山东省菏泽市东明县第一中学2026届高三上册开学摸底考试数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.4.已知，则（）A.2 B.1 C. D.5.已知实数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.6.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则（）A.2 B. C. D.7.下列函数在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.8.已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（）A.圆上 B.椭圆上 C.抛物线上 D.双曲线上二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（）场次12345678910甲18202213202710211930乙31020924271328917A.甲的众数大于乙的众数B.甲的平均数大于乙的平均数C.甲的极差大于乙的极差D.甲的60百分位数大于乙的60百分位数10.已知函数的最小正周期为，则（）A. B.C. D.11.武当太极拳又称武当内家拳，是我国的一项传统武术拳种，修习太极拳可以养生祛病、强身健体、延年益寿.若张爷爷早上带着孙子小张在健身广场练习武当太极拳十三式，张爷爷按照拳法顺序从第一式打到第十三式，每种招式打一遍，小张随机打了十三式，则（）A.若招式可以重复，则小张练习的可能情况数为13!B.若招式不可重复，则小张练习的可能情况数为13!C.若招式可以重复，小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为12!D.若招式不可重复，小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离是a，则双曲线的离心率的值是__________．13.若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数_____.14.已知正整数，欧拉函数表示、、、、中与互素的整数的个数，例如，，.若小明从、、、、中随机取一个数，小红从、、、、中随机取一个数，则的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，且．（1）求A：（2）若，的面积为，求的周长．16.如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，，点、分别为棱、的中点.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值.17.已知数列的前项和为，且，，成等差数列.已知数列首项，且.（1）求数列的通项公式，并求数列的前项和.（2）若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.（3）是否存在不同的，，使得，，成等差数列？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由.18.已知函数有两个极值点.（1）求实数的取值范围；（2）记两个极值点分别为，，证明：.19.已知点，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程.（2）若是椭圆上的一个动点，点经过第次变动（各次变动之间相互独立）后落在的位置（异于椭圆的左、右顶点，且时，允许），点是的内心（即内切圆的圆心），满足，其中，为坐标原点.①证明：；②若，且对任意都有的面积为，求对任意都有的概率.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：解一元二次不等式求集合，由集合的交运算求解.解答过程：解：，，故．故选：C．2.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：利用复数除法求解，再结合复数对应的点判断即可.解答过程：，所以对应的点位于第四象限.故选：D3.已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据投影向量的定义直接得解.解答过程：在上的投影向量为，故选：A.4.已知，则（）A.2 B.1 C. D.答案：C解析：思路：由已知，结合辅助公式求出，再代入求解即可.解答过程：，故，可得，代入计算可得.故选：C.5.已知实数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值.解答过程：因为，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.故选：B6.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则（）A.2 B. C. D.答案：C解析：思路：有的面积是的面积的两倍可得，设出直线方程联立曲线，得到相应韦达定理即可计算出、，即可得解.解答过程：令为点到直线的距离，则，,由，故，由抛物线定义可知，，，则有，即，设直线方程为，联立抛物线方程，有，，故，，则，则有，故，有，故或（负值舍去），则，故.故选：C.7.下列函数在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解.解答过程：对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误.对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误.对于C，，满足在上单调递增，故C正确.对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误.故选：C.8.已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（）A.圆上 B.椭圆上 C.抛物线上 D.双曲线上答案：D解析：思路：由题意得在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为，进一步即可求解.解答过程：直线与直线的夹角为，则在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为，因为平面，所以动点的轨迹在双曲线上.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（）场次12345678910甲18202213202710211930乙31020924271328917A.甲的众数大于乙的众数B.甲的平均数大于乙的平均数C.甲的极差大于乙的极差D.甲的60百分位数大于乙的60百分位数答案：ABD解析：思路：分别根据一组数据的众数，平均数计算公式，极差和百分位数定义即可一一判断.解答过程：对于A，甲的众数为20，而乙的众数为9，故甲的众数大于乙的众数，A正确；对于B，因甲平均数，而乙平均数，故B正确；对于C，甲的极差为，而乙的极差为，故C错误；对于D，先把甲的得分按从小到大顺序排列为：10，13，18，19，20，20，21，22，27，30，由知甲的60百分位数为；再把乙的得分按从小到大顺序排列为：3，9，9，10，13，17，20，24，27，28，则乙的60百分位数为，故D正确.故选：ABD.10.已知函数的最小正周期为，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：对A，利用周期公式计算得解；对B，求出，代入计算；对C，代入解析式计算判断；对D，代入解析式计算判断.解答过程：对于A，由题意可得，解得，故A错误；对于B，函数的解析式为：，故，则，故B正确；对于C，，，所以，故C正确；对于D，，，所以，故D正确.故选：BCD.11.武当太极拳又称武当内家拳，是我国的一项传统武术拳种，修习太极拳可以养生祛病、强身健体、延年益寿.若张爷爷早上带着孙子小张在健身广场练习武当太极拳十三式，张爷爷按照拳法顺序从第一式打到第十三式，每种招式打一遍，小张随机打了十三式，则（）A.若招式可以重复，则小张练习的可能情况数为13!B.若招式不可重复，则小张练习的可能情况数为13!C.若招式可以重复，小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为12!D.若招式不可重复，小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为答案：BD解析：思路：根据排列数的公式，以及古典摡型的计算公式，逐项判定，即可求解.解答过程：对于A中，若招式可以重复，则小张练习的可能情况数为，所以A不正确；对于B中，若招式不可重复，则小张练习的可能情况数为，所以B正确；对于C中，若招式可以重复，小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为，所以C错误；对于D中，若招式不可重复，小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为，所以D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离是a，则双曲线的离心率的值是__________．答案：解析：思路：求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线距离公式及离心率定义求解.解答过程：双曲线的渐近线方程为，即，则焦点到渐近线的距离，解得，所以双曲线的离心率故答案为：13.若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数_____.答案：解析：思路：求导得，由题意可得，结合点在圆上可求解.解答过程：对于，，故切线斜率存在，于是，又，解得或（舍去），于是，所以，所以.故答案为：.14.已知正整数，欧拉函数表示、、、、中与互素的整数的个数，例如，，.若小明从、、、、中随机取一个数，小红从、、、、中随机取一个数，则的概率为_____.答案：##解析：思路：求出当，时，、的值，列举出满足的数组，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.解答过程：由题意可得，，，，，，，，，，因为，，满足的数组有：、、、，故所求概率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，且．（1）求A：（2）若，的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先利用正弦定理边化角，然后利用三角公式整理计算即可；（2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，则周长可求.（1）由，以及正弦定理可得即，即，又在中，所以，则在中；（2）由（1）可得，所以，由余弦定理，解得，所以的周长.16.如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，，点、分别为棱、的中点.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值.答案：（1）证明：如图1，取的中点，连接、，因为为的中点，所以，且，AI又四边形为菱形，且为的中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）连接、交于点，过点在平面内作，垂足为点，利用线面角的定义可知直线与平面所成角为，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的正弦值.（1）略（2）如图2，连接、交于点.因为四边形为菱形，所以，且为、的中点，又因为，所以，因为、平面，且，所以平面.因为平面，所以平面平面，过点在平面内作，垂足为点，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角的平面角，则.又，，，为的中点，所以，则为等边三角形，因为，故也为等边三角形，且，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，.取平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，取，可得，则，设二面角平面角为，则.因此，二面角的正弦值为.17.已知数列的前项和为，且，，成等差数列.已知数列首项，且.（1）求数列的通项公式，并求数列的前项和.（2）若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.（3）是否存在不同的，，使得，，成等差数列？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由.答案：（1），；（2）；（3）不存在，理由如下：假设存在不同的，，不妨假设使得，，成等差数列，则，即，两边除以16，得.因为，所以，所以，所以.当时，；当时，，这与题设矛盾，所以不存在不同的，使得，，成等差数列.解析：思路：（1）根据等差数列的性质有，结合的关系得，根据等比数列的定义得，最后应用裂项相消法求；（2）由题设递推关系得，确定前30项的构成，再应用分组求和，应用等差、等比数列前n项和公式求结果；（3）应用反证思想，结合等差数列的性质有，进而推出矛盾，即可得.（1）因为，，成等差数列，所以，①所以，②由①②，得，于是.又，所以，所以，因此，数列是首项为2，公比为2的等比数列.所以，即.又，所以.（2）因为，所以，所以数列是各项均为0的常数数列，所以，所以，则数列是以1为首项，2为公差的等差数列.又，，，，，，，，所以.（3）略18.已知函数有两个极值点.（1）求实数的取值范围；（2）记两个极值点分别为，，证明：.答案：（1）；（2）证明：由（1）知，，所以，所以.令，则，令，则，所以在上单调递增.因为，，所以函数存在唯一零点，即，且当时，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，存在最小值，即.因为，所以，所以，所以.解析：思路：（1）由题意知，导函数在上有两个不相等的实数根，再根据二次函数的性质进行求解即可；（2）根据题意可得，，是方程的两个不等正实根，根据韦达定理得，，代入化简，进而构造函数，再求导判断其单调性和最值，即可证明.（1）由题意得，，.因为有两个极值点，所以方程有两个不相等的正根，所以，解得.检验：当时，由得或.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，满足题意.所以实数的取值范围为.（2）略19.已知点，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程.（2）若是椭圆上的一个动点，点经过第次变动（各次变动之间相互独立）后落在的位置（异于椭圆的左、右顶点