山东省威海市2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知根据某样本数据可得到回归直线方程，且，，则（）A. B. C. D.3.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.4.已知函数定义域为，且满足，当时，，则（）A.10 B.5 C.3 D.5.已知随机变量，且，，则（）A.0.12 B.0.24 C.0.48 D.0.626.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.现安排包含甲、乙的名志愿者到，，三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，则甲、乙被分配到同一个社区的安排方法种数为（）A. B. C. D.8.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则的解集为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校为了解学生在选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查了200名高一学生，得到如下数据：（）选择物理科目未选择物理科目男生8020女生5050附：，（）0.0500.0100.0013.8416.63510.828A.从调查的学生中随机抽取1人，则抽到的人未选择物理科目的概率为B.从调查的男生和女生中各随机抽取1人，则抽到的人都选择物理科目的概率为C.从调查的学生中随机抽取1人，则“抽到的人是女生”与“抽到的人选择物理科目”相互独立D.在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为选择物理科目与性别有关10.已知，，，则（）A.的最小值为4 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最小值为611.已知函数，则（）A.若存在实数，使得，则B.当时，过原点且与曲线相切的直线不存在C.当时，方程有3个不相等的实数根D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，的系数为__________．13.若是函数的极值点，则__________．14.对于任意的实数，设函数取，两个函数值中的最小值，若恰有2个零点，则的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数为偶函数．（1）求的值；（2）设集合，，若，求的取值范围．16.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若的最小值为0，求的值．17.已知袋中有2个红球，2个黄球，6个蓝球，且所有球的形状、大小、质地相同，从中随机地连续抽取3次，每次取出1个球．（1）若每次抽取后都不放回，求恰好取到2个蓝球的概率；（2）若每次抽取后都放回．（i）求至少2次取到蓝球的概率；（ii）记取出球的颜色种数为，求的分布列及数学期望．18.甲、乙两名射击运动员每次射击击中靶心的概率分别为，，两人进行3局射击比赛，每局比赛各射击一枪，若一方击中靶心且另一方未击中靶心，则击中靶心的一方获胜，否则双方平局，各次射击击中靶心与否相互独立．记甲获胜的局数为．（1）若，．（i）求每局双方平局的概率；（ii）若已知乙在第1局比赛中击中靶心，求（）；（2）设，，记的最小正零点为，证明：当时，；当时，．19.已知函数的导函数．（1）记函数，求的单调区间；（2）设是曲线在点处的切线．（i）当时，证明：除点外曲线在直线的上方；（ii）当时，过点的直线与垂直，，与轴的交点分别为，，求的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由交集运算求解即可.解答过程：已知集合，集合，由可得或或，所以集合，所以，故B正确.2.已知根据某样本数据可得到回归直线方程，且，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据经验回归方程恒过即可求解.解答过程：由题知，，即，解得.3.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由初等函数及复合函数的求导法则逐一判断即可.解答过程：对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.4.已知函数定义域为，且满足，当时，，则（）A.10 B.5 C.3 D.答案：D解析：解答过程：由

，得

，因为

，所以

．5.已知随机变量，且，，则（）A.0.12 B.0.24 C.0.48 D.0.62答案：B解析：思路：根据题意，得到正态分布曲线关于对称，利用正态分布曲线的对称性，求得和，结合条件概率的计算公式，即可求解.解答过程：由，可得正态分布曲线关于对称，因为，可得，又由，所以.6.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先判断分段函数在和上都各自单调递增，结合分段点处函数值突变导致单调性改变，得出在上不单调等价于区间包含，解不等式.解答过程：当时，，求导得，因此在上单调递增;当时，，在上单调递增，也单调递增，因此在上单调递增.两段各自都是单调递增，但在分界点处：

，而时，，若区间上函数不单调，则区间必须包含分界点，即满足：

，解得，即的取值范围是.7.现安排包含甲、乙的名志愿者到，，三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，则甲、乙被分配到同一个社区的安排方法种数为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据捆绑法、分步乘法计数原理及排列组合知识求解即可.解答过程：把甲、乙看作一个整体，相当于将个元素分成组，每组至少个元素，分组方式只能是，则分组的方法数为，将分好的组全排列，分配到个社区，方法数为，故总方法数为种，故C正确.8.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则的解集为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：构造辅助函数，求导分析的单调性，利用是奇函数的性质，推导的奇偶性，进而得到的单调性，进而利用奇函数性质化简待解不等式，结合的单调性求解.解答过程：已知时，构造函数，求导得，时，分子，分母，故，即在上单调递增.又是奇函数，，则，故是偶函数，由对称性得在上单调递减，且.由，原不等式可化为：，当时，不等式两边除以得：，因为在单调递减，故.当时，不等式两边除以得：，因为在单调递增，故.综上，不等式的解集为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校为了解学生在选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查了200名高一学生，得到如下数据：（）选择物理科目未选择物理科目男生8020女生5050附：，（）0.0500.0100.0013.8416.63510.828A.从调查的学生中随机抽取1人，则抽到的人未选择物理科目的概率为B.从调查的男生和女生中各随机抽取1人，则抽到的人都选择物理科目的概率为C.从调查的学生中随机抽取1人，则“抽到的人是女生”与“抽到的人选择物理科目”相互独立D.在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为选择物理科目与性别有关答案：AD解析：解答过程：对于A选项：未选择物理科目的人数为，总人数为200，故概率为：，所以A正确；对于B选项：男生选择物理的概率为，女生选择物理的概率为，从男生和女生中各抽1人，两人都选物理的概率为：，不是，所以B错误；对于C选项：设事件为“抽到女生”，事件为“抽到选物理”，若两者相互独立，则需，因为，，故两者不相互独立，所以C错误；对于D选项：由列联表得，所以，因为，对应，所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为选择物理科目与性别有关，所以D正确．10.已知，，，则（）A.的最小值为4 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最小值为6答案：BCD解析：解答过程：对于A，由，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故A错误；对于B，，又，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故C正确；对于D，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为6，故D正确.11.已知函数，则（）A.若存在实数，使得，则B.当时，过原点且与曲线相切的直线不存在C.当时，方程有3个不相等的实数根D.当时，答案：ACD解析：思路：对函数求导并研究函数的单调性和最值，A由题设有求参数判断，B由导数的几何应用及切线所过的点，利用斜率相同得判断参数的存在性，C令，利用导数及零点存在性定理、奇函数的对称性判断零点个数即可，D令，利用导数研究其区间单调性即可判断.解答过程：对于，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，因此在处取得最大值，对于A：若存在实数使，只需，则，解得，正确，对于B：当时，，设切点为，切线过原点，则斜率为，由，联立得，因为存在实数，所以过原点的切线存在，错误，对于C：方程等价于，令，由且定义域为，即为奇函数，显然，即是一个根，而，则，因此在右侧附近小于0，在左侧附近大于0，令且，则，故在上单调递增，所以，故在上，而，因为，且时，因此，在上必有一个根，根据奇函数的对称性，在上也必有一个根，综上，共三个不相等的实数根，正确，对于D：令，则，当时，，且，因此，即在上单调递增，因为，所以时，即，正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，的系数为__________．答案：解析：解答过程：，令，解得：，，的系数为：．13.若是函数的极值点，则__________．答案：1解析：思路：由求解后再检验即可.解答过程：因为，所以，由题意可得，解得，当时，，，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减，是函数的极值点，符合题意，所以.14.对于任意的实数，设函数取，两个函数值中的最小值，若恰有2个零点，则的取值范围是__________．答案：解析：思路：利用零点与方程思想，结合二次函数分类讨论零点存在的区间，即可得到参数的取值范围.解答过程：设，，则

，由二次函数的判别式

，当时，，此时，由于有两个零点，都满足，所以的两个零点就是的两个零点，故满足题意；当

时，，，此时由于，开口向上，的两零点分别位于

和

，都满足

，所以的两个零点就是的两个零点，故满足题意；当

时，，，此时由于，开口向上，有一个零点在

，另一个零点在

，所以的一个零点和在

的一个零点就是的两个零点，故满足题意；当时，的零点为，由于有两个零点，仍然满足只有两个零点，故满足题意；当时，的零点为，由于有两个零点，此时有三个零点和，故不满足题意；当

时，，，因为，所以设两个零点分别为，则，可知，此时有四个零点和，此时不符合题意，综上，的取值范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数为偶函数．（1）求的值；（2）设集合，，若，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据偶函数的性质和对数运算法则进行计算即可.（2）根据对数函数的性质以及集合的包含关系计算即可.（1）由题意可知，，可得，所以，即，所以，解得．（2）由（1）知，，因为，所以，可得，所以，由题意可知，，因为，所以．16.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若的最小值为0，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；（2）求导，分，两种情况求解即可.（1）当时，，则，所以，由，可得切点为，所以所求切线方程为，即．（2）因为，①当时，，所以在上单调递减，因此无最小值，不符合题意；②当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，因此的最小值为，解得，综上可知，．17.已知袋中有2个红球，2个黄球，6个蓝球，且所有球的形状、大小、质地相同，从中随机地连续抽取3次，每次取出1个球．（1）若每次抽取后都不放回，求恰好取到2个蓝球的概率；（2）若每次抽取后都放回．（i）求至少2次取到蓝球的概率；（ii）记取出球的颜色种数为，求的分布列及数学期望．答案：（1）（2）（i）（ii）123解析：思路：（1）根据组合和排列计数计算有利事件数和总样本数，再结合古典概型求概率；（2）（i）根据二项分布，先计算单次取蓝球的概率，再分别计算恰好2次取到蓝球、恰好3次取到蓝球的概率，相加得到结果；（ii）确定的所有可能取值，分别计算每个取值对应的概率，列出分布列后，再根据数学期望的公式计算期望.（1）由题意可知，恰好取到2个蓝球的概率为．（2）（i）由题意可知，每次取到蓝球的概率为，所以至少2次取到蓝球的概率为：．（ii）由题意可知，的取值范围是，因为每次取到红球、黄球的概率都为，所以，，，因此的分布列为123所以．18.甲、乙两名射击运动员每次射击击中靶心的概率分别为，，两人进行3局射击比赛，每局比赛各射击一枪，若一方击中靶心且另一方未击中靶心，则击中靶心的一方获胜，否则双方平局，各次射击击中靶心与否相互独立．记甲获胜的局数为．（1）若，．（i）求每局双方平局的概率；（ii）若已知乙在第1局比赛中击中靶心，求（）；（2）设，，记的最小正零点为，证明：当时，；当时，．答案：（1）（i）（ii）（2）因为，所以，，因为，所以，，可得，，当时，，所以，使得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，得最小正零点；当时，，所以，使得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，可得，又，所以存在唯一的，使得，所以最小正零点．解析：思路：（1）（i）利用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可；（ii）记事件为“乙在第1局比赛中击中靶心”，事件为“”，依次确定并求出、，再应用条件概率公式求概率；（2）由题意，从而有，应用分类讨论