内蒙古准格尔部分中学2025-2026学年高一下册期末评估诊断数学试卷-含答案

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（）A. B. C. D.3.在中，点满足，点满足，则（）A. B.C. D.4.已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（）A. B. C. D.5.已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.如图，在正方体中，P是的中点，则异面直线与CP所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（）A.与互斥 B.与对立C.与相互独立 D.8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.现有一组样本数据1，3，1，5，5，6，8，2，5，则这组数据的（）A.众数为5 B.中位数为3C.极差为7 D.分位数为510.已知复数z满足，则下列结论正确的是（）A.B.z的虚部为C.在复平面内对应的点位于第二象限D.若复数满足，则的最小值为111.如图，在正四棱台中，，则下列说法正确的是（）A.该四棱台的高为B.二面角的大小为C.若点在四边形ABCD内，，则动点的轨迹长度是D.若点在内部（含边界），则的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为___________.13.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______．14.在中，是边AB上的一点，且满足，，，则的面积为__________；若是边的中点，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.甲､乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀）.如下表所示：甲射击成绩109781010乙射击成绩106101099（1）以频率作为概率，估计甲､乙两人射击成绩的优秀率；（2）分别求出甲､乙6次射击成绩的平均数与方差，以此为依据，判断哪位运动员的射击成绩更好？16.已知向量，．（1）求；（2）若向量，且，求的值；（3）求与垂直的单位向量的坐标．17.小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率；（2）求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率．18.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，的中点，平面．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，，求PA与平面PCD所成角的正弦值．19.“费马点”是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状.当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求的值；（3）若的面积为，设点为的费马点，求的最小值.

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：应用集合的交运算求结果即可.解答过程：因为集合，，所以．故选：B2.某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据分层抽样可得出关于的等式，解之即可.解答过程：根据分层抽样可得，解得．故选：D．3.在中，点满足，点满足，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据题意结合平面向量基本定理即可求解.解答过程：已知且，所以，则，故A正确.4.已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据斜二测画法规则进行求解计算即可.解答过程：由斜二测画法规则可知，其水平放置的直观图是底为4，高为的平行四边形，所以直观图的面积为.5.已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据面面垂直的判定定理与面面垂直性质进行推断即可．解答过程：由线面垂直的判定定理可知，过一个平面垂线的平面与这个平面垂直，故“”可以得到“”，充分性得证；反之，已知两平面垂直，一个平面内的直线可以与另一个平面相交，垂直，平行，不能得到线面垂直，必要性不成立；故“”是“”的充分不必要条件．6.如图，在正方体中，P是的中点，则异面直线与CP所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：取AB的中点Q，则或其补角是异面直线与CP所成角，设，由余弦定理可得答案.解答过程：如图，取AB的中点Q，连接PQ，CQ，因为，所以四边形是平行四边形，则，所以或其补角是异面直线与CP所成角，设，则，在中，由余弦定理得.故选：A.7.一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（）A.与互斥 B.与对立C.与相互独立 D.答案：D解析：思路：由和互斥事件、对立事件定义即可判断AB；由即可判断C；由交事件定义计算即可判断D.解答过程：将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为，则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为共15个样本点，由题意共3个样本点，共9个样本点，共14个样本点，共6个样本点，所以，故A与D不互斥，故A错误；，故B与C不互斥，故B错误；因为，一个样本点，所以，即，故C错误；，故D正确.故选：D8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由辅助角公式化简可得，由余弦函数性质可得，再利用正弦定理及二倍角公式化简计算即可求解.解答过程：由题意得，即，因为，，则，且余弦函数在上单调递减，所以，即，又，所以，又，所以，又，所以，所以.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.现有一组样本数据1，3，1，5，5，6，8，2，5，则这组数据的（）A.众数为5 B.中位数为3C.极差为7 D.分位数为5答案：ACD解析：思路：先将数据从小到大排序，再依次讨论各选项即可得答案.解答过程：先将数据从小到大排序为：故众数为，中位数为，极差为，因为，所以分位数为5，故ACD正确，B错误；故选：ACD10.已知复数z满足，则下列结论正确的是（）A.B.z的虚部为C.在复平面内对应的点位于第二象限D.若复数满足，则的最小值为1答案：ACD解析：思路：根据复数的除法乘法运算结合模长公式判断A，根据复数定义判断B，应用复数对应点判断C，应用模长关系计算判断D.解答过程：由，得，所以，，A正确；z的虚部为，B错误；，在复平面内对应的点为，位于第二象限，C正确；因为，D正确.故选:ACD.11.如图，在正四棱台中，，则下列说法正确的是（）A.该四棱台的高为B.二面角的大小为C.若点在四边形ABCD内，，则动点的轨迹长度是D.若点在内部（含边界），则的最小值为4答案：AB解析：思路：过点作，垂足为，求得判断A；设为四边形ABCD对角线的交点，可得二面角的平面角为，求解可判断B；点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆（在正方形ABCD内，计算可判断C；由题意可得点只有落在上，才有可能取得最小值；求得最小值判断D.解答过程：如图1，过点作，垂足为，则四棱台的高为，因为，所以，所以，A正确；设为四边形ABCD对角线的交点，则为BD中点，．由，知，所以二面角的平面角为，又，所以为正三角形，所以二面角的大小为，故B正确；由勾股定理得，故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆（在正方形ABCD内，易知点到边AB，AD的距离都为），所以动点的轨迹长度是，C错误；由图1易得平面，故平面，不妨设落在图2的（在外）处，过作，交于，则平面平面，故，故在Rt中，（直角边小于斜边）；同理，，所以，故动点只有落在上，才有可能取得最小值；再看图3，易知，和都为正三角形，关于的对称点为，可知，即与重合时，有最小值，D错误．故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为___________.答案：解析：思路：根据圆柱的侧面展开图可知底面圆的周长等于正方形的边长，即可求出底面圆的半径，进而可求面积.解答过程：因为圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，所以该圆柱的底面圆的周长为其侧面展开图正方形的边长，该圆柱底面圆半径为，故该圆柱一个底面的面积.故答案为：13.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______．答案：##0.4解析：思路：列举基本事件，利用古典概型概率公式求解.解答过程：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，样本空间共10个基本事件，即用表示“抽到的3张卡片上的数字之和不小于10”，则共4个基本事件，即所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率．故答案为：.14.在中，是边AB上的一点，且满足，，，则的面积为__________；若是边的中点，则__________.答案：①.②.##解析：思路：根据条件，利用正弦定理得，再利用余弦定理得，求得，，即可求解；利用等面积法得，再利用向量的中线公式得，即可求解.解答过程：在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，又，，所以，，又，，所以.在中，由余弦定理可得，即，解得，，所以的面积为.又，所以.因为，所以，所以，所以.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.甲､乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀）.如下表所示：甲射击成绩109781010乙射击成绩106101099（1）以频率作为概率，估计甲､乙两人射击成绩的优秀率；（2）分别求出甲､乙6次射击成绩的平均数与方差，以此为依据，判断哪位运动员的射击成绩更好？答案：（1）甲的优秀率为，乙的优秀率为（2）甲的射击成绩更好解析：思路：（1）直接由表得出结论；（2）分别计算甲乙两名运动员的平均数和方差，通过，判断甲成绩更好.（1）由表可知：甲的优秀率为，乙的优秀率为.（2）甲运动员此射击成绩的平均数为，所以甲运动员此射击成绩的方差为，乙运动员此射击成绩的平均数为，所以乙运动员此射击成绩的方差为，因为，，所以甲、乙两名运动员的平均成绩相同，但是甲运动员的射击成绩更稳定，所以甲运动员的射击成绩更好.16.已知向量，．（1）求；（2）若向量，且，求的值；（3）求与垂直的单位向量的坐标．答案：（1）（2）（3）或.解析：思路：（1）利用向量线性运算的坐标表示求出，再利用向量的模的坐标公式求出；（2）利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示求出值；（3）求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求出一个向量，结合单位向量的意义求得答案.（1）由，，得，所以.（2）由，则，因为，所以，解得.（3）由题可得，设与垂直的向量，则，取，得，则，所以，与向量共线的单位向量为，因此，与垂直的单位向量的坐标或.17.小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率；（2）求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率．答案：（1）．（2）．解析：思路：（1）根据对立事件的内涵进行求解即可.（2）分别求出在两轮比赛中，小张、小胡答对题目个数为的概率，然后概率之积求得结果.（1）记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事件，所以，即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为．（2）记“小张在两轮比赛中答对题”为事件，“小胡在两轮比赛中答对题”为事件，“在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等”为事件，所以，，，，所以，即在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为．18.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，的中点，平面．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，，求PA与平面PCD所成角的正弦值．答案：（1）连接交于点，连接．因为四边形是平行四边形，所以是中点．又是中点，所以．因为平面平面，所以平面．（2）由题知，在中，，，由余弦定理，得，所以．在中，，，所以是等边三角形，所以，所以，即．因为平面平面，所以．又，，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（3）解析：思路：（1）连接交于点