山东省潍坊市安丘市潍坊国开中学2025-2026学年高三上册1月月考数学试卷-含答案

数学一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，（）A. B. C. D.2.若复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3.若为偶函数，则（）．A. B.0 C. D.14.设为等差数列{}的前项和，已知，，则等于（）A. B. C. D.5.已知数列满足，，是公比为3的等比数列，则（）A. B.2 C. D.36.下列图象中，函数的部分图象有可能是（）A. B.C. D.7.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（）A. B.1 C.2 D.8.已知，是函数的图象上两个不同的点，则（）A. B.C. D.二、多项选择题：本大题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分,有选错的得0分9.已知函数，则以下结论正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数在上单调递减C.将函数的图象向右移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为D.若函数（）在上恰有三个零点，则实数的取值范围为10.如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为B.三棱锥的体积的最大值为C.的取值范围是D.若，E为线段上的动点，则的最小值为11.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（）A.4为的一个周期B.C.由可知，D.函数的所有零点之和为0三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分．12.曲线在处的切线方程为_____.13.已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．14.函数的最小值为______.四、解答题：本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，内角所对的边分别为，已知．（1）证明：；（2）若的面积，求角的大小．16.已知数列的前项和为．且，．（1）证明数列为等差数列，并求其通项公式：（2）若，求数列的前100项和．17.已知函数．（1）求函数的单调递增区间及在上的最值；（2）若为锐角且，求的值．18.如图，在三棱台中，平面ABC，，．（1）求三棱台的体积；（2）证明：平面平面；（3）求与平面所成角的正弦值．19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．

数学一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，由求出的值，进一步求出得答案.解答过程：因为，，并且，所以，所以.故选：B.2.若复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：把复数化为代数形式，得其对应点坐标，由点在第三象限可得范围．解答过程：，其对应点坐标为，所以，解得．故选：B．3.若为偶函数，则（）．A. B.0 C. D.1答案：B解析：思路：根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.解答过程：因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.4.设为等差数列{}的前项和，已知，，则等于（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据等差数列的通项公式和前n项和公式，列出关于首项和公差d的方程组，解出和d的值，再利用前n项和公式求出.解答过程：已知，，所以，所以.故选：D5.已知数列满足，，是公比为3的等比数列，则（）A. B.2 C. D.3答案：A解析：思路：先求出等比数列的通项公式，然后根据累加法求出的表达式，从而解出等比数列的首项，进而可求出结果.解答过程：因为数列是公比为3的等比数列，所以，，因为，所以，解得，所以.故选：A.6.下列图象中，函数的部分图象有可能是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.解答过程：对于函数，有，解得，即函数的定义域为，定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项，当时，，则，此时，排除B选项.故选：A.7.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（）A. B.1 C.2 D.答案：B解析：思路：利用平移思想，结合正切函数平移都是奇函数，可得的取值可能，从而可得最小值.解答过程：函数的图象向左平移个单位，得到函数,由为奇函数，则，因为，所以的最小值是，故选：B.8.已知，是函数的图象上两个不同的点，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.解答过程：由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误，故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分,有选错的得0分9.已知函数，则以下结论正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数在上单调递减C.将函数的图象向右移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为D.若函数（）在上恰有三个零点，则实数的取值范围为答案：BC解析：思路：根据余弦函数对称中心的性质代入检验判断A，利用余弦型函数的单调性判断B，根据平移变换及诱导公式判断C，利用换元法及余弦函数的性质判断D.解答过程：因为，所以函数的图象不关于点对称，故A错误；当时，令，而在上单调递减，所以函数在上单调递减，故B正确；将函数的图象向右移个单位长度，得到，故C正确；，当时，，即在上恰有三个零点，所以，解得，故D错误.故选：BC10.如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为B.三棱锥的体积的最大值为C.的取值范围是D.若，E为线段上的动点，则的最小值为答案：D解析：思路：求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解判断B；用极限的思想求出的范围，再利用，求得的范围判断C；利用图形展开及两点之间线段最短判断D.解答过程：在中，，则圆锥的母线长，半径，对于A，圆锥的侧面积，A错误；对于B，当时，的面积最大，此时，则三棱锥体积的最大值为，B错误；对于C，在中，，又，则，当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值，又与不重合，则，又，得，C错误；对于D，由，得，又，则为等边三角形，则，将以为轴旋转到与共面，得到，则为等边三角形，，如图知，由，得，所以，D正确.故选：D11.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（）A.4为的一个周期B.C.由可知，D.函数的所有零点之和为0答案：ABD解析：思路：由题意可得，，则，从而可判断函数的周期性，即可判断A；求出，再根据周期性即可判断B；根据函数的周期性即可判断C；判断处函数的奇偶性，即可判断D.解答过程：因为为奇函数，所以，即，因为为偶函数，所以，所以，即，所以，所以4为的一个周期，故A正确；因为，所以，所以，又因，所以，所以，故B正确；因为，所以，因为4为的一个周期，所以，则，所以，故C错误；因为，所以，，又因为，所以，所以函数为偶函数，令，得，令，定义域为关于原点对称，因为，所以函数为偶函数，所以函数得交点关于轴对称，所以函数的所有零点之和为0，故D正确.故选：ABD.方法提示：方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分．12.曲线在处的切线方程为_____.答案：解析：思路：根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果.解答过程：当时，，即切点坐标为，且，将代入可得，即切线的斜率，由直线的点斜式可得，化简可得.故答案为：13.已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．答案：解析：思路：先求出与的坐标，再根据与夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数的取值范围，．解答过程：向量，，，，若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值，即，且，求得，且．方法提示：本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．14.函数的最小值为______.答案：1解析：思路：由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.解答过程：由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.四、解答题：本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，内角所对的边分别为，已知．（1）证明：；（2）若的面积，求角的大小．答案：（1）证明：由正弦定理得，故，于是．又，故，所以或，因此（舍去）或，所以．（2）或.解析：思路：试题分析：（1）由正弦定理得，进而得，根据三角形内角和定理即可得结论；（2）由得，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得，进而得讨论得结果.（1）略（2）由得，故有，因，得．又，所以．当时，；当时，．综上，或．考点：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理.16.已知数列的前项和为．且，．（1）证明数列为等差数列，并求其通项公式：（2）若，求数列的前100项和．答案：（1）证明见解析；；（2）．解析：思路：（1）由已知条件可得，两式相减即可得数列为等差数列；（2）讨论是奇数时，当是偶数数时时，，利用因式分解即可求和.解答过程：（1）因为，所以，两式相减得，所以，又，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以．（2）由题可得，当时，，当时，，所以．方法提示：关键点点睛：（1）对已知关系式进行递推，进而作差、变形，利用等差数列的定义求解；（2）能够想到对分奇偶讨论．17.已知函数．（1）求函数的单调递增区间及在上的最值；（2）若为锐角且，求的值．答案：（1）单调递增区间为，最大值为，最小值为（2）解析：思路：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解.（2）由（1）的结论结合题设，利用同角三角函数关系及两角差的余弦公式求解即得.（1）由，解得，所以函数的单调递增区间为；由，得，，所以，在的值域为.所以函数的最大值为，最小值为，（2）由（1）知，，由，得，由，得，所以，，所以.18.如图，在三棱台中，平面ABC，，．（1）求三棱台的体积；（2）证明：平面平面；（3）求与平面所成角的正弦值．答案：（1）（2）由平面，平面，得，又，，平面，则平面，又平面，所以平面平面．（3）解析：思路：（1）利用线面垂直的性质，结合已知求出，再利用棱台的体积公式计算得解．（2）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证．（3）利用线面角的定义求解．（1）在三棱台中，平面，平面，则，在直角梯形中，由，得，而，则，，所以．（2）略（3）连接，由（2）知，平面，则与平面所成角即为，在中，，，，则，即与平面所成角的正弦值为．19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．答案：（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等