青海省海东市2025-2026学年高一下册7月期末考试数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A. B. C. D.3.某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（）A.恰有一名女生被选中 B.被选中的学生的性别相同C.被选中的学生均是男生 D.至少有一名女生被选中4.已知直线和平面，则“与内无数条直线垂直”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，，是关于的方程的一个复数根，则（）A.16 B.14 C.4 D.6.已知一组数据的平均数，方差，每个数据都乘3后，则新数据的平均数和方差分别为（）A.15，20 B.15，18 C.45，6 D.45，187.已知，，且，，则（）A. B. C. D.8.若球被一个平面截得的截面圆的面积为，且球心到该平面的距离为，设为球的球面上的动点，为截面圆圆周上的动点，则，两点间距离的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第一象限C.是纯虚数 D.10.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（）A.当时，B.，C.不等式的解集为D.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（）A. B.C.为钝角三角形 D.若的面积为3，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的最小值为________．13.已知向量，满足，且，则________；在上的投影向量为________．14.已知函数在上单调递减，则的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某商场随机选取100名顾客进行调查，发现他们在商场的单次消费金额都在50元至300元之间，进行适当分组后（分组区间为，，，，），画出的频率分布直方图如图所示．（1）求的值；（2）按比例采用分层随机抽样的方法从单次消费金额在内的顾客中选取30人参加商场举行的活动，分别求单次消费金额在，，内参加活动的顾客人数．16.在中，，，．（1）求；（2）过点A作的垂线，并与直线交于点D，求的面积．17.已知向量，，函数．（1）求的最小正周期；（2）求在上的值域；（3）若，求．18.设整数，质检员对一批产品进行抽样质检，每次抽检件产品，至多抽检次，当且仅当抽到件次品或n件产品均为正品时，停止抽检.已知每件产品是次品的概率为，各件产品是否为次品相互独立.记为停止抽检时抽检的产品件数.（1）当，时，求质检员停止抽检时抽检的产品件数小于的概率；（2）当时，质检员停止抽检时抽检的产品件数为3的概率，求p；（3）当时，记停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，证明：.19.如图，在四棱锥中，底面，，，且.（1）若平面，证明：.（2）设平面平面.（ⅰ）证明：.（ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：化简集合A，依次判断各选项.解答过程：因为，所以.对于A：不成立，A错误；对于B：成立，B正确；对于C：成立，C错误；对于D：成立，D错误.2.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据三角函数图象的横坐标伸缩变换规律，原函数横坐标变为原来的（纵坐标不变）时，将原函数自变量替换为即可得到变换后的解析式.解答过程：将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到,3.某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（）A.恰有一名女生被选中 B.被选中的学生的性别相同C.被选中的学生均是男生 D.至少有一名女生被选中答案：C解析：解答过程：从两名男生和两名女生中，任选两人参加演讲比赛，按性别情况可以分三类，分别是：①两名男生②两名女生③一名男生一名女生，事件“恰有一名男生被选中”对应③，即一名男生一名女生；对于A，“恰有一名女生被选中”对应③，与目标事件③相同，可同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，“被选中的学生的性别相同”对应①和②，与目标事件③不能同时发生，是互斥事件，但目标事件不发生，该事件一定发生，是对立事件，故B错误；对于C，“被选中的学生均是男生”对应①，与目标事件③不能同时发生，是互斥事件，但存在②，使得两个事件可同时不发生，故不是对立事件，所以目标事件与该事件是互斥但不对立事件，故C正确；对于D，“至少有一名女生被选中”对应②和③，与目标事件可同时发生，不是互斥事件，故D错误.4.已知直线和平面，则“与内无数条直线垂直”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：由线面垂直的定义可知必要性成立，举出反例可得充分性不成立，得到答案解答过程：“”，则“与内所有直线垂直”，故“与内无数条直线垂直”，必要性成立，若“与内无数条直线垂直”，但这些直线均平行，则无法得到“”，充分性不成立，故“与内无数条直线垂直”是“”的必要不充分条件.5.已知，，是关于的方程的一个复数根，则（）A.16 B.14 C.4 D.答案：C解析：思路：根据实系数方程的共轭复根定理，结合韦达定理求解即可.解答过程：若是方程的一个复数根，则它的共轭复数也是该方程的根.根据韦达定理得，，所以，，所以.6.已知一组数据的平均数，方差，每个数据都乘3后，则新数据的平均数和方差分别为（）A.15，20 B.15，18 C.45，6 D.45，18答案：B解析：思路：根据平均数与方差的性质计算的结果.解答过程：新数据的平均数为，方差为．7.已知，，且，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以，所以，又，所以.因为，，所以，所以.所以.8.若球被一个平面截得的截面圆的面积为，且球心到该平面的距离为，设为球的球面上的动点，为截面圆圆周上的动点，则，两点间距离的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设截面圆的半径为，球的半径为，则，解得，所以，故，两点间距离的最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第一象限C.是纯虚数 D.答案：BCD解析：解答过程：对于A，因为，所以，故A错误；对于B，因为，，所以=，在复平面对应的点为，位于第一象限，故B正确；对于C，因为，，所以，故C正确；对于D，因为，，所以，，所以，故D正确.10.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（）A.当时，B.，C.不等式的解集为D.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为答案：AC解析：思路：根据函数的性质，逐个选项判断即可.解答过程：由题知，令，则，所以，因为是定义在上的偶函数，所以，所以当时，，A正确；当时，，当时，，因为是定义在上的偶函数，所以，，B错；当时，令，解得，又因为是定义在上的偶函数，所以，的解集为，C正确；由上述可知，，且，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又因为是定义在上的偶函数，所以要使有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，即与两函数有两个交点，则需满足或，D错.11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（）A. B.C.为钝角三角形 D.若的面积为3，则答案：ABD解析：思路：利用正弦定理及余弦定理可得，然后根据三角函数的性质及基本不等式可得，可判断AB；利用余弦定理可得为最大边，求判断C；利用三角形面积公式判断D.解答过程：由于，由正余弦定理可知，整理得，，由于，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，AB正确；由于，，根据余弦定理，，得，为最大边，，则，所以为锐角三角形，C错误；若的面积为3，即，所以，则，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的最小值为________．答案：解析：解答过程：因为，所以，当且仅当即时取等号.13.已知向量，满足，且，则________；在上的投影向量为________．答案：①.②.解析：思路：根据向量的数量积的运算性质计算可得.解答过程：因为，所以.又，所以，解得，在上的投影向量为.因此，在上的投影向量为.14.已知函数在上单调递减，则的取值范围为________．答案：解析：思路：结合复合函数单调性与定义域分情况建立不等式求解可得.解答过程：设，.由函数在上单调递减，则函数在上单调递减，且在上恒成立，当时，函数在上单调递减，，符合题意；当时，则，解得；当时，则，无解；综上所述，的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某商场随机选取100名顾客进行调查，发现他们在商场的单次消费金额都在50元至300元之间，进行适当分组后（分组区间为，，，，），画出的频率分布直方图如图所示．（1）求的值；（2）按比例采用分层随机抽样的方法从单次消费金额在内的顾客中选取30人参加商场举行的活动，分别求单次消费金额在，，内参加活动的顾客人数．答案：（1）（2）在，，内参加活动的顾客人数依次为10人，12人，8人解析：思路：（1）根据频率分布直方图性质求解即可.（2）根据分层随机抽样的方法求解即可.（1）根据频率分布直方图性质可知，解得．（2）单次消费金额在内的顾客频率为，在内的顾客频率为，在内的顾客频率为，则单次消费金额在内参加活动的顾客人数为，在内参加活动的顾客人数为，在内参加活动的顾客人数为．16.在中，，，．（1）求；（2）过点A作的垂线，并与直线交于点D，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理求解即可；（2）由同角的平方关系和商数关系可求得，进而求得，可求的面积．（1）因为，，，所以．（2）因为，，所以，则．又，所以，则，则的面积为．17.已知向量，，函数．（1）求的最小正周期；（2）求在上的值域；（3）若，求．答案：（1）（2）（3）解析：（1）因为，，所以，则的最小正周期．（2）由，可得，则，从而在上的值域为．（3）由，可得，则.18.设整数，质检员对一批产品进行抽样质检，每次抽检件产品，至多抽检次，当且仅当抽到件次品或n件产品均为正品时，停止抽检.已知每件产品是次品的概率为，各件产品是否为次品相互独立.记为停止抽检时抽检的产品件数.（1）当，时，求质检员停止抽检时抽检的产品件数小于的概率；（2）当时，质检员停止抽检时抽检的产品件数为3的概率，求p；（3）当时，记停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，证明：.答案：（1）（2）（3）当时，说明前次均未抽到次品，则，说明前次均未抽到次品，则，因为，所以.解析：思路：（1）根据的取值情况，分别计算的概率，再根据互斥事件概率加法公式求解；（2）可根据的含义列出关于的方程，进而求解；（3）分别分析和，再根据独立事件概率乘法公式进行证明.（1）由题意可知，，.（2）依题意得.即，解得或（舍去），所以.（3）略19.如图，在四棱锥中，底面，，，且.（1）若平面，证明：.（2）设平面平面.（ⅰ）证明：.（ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围.答案：（1）因为底面，平面，所以，因为，，平面，所以平面.因为平面，平面，平面平面，所以.所以平面，因为平面，所以.（2）（ⅰ）证明：如图1，过点作，垂足为，因为平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.又因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面.