差为，因此若，则区间内的数无法取到，存在空隙，故要求对任意（），都有，代入等比数列通项，化简得：约去正数后整理得：当时，，不等式左边，恒成立；当时，，由于，当时，，不等式左边趋向，必存在使得不等式不成立，存在空隙，因此的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求的值；（2）解不等式．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据自变量分别代入对应分段解析式算出与，再将两数值相加得到结果；（2）按分段边界分两类讨论，时解对数不等式，时解指数不等式，最后合并两段有效解集．（1），，所以；（2）当时，，所以，当时，，所以，综上，不等式的解集为．16.设数列的前n项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）已知与的关系，结合等比数列的定义求通项公式；（2）观察，应用错位相减法及等比数列的前n项和公式求和.（1）当时，，即，解得，当时，由，得，所以，即，所以，，所以，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故；（2）由（1）知，又，所以，所以①，则②，①②得，，，，，，所以.17.在数列中，，，，且是等差数列.（1）求的值和数列的通项公式；（2）证明：.答案：（1），（2）证明见解析解析：思路：（1）设差分构造等差数列，通过等差中项求出首项和公差，进而可求的通项公式；（2）将通项裂项为相邻两项之差，通过裂项相消求和，进而证明不等式成立.（1）设，则，因为是等差数列，即是等差数列，则有，即，解得.，则的公差为2，首项为6，则，即，则.（2）由（1）知，，则，则，因为，则，则，得证.18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若时，函数恒成立，求实数a的取值范围；（3）设．求的小数点后第一位数字（如：自然对数的底数的小数点后第一位数字为7，的小数点后第一位数字为6）．答案：（1）；（2）；（3）6.解析：思路：（1）求导后再求出切点坐标和切线斜率，从而得到切线方程；（2）分和讨论即可；（3）利用数列单调性定义判断出数列单调递增，再根据（2）中结论即可得到答案.（1）当时，，则，因为．所以曲线在点处的切线方程为即切线方程为．（2）因为对任意，均有恒成立，即恒成立，则，令，对称轴①当时，，即在上单调递增，又，所以，即，所以在上单调递增，又，所以恒成立，即恒成立，符合题意；②当时，，又，又的两个根分别为，所以，且当时，，即，则单调递减，又，所以当时，，即，与矛盾，故不成立．综上所述，的取值范围为．（3）由题意得，一方面，，所以，则数列单调递增，而，所以；另一方面，由（2）知，当且仅当时，取“”，令，则，则，所以．所以．综上所述，的小数点后第一位数字为6．19.设全集为U，，定义域为D的函数是关于x的“函数组”，当n取U中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为R的函数，当时，有，等．若存在非空集合满足当且仅当时，函数在D上存在零点，则称是A上的“跳跃函数”．（1）设，，若函数是A上的“跳跃函数”，求集合A；（2）设，，若不存在集合A使为A上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合U的并集；（3）设，为A上的“跳跃函数”，．已知，且对任意正整数n，均有．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求实数a的最大值，使得对于任意，均有的零点．答案：（1）（2）（3）（ⅰ）由递推式累加得：，令即，在上，，故，，当n为奇数时，与矛盾，方程无解，无零点；当n为偶数时，方程化简为，令，则，当时，根据函数的连续