江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2025-2026学年高一下册7月期末考试数学试卷-含答案

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.若角的终边上有一点，则（）A.-3 B.4 C. D.2.如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A. B. C. D.43.计算：（）A.1 B. C. D.4.已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（）A. B. C. D.5.若，化简的结果是（）A. B. C. D.26.已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的（）A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心7.将函数的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，若且，则的最小值是（）A. B. C. D.8.如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（）A. B. C.与夹角为 D.10.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（）A.若，则为等腰三角形B.若，则为钝角三角形C.若，，，则有两解D.若为锐角三角形，则11.如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（）A.直线与是异面直线B.直线平面C.异面直线与所成角的取值范围是D.当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知为第三象限角，，则________.13.已知某时钟的时针、分针的长度分别为3cm，，若时钟上的时间如图所示，则时针的针尖与分针的针尖之间的距离为______cm．14.如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面面积为____．四．解答题：本大题有5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别是和的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．16.已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．17.已知函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、、为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形．（1）化简的解析式并求最小正周期；（2）求在方向上的投影坐标．18.已知，，分别为三个内角，，的对边，（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长；（3）若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围．19.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，且，，，．（1）求证：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）当时，求二面角的正弦值的取值范围．（注：本题用空间向量作答不给分）

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.若角的终边上有一点，则（）A.-3 B.4 C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以.2.如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A. B. C. D.4答案：B解析：解答过程：在直观图中，，，则在原图形平行四边形OABC中，，如图，所以原图形的面积为.3.计算：（）A.1 B. C. D.答案：B解析：思路：利用两角和与差的正弦公式化简即可.解答过程：.4.已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：计算出圆锥的母线长，从而计算出圆锥的表面积.解答过程：已知底面半径，底面周长为，该周长等于侧面展开扇形的弧长，设母线长为，已知侧面展开圆心角为，则，解得.底面积，侧面积，则总表面积.5.若，化简的结果是（）A. B. C. D.2答案：C解析：解答过程：因为，所以..6.已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的（）A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心答案：C解析：思路：连接，分别证明这是三角形的三条高，由此确定点为的垂心.解答过程：画出图像如下图所示.先证，由于，所以平面，所以，由于是点在平面内的射影，所以平面，所以，故平面，所以.同理可证得，故是三角形的垂心.所以选C.方法提示：本小题主要考查空间线面垂直、线线垂直的相互转化，考查三角形垂心的几何性质.三角形有四心：内心、外心、重心和垂心.内心是角平分线的交点，也是内切圆圆心；外心是垂直平分线的交点，也是外接圆圆心；重心是中线的交点；垂心是三条高的交点.对于等边三角形来说，四心合一，称为中心.7.将函数的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，若且，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据图象平移规律得到的表达式，再结合分析与的关系，进而求出的最小值.解答过程：函数向上平移1个单位，根据平移规则得：，因为正弦函数，因此的值域为，由于的最大值为2，要使，则，

当时，，即，根据正弦函数性质可得：，化简得：，设，，所以，，因为，所以当时，取得最小值为.8.如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设，先由的面积求出及的值，再根据平面向量共线定理，向量的加法法则和平面向量基本定理求出，进而确定，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值.解答过程：由，可得，所以.由可得.因为为CD上一点，所以设，则.因为，所以，解得，所以，所以(当且仅当，即时等号成立).所以的最小值是.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（）A. B. C.与夹角为 D.答案：BCD解析：思路：根据向量数量积的运算律，结合向量垂直、夹角的相关计算公式逐项判断可得答案.解答过程：∵，∴，∴，即，∴，选项B正确.∵，∴不成立，选项A错误.∵，，∴与夹角为，选项C正确.∵，∴，选项D正确.故选：BCD.10.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（）A.若，则为等腰三角形B.若，则为钝角三角形C.若，，，则有两解D.若为锐角三角形，则答案：BD解析：思路：对于A：利用正弦定理结合倍角公式可得，举反例说明即可；对于B：由正弦定理可得，结合余弦定理运算求解；对于C：利用正弦定理运算求解即可；对于D：根据锐角三角形可得，，，结合正弦函数性质运算求解.解答过程：对于选项A：因为，由正弦定理可得，即，例如，，则，，满足，但为直角三角形，故A错误；对于选项B：若，由正弦定理可得，设，，，，且角为最大角，则，且，可知角为钝角，所以为钝角三角形，故B正确；对于选项C：由正弦定理可得，且，则，，所以有且仅有一个解，故C错误；对于选项D：若为锐角三角形，则，，可得，，所以，故D正确.11.如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（）A.直线与是异面直线B.直线平面C.异面直线与所成角的取值范围是D.当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处答案：BCD解析：思路：对于A，由与是正方体对角面的两条对角线，可判断，对于B，证明平面平面，根据面面平行的性质，可得答案.对于C，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D，通过平面，设垂足为，通过等体积计算，确定，可判断D.解答过程：对于A，直线与是正方体对角面的两条对角线，故共面，A错误；对于B，在正方体中，，平面，平面，平面，连接，由正方体的性质可得，因为平面，平面，所以平面.因为平面,所以平面平面.因为平面，所以平面，故B正确.对于C，如图：在正方体中，易知为等边三角形，则，，或其补角为异面直线与所成角，则异面直线与所成角的取值范围，故C正确；对于D，连接，记，在正方体中，平面，平面，，在正方形中，，，平面，平面，平面，，同理可得：，，平面，平面，又平面平面.所以平面，设交点为，所以直线与直线相交时，交点为，又，设正方体棱长为2，得，得，又，所以当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知为第三象限角，，则________.答案：解析：思路：先求出，再利用半角公式计算.解答过程：因为是第三象限角，所以.由，解得：所以.13.已知某时钟的时针、分针的长度分别为3cm，，若时钟上的时间如图所示，则时针的针尖与分针的针尖之间的距离为______cm．答案：解析：思路：根据时钟显示的时间确定时针与分针的夹角，构造三角形，利用余弦定理计算两针尖之间的距离.解答过程：设时针的长度为，分针的长度为，时针针尖与分针针尖之间的距离为，由图可知，时钟显示的时间为，此时分针指向数字，时针指向数字与的正中间，因为时钟表盘上相邻两个数字之间的圆心角为，所以时针与分针的夹角，在由时针、分针及两针尖连线构成的三角形中，由余弦定理可得：，故时针的针尖与分针的针尖之间的距离为cm.14.如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面面积为____．答案：解析：思路：取中点，延长，与直线交于点，与直线交于点，连接，交于点，连接，交于点，证明过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形，再求其面积即可.解答过程：取中点，因为为中点，故，因为，分别是，的中点，所以，由正方体性质可得，，所以四边形为平行四边形，故，所以，延长，与直线交于点，与直线交于点，连接，交于点，连接，交于点，则过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形，记的交点为，则，由已知，所以，所以，故过，，三点的平面截正方体所得截面面积为.四．解答题：本大题有5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别是和的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由三角形中位线性质得，进而利用线面平行判定定理得平面；（2）结合锥体体积公式，由等体积法求解三棱锥的体积．（1）∵在中，、分别是和的中点，∴，又平面，平面，∴平面．（2）∵平面，∴是三棱锥的高，∵四边形是正方形，，∴三棱锥的体积为．∴三棱锥的体积为．16.已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．答案：（1）3（2）解析：思路：（1）利用齐次化可求三角函数式的值；（2）利用两角差的余弦可求的值.（1）因为，又，所以；（2）因为，，所以，又，所以，，又，所以.17.已知函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、、为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形．（1）化简的解析式并求最小正周期；（2）求在方向上的投影坐标．答案：（1），最小正周期为8（2）解析：思路：（1）先利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，得出点纵坐标，利用等腰直角三角形的性质得出，进而得出，求出，进而求出解析式；（2）根据正弦函数的性质，结合图象求出相关点坐标，进而求出相关向量坐标，利用投影向量公式求解．（1），则点纵坐标为2，已知为等腰直角三角形，则，即，解得，，解得，，最小正周期为8．（2）由函数图象知，点满足：，解得，故，零点满足，解得，当时，，即，当时，，，．18.已知，，分别为三个内角，，的对边，（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长；（3）若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围．答案：（1）（2）6（3）解析：思路：（1）利用正弦定理，可求角.（2）利用三角形的面积公式和余弦定理列式，可求三角形的周长.（3）利用平面向量和余弦定理可得，再利用正弦定理和三角函数恒等变换求的取值范围即可.（1），由正弦定理可得，∴，因为，所以，所以，即，又，则．（2）由（1）及题设可得，即整理得，解得．所以的周长为.（3）因为D为BC的中点，所以，两边平方得，在中，由余弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，，则，解得，所以，所以，则，即，所以，所以中线AD的取值范围是．19.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，且，，，．（1）求证：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）当时，求二面角的正弦值的取值范围．（注：本题用空间向量作答不给分）答案：（1）证明：在三角形中，，所以因为平面平面，且平面平面，所以平面.（2）（3）解析：思路：（1）根据面面垂直的性质证明即可.（2）过点作于点，先证明为直线与平面所成的角，然后根据线段长度关系证明为直角三角形，进