宁夏回族自治区银川市银川一中2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.“”是“是第一象限角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.设，则的最小值为（）A.6 B.5 C.4 D.24.函数的图象大致为（）A. B. C. D.5.若，，，则（）A. B. C. D.6.已知为第二象限角，且，则（）A. B. C.2 D.17.已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.若，则下列命题中错误的是（）A.若且，则 B.若且，则C.若且，则 D.若，则10.已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（）A. B.C. D.11.已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（）A.B.若，则C.若在区间上是增函数，则在区间上是增函数D.若，则在区间上的零点之和为0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则_________.13.已知，则______.14.已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数，曲线在点处的切线斜率为1．（1）求实数的值；（2）设函数，求函数的单调区间．16.某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为.256891620212810.9619.242227.5230.28（1）求的值；（2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望；（3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好.17.设函数，已知是函数的极值点．（1）求的值；（2）设函数，证明：．18.某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为．（1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；（2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望；（3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由．19.已知函数．（1）若，求在上的最值．（2）若且，关于的方程在上仅有一个实根．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求的最大值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据不等式的解法，求得集合，结合集合交集的定义与运算，即可求解.解答过程：由不等式，解得，所以，又由集合，所以.2.“”是“是第一象限角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案.解答过程：若，则一定是第一象限角，充分性成立；若是第一象限角，则，无法得到一定属于，必要性不成立.所以“”是“是第一象限角”的充分不必要条件.故选：A3.设，则的最小值为（）A.6 B.5 C.4 D.2答案：C解析：思路：由基本不等式求解最小值.解答过程：，当且仅当，即（因为）时取等号，所以的最小值为.4.函数的图象大致为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先判断出为奇函数，排除BD；再根据当趋向于时，趋向于0，C错误，A正确.解答过程：恒成立，故的定义域为R，，故为奇函数，BD错误；当趋向于时，的增长速度远大于的速度，故趋向于0，C错误，A正确.故选：A5.若，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：结合中间值、对应函数单调性比较三个数的大小.解答过程：由对数函数单调性得；幂函数在单调递增，故，即，因此.6.已知为第二象限角，且，则（）A. B. C.2 D.1答案：C解析：思路：根据题意，利用三角函数的基本关系式，联立方程组，求得，代入即可求解.解答过程：因为，联立方程组，因为角为第二象限角，所以，所以，则.7.已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：在上单调递增，结合定义域和奇偶性，得到不等式组，求出答案.解答过程：对任意的，都有，故在上单调递增，，故，解得，故实数的取值范围为.8.已知函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据函数的单调性，得到满足题意的的范围，根据，得到与之间的关系，构造关于的函数，求该函数的值域即可.解答过程：根据题意，因为是单调递增函数，也是单调增函数，且，故在整个定义域上都是单调增函数.当且仅当时，满足题意，否则不妨令，要满足题意，则有.又因为，故可得，解得，故，令，则，令，解得，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，没有最大值.综上所述：故的取值范围为.故选：A.方法提示：本题考查利用导数求函数的值域，以及分段函数的单调性，属综合性中档题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.若，则下列命题中错误的是（）A.若且，则 B.若且，则C.若且，则 D.若，则答案：ABD解析：思路：根据不等式的性质，结合作差法，比较大小即可.解答过程：对于A，因为且，则，但不确定的正负，当时，，故A错误；对于B，，因为且，所以，则即，故B错误；对于C，若，则，所以，故C正确；对于D，若，则则故D错误.故选：ABD.10.已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：根据同角三角函数基本关系计算.解答过程：，解得，A正确；，又为锐角，所以，则，，，B不正确，D正确；，C正确.11.已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（）A.B.若，则C.若在区间上是增函数，则在区间上是增函数D.若，则在区间上的零点之和为0答案：BC解析：思路：利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C选项，再结合函数零点判断D选项.解答过程：对于A，因为函数的图象关于点中心对称，所以，即，也即，当时，成立，当时，，又函数是定义在上的偶函数，所以，故A错误；对于B，，由，所以函数的周期为6，所以，故B正确；对于C，因为函数的图象关于点中心对称，且在区间上是增函数，由中心对称的性质可得函数在上是增函数，故C正确；对于D，令，则或，此时在区间有一个零点，因为函数是定义在上的偶函数，且周期为6，，所以，此时，所以在区间共有个零点分别为，此时，故D不正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则_________.答案：##解析：思路：利用单位圆的三角函数定义得到、的值，通过诱导公式化简所求表达式后，代入计算即可得到结果.解答过程：角终边与单位圆交于，根据三角函数定义：

​，

，又，，因此原式.13.已知，则______.答案：1解析：思路：结合题意先求出和，再利用换底公式和对数的运算性质求解即可.解答过程：由知，，，同理可得.得到.故答案为：114.已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为__________.答案：解析：思路：构造函数，利用导数判断其单调性，根据题干中已知条件凑出问题中的不等式即可求解.解答过程：构造函数，则，且，因为对于任意的，都有，所以，故函数在R上单调递减，所以解不等式即，即解，所以，故不等式的解集为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数，曲线在点处的切线斜率为1．（1）求实数的值；（2）设函数，求函数的单调区间．答案：（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为．解析：思路：（1）求出导数，根据导数的几何意义列式求得；（2）求出，判断的正负即可求得的单调区间.（1）由题意得的定义域为，又，因为．所以，解得．所以实数的值为1.（2）因为，，则，令，得，与在区间上的情况如下：00+递减极小值递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为．16.某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为.256891620212810.9619.242227.5230.28（1）求的值；（2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望；（3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好.答案：（1）（2）（3）经验回归方程的拟合效果不良好012解析：思路：（1）求出根据回归直线必过样本中心点求解即可；（2）可能取值为，求出对应概率，进而得到分布列和期望；（3）求出代入公式，即可得到答案.（1），，因为，即，解得.（2）5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，所以可能取值为，，，，所以X的分布列为012期望.（3），，所以经验回归方程的拟合效果是不良好.17.设函数，已知是函数的极值点．（1）求的值；（2）设函数，证明：．答案：（1）1（2）由（1）得，所以，由（1）可知，是函数的最小值点，所以对任意的，，要证，即证，即证，只需证，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，综上，在上恒成立.解析：思路：（1）由极值点处导数为0即可求解出参数，代回检验得解；（2）由（1）得，要证，即证，即证，构造函数，利用导数证明.（1）因为，所以，则，因为是函数的极值点，所以，解得，当时，，，当时，，则，，故，所以函数在上单调递增；当时，，则，，故，所以函数在上单调递减；综上，是函数的极值点，符合题意，故.（2）略18.某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为．（1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；（2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望；（3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由．答案：（1）（2）的分布列为：-3159数学期望为（3），理由如下：当时，为甲校友答对题目的数量，由题意可知，其中，故当时，甲校友获得奖励的概率，当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况：①前8题答对题目的数量大于等于5，②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题，③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对，故当时，甲校友获得奖励的概率，所以，因为，所以，即，所以甲校友应选．解析：思路：（1）根据全概率公式即可求解，（2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望，（3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解.（1）设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”，“所选的题目为足球相关知识的题目”，“所选的题目为排球相关知识的题目”，则，且两两互斥．根据题意得，，，，则，所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为．（2）的可能取值为，，，，，则的分布列为：-3159所以．（3）略19.已知函数．（1）若，求在上的最值．（2）若且，关于的方程在上仅有一个实根．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求的最大值．答案：（1）最小值为，最大值为（2）（ⅰ）证明：令，则，令，显然在上单调递增，又，，所以存在唯一的，满足，即，且当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，是在上的极小值，也是最小值，又因为，要使在上仅有一