山东省日照市实验高级中学2027届高三上册开学适应性训练一数学试卷-含答案

数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（）A. B.C. D.3.若函数的单调递减区间为，则实数的值为（）A. B.C. D.4.已知，则（）A. B. C. D.5.已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（）A.2 B.4 C.6 D.86.设甲：，乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.函数在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.下列各式的值等于1的有（）A. B.C. D.10.已知函数若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（）A. B. C. D.11.在平面四边形ABCD中，点D为动点，的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（）A.为等比数列 B.为等差数列C.为递增数列 D.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知都是正实数，若，则的最小值为_________．13.已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则______.14.如图所示，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，若，则的值为___________.三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，向量．（1）若向量，求向量的坐标；（2）若向量与向量的夹角为120°，求．16.已知，其中向量,（1）求的最小正周期和最小值；（2）在△中，角A、B、C的对边分别为、、，若，，，求边长的值.17.设函数.（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.18.已知数列的前n项和为，，且为与的等差中项，当时，总有．（1）求数列的通项公式；（2）记为数列落在区间内的项的个数，求数列的前m项和．19.已知函数．（1）判断与之间的关系，并求出的最大值；（2）记的最小值为，求证：函数有两个零点，且两个零点为互为相反数．

数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分别求解集合，再利用集合的运算求解.解答过程：的定义域为，不等式，解得：或，即或，，所以.故选：B2.已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由偶函数的定义，求出，再确定函数值域即可．解答过程：，即，，解得，，则，解得，的定义域为，又因为，，即函数的取值范围是．3.若函数的单调递减区间为，则实数的值为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先对函数求导，根据单调递减区间对应导数小于等于0的解集，可知区间端点是导数等于0的根，代入求解即可得到的值.解答过程：

对求导，得.

已知的单调递减区间为，因此方程的两个实根为.将代入，得，解得.当时，，当时，，即恒成立，符合题意.4.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据正弦函数，对数函数及指数函数的单调性结合中间量法即可得解.解答过程：因为，所以，而，所以.故选：C.5.已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：D解析：思路：首先根据函数是幂函数求，再根据函数所过定点求.解答过程：因为函数为幂函数，所以，得，即，函数且的定点为，即.故选：D6.设甲：，乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B解析：思路：根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.解答过程：当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B7.函数在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据函数的图象确定的值，可得函数解析式，根据图象的伸缩平移变换可得变换后的函数表达式，结合其性质即可求得答案.解答过程：由图象可知函数的最小正周期为，又，故，由于，故，所以，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，得到的图象，因为该图像图象关于原点对称，即为奇函数，故，则，而，则的最小值为，故选：C8.已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：用可以求解的向量来表示.解答过程：记圆心为，则，因为互为相反向量，所以，因为正六边形ABCDEF的边长为2，为正六边形的中心，所以当与正六边形顶点重合时，有最大值2，当在正六边形边上的中点处时，有最小值，此时.所以.故选：B二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.下列各式的值等于1的有（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：根据诱导公式以及同角关系即可结合选项逐一化简求解.解答过程：对于A,,故A正确，对于B,，故B错误，对于C,,故C错误，对于D,，故D正确，故选：AD10.已知函数若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：根据给定条件，探求出函数的性质，作出函数图象，把方程有四个不同的实数解转化为函数的图象与直线有4个公共点求解作答.解答过程：当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，作出函数的部分图象，如图，方程有四个不同的实数解，等价于函数的图象与直线有4个公共点，观察图象知，当时，函数的图象与直线有4个公共点，即方程有四个不同的实数解，A正确；因为二次函数图象对称轴为，因此，B不正确；当时，，由，，得，因此，C正确；当时，，由，得，解得，且，则，有，所以，D正确.故选：ACD方法提示：思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.11.在平面四边形ABCD中，点D为动点，的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（）A.为等比数列 B.为等差数列C.为递增数列 D.答案：BD解析：思路：连交于，根据面积关系推出，根据平面向量知识推出，结合，推出，即，求出，，根据等比数列的定义可判断A；根据等差数列的定义可判断B，根据数列的单调性可判断C；利用错位相减法求出，可判断D.解答过程：如图，连交于，则，即，所以，所以，所以，设，因为，所以，，所以，所以，即，又，所以，所以是首项为2，公差为的等差数列，所以，所以，因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确；因为，所以为等差数列，故B正确；因为，所以为递减数列，故C不正确；因为，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选：BD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知都是正实数，若，则的最小值为_________．答案：##解析：解答过程：，，由，所以，.当且仅当时，等号成立.的最小值为.故答案为：.13.已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则______.答案：解析：思路：根据向量共线求解即可；解答过程：因为向量是平面内的一组基底，与共线，所以即所以解得：故答案为：.14.如图所示，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，若，则的值为___________.答案：##解析：思路：根据任意角三角函数的定义，求得三角函数值，再根据等边三角形的性质，结合二倍角公式以及辅助角公式，可得答案.解答过程：点的坐标为，则，设，，则，，，，，，则，.故答案为：.三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，向量．（1）若向量，求向量的坐标；（2）若向量与向量的夹角为120°，求．答案：（1）或（2）解析：思路：（1）由，设，有，再根据，得，最后解方程即可；（2）先求，再求后可求解.（1）由，设，∴，∵，∴，解得或所以或．（2）∵，，，∴，∴，∴．16.已知，其中向量,（1）求的最小正周期和最小值；（2）在△中，角A、B、C的对边分别为、、，若，，，求边长的值.答案：（1）最小正周期为π，最小值为.（2）2或6．解析：思路：（1）利用向量的数量积化简的解析式，进而可得的最小正周期和最小值；（2）先由求得，再利用余弦定理列方程，即可求得边长的值.解答过程：（1）则的最小正周期，最小值为.（2），则，又，则，故，解之得又，，由余弦定理得，即，解之得或.经检验，均符合题意.17.设函数.（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.答案：（1）（2）最大值为，最小值为解析：思路：（1）求得，得到，利用直线的点斜式方程，求得切线方程为，进而求得三角形的面积；（2）由，得到，结合，得到在上单调递增，进而求得函数的最值.（1）解：由题意，函数，则，可得，所以曲线在点处的切线方程为，即，可得直线在x轴，y轴上的截距分别为，，所以所求三角形的面积为.（2）解：由，则，所以函数为增函数，又因为，所以当时，，所以函数在上单调递增，所以函数在区间上的最大值为，最小值为.即函数在区间上的最大值为，最小值为.18.已知数列的前n项和为，，且为与的等差中项，当时，总有．（1）求数列的通项公式；（2）记为数列落在区间内的项的个数，求数列的前m项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据与的关系计算即可；（2）先求出数列的通项公式，再利用奇偶分析法结合并项求和法计算即可.（1）∵当时，总有，∴，从而，∵为与的等差中项，∴，∵，∴，从而，综上可知：对于，都有，即，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以；（2）根据（1）可得：，由即可得：，所以，从而，∴，当m为偶数时，，当m为奇数且时，，由于适合上式，所以当m为奇数时，，综上可知：.19.已知函数．（1）判断与之间的关系，并求出的最大值；（2）记的最小值为，求证：函数有两个零点，且两个零点为互为相反数．答案：（1），2（2）证明见解析解析：思路：（1）利用已知函数的解析式，分别计算，可得两者相等;再利用求得最大值;（2）利用可得的最小