江西省南昌市三校（一中、十中、行知）2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数，则（）A. B.1 C. D.22.若为单元素集合，则m=（）A.-1 B.0 C.1 D.23.在正项等比数列中，，其中r，，，则公比q=（）A. B.2 C. D.4.若“，”为假命题，则的取值范围为（）A. B. C. D.5.已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.6.“函数存在零点”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知是函数图象上的点，是函数图象上的点，且轴，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.8.如图，点，在曲线上，设点，其中.若均为正方形，且，则i的最大值为（）A.32 B.31 C.64 D.63二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则10.已知数列的通项公式为，前项和为，则（）A. B.C.随着的增大，逐渐变小 D.当取得最小值时，的值为711.设函数，则下列结论正确的是（）A.若，则在上单调递增B.若在上单调递增，则C.若，则D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数则_______.13.对于数列，若（C为常数），则称是的“C和数列”.已知为等差数列，，，且是的“C和数列”，则________，的前10项和为_______.14.将体积为的沙子堆成两个圆锥形状的沙堆（忽略沙子缝隙对体积的影响），若这两个沙堆的母线与底面的夹角均为，则这两个沙堆占地面积（这两个沙堆底面圆的面积之和）的最大值为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.16.已知（且）是定义域内的奇函数.（1）求的值；（2）若，求不等式的解集.17.已知函数（1）求的所有极值点之和；（2）若，，，求的最小值；（3）求曲线过点的切线方程.18.已知数列满足，，，正项数列的前项和为，且.（1）求，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.19.对任意的，函数恒无零点．（1）求；（2）求函数的单调区间；（3）当时，对任意的，直线与曲线至多只有一个交点，求的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数，则（）A. B.1 C. D.2答案：C解析：解答过程：因为，因此当时，，，得2.若为单元素集合，则m=（）A.-1 B.0 C.1 D.2答案：C解析：解答过程：若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等，由函数的图象关于直线对称，得，解得.3.在正项等比数列中，，其中r，，，则公比q=（）A. B.2 C. D.答案：B解析：解答过程：根据等比数列的性质，因为，而又因为该等比数列各项均大于零，所以.4.若“，”为假命题，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：将不等式问题转化为函数不等式恒成立问题，进而通过端点值满足对应条件，即可求解.解答过程：由题意可得“，”为真命题，设，因此上述不等式恒成立即转化为，恒成立，则，解得.5.已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由图象可知，在和上单调递减，在上单调递增，则当时，，当时，，因此表示与同号，当时，只有时，，当时，只有时，，则的解集为.6.“函数存在零点”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：求导，利用导数分析函数的单调性和零点，可得，结合充分、必要条件分析判断.解答过程：由题意可知：的定义域为，且.令，解得；令，解得；可知函数在内单调递增，在内单调递减，则，当趋近于0或时，趋近于，若函数有零点，等价于，即，显然是的真子集，所以“函数存在零点”是“”的必要不充分条件.7.已知是函数图象上的点，是函数图象上的点，且轴，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.答案：B解析：思路：根据图象关系，求解出变量关系，进而将转化，通过基本不等式即可求解.解答过程：由题可知，因为轴，因此，则，故，故，当且仅当，即时，等号成立.8.如图，点，在曲线上，设点，其中.若均为正方形，且，则i的最大值为（）A.32 B.31 C.64 D.63答案：D解析：思路：根据曲线方程与点坐标的联系，表示出点的坐标，进而表示出数列的通项公式即可求解.解答过程：由题意可得当时，，由图可得点A在曲线上，所以，即.因为直线的方程为，由，解得，所以，，，因此数列是以16为首项，16为公差的等差数列，所以.由，得，即，解得64，故i的最大值为63.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则答案：BC解析：解答过程：对于Ａ选项，取，，则，A不正确.对于Ｂ选项，因为，所以，因为，所以，B正确.对于Ｃ选项，因为，，所以，则正确.对于Ｄ选项，取，，，则，故D不正确.10.已知数列的通项公式为，前项和为，则（）A. B.C.随着的增大，逐渐变小 D.当取得最小值时，的值为7答案：ABD解析：思路：利用，判断正负，比较大小，判断选项A；推导恒等式，倒序相加求​，判断选项B；代入相邻两项对比，判断数列单调性，判断选项C；解不等式，区分正负项，前项和在最后一个负项处取最小值，判断选项D．解答过程：因为，，所以，即，故A正确；由，得．①，同时②，①＋②得：，所以，故B正确；，，故，随着的增大，不是单调递减，故C错误；令，解得，即当时，为负数，，当时，，所以当取得最小值时，n的值为7，故D正确．11.设函数，则下列结论正确的是（）A.若，则在上单调递增B.若在上单调递增，则C.若，则D.若，则答案：BC解析：思路：对于A选项，代入对应参数，根据指数函数本身单调性性质即可判断；对于B选项，对函数进行求导，结合函数单调性与函数导数性质，即可求解参数范围；对于C选项，将函数不等式问题，转化为函数单调性问题，即可求解参数值；对于D选项，结合函数单调性与函数值间的联系即可判断；解答过程：对于A选项，因为的定义域为，由，得在上单调递增，A不正确.对于B选项，，由在上单调递增，得在上恒成立，则在上恒成立.令，则在上恒成立，则在上单调递增，从而，B正确.对于C选项，可知函数在上单调递增，若，则，则在上单调递增.由，可得当时，，不符合题意.若，则存在，使得，此时在上单调递减，在上单调递增，由，可得，则，解得，C正确.对于D选项，由，可得，则在上单调递减，在上单调递增.取，则，即在上单调递减，在上单调递增，则，D不正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数则_______.答案：解析：解答过程：根据分段函数定义，,因此.13.对于数列，若（C为常数），则称是的“C和数列”.已知为等差数列，，，且是的“C和数列”，则________，的前10项和为_______.答案：①.②.解析：思路：由等差数列性质求出的通项公式，并得到，得到，由等差数列求和公式得到的前10项和解答过程：设的公差为d，则，则，则，所以，则，故.14.将体积为的沙子堆成两个圆锥形状的沙堆（忽略沙子缝隙对体积的影响），若这两个沙堆的母线与底面的夹角均为，则这两个沙堆占地面积（这两个沙堆底面圆的面积之和）的最大值为_______.答案：解析：思路：根据母线与圆锥底面圆心和顶点连线间的关系，即可求解两圆锥底面半径联系，通过表示两圆锥体积和，利用导数即可求解最大值.解答过程：记两个沙堆底面圆的半径分别为，.因为这两个沙堆的母线与底面的夹角均为，所以这两个沙堆的高分别为，.由.，得.这两个沙堆的占地面积为.令，则.因为，是减函数，且，所以当时，，当，时，，，即.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.答案：（1）（2）证明：因为，所以，因为，所以.解析：思路：（1）通过数列的递推公式，利用累乘法即可求解通项公式；（2）化简数列通项，通过裂项相消法即可求解出数列前项和的计算公式，进而即可证明；（1）由题意可得.当时，，当时，满足，所以.（2）略16.已知（且）是定义域内的奇函数.（1）求的值；（2）若，求不等式的解集.答案：（1）（2）.解析：思路：（1）根据奇函数定义，即可求解参数值；（2）利用函数单调性，将函数不等式问题转化为自变量大小关系问题，即可求解；（1）（方法一）易知的定义域为，关于原点对称.因为是定义域内的奇函数，所以，则，得.（方法二）易知的定义域为，关于原点对称.因为是定义域内的奇函数，所以，解得.经检验，当时，是奇函数，故.（2）由（1）可知，.由，，解得，则是上的增函数.由，得.因为是上的增函数，所以，即.令，易得是上的增函数，且，所以由可得，则原不等式的解集为.17.已知函数（1）求的所有极值点之和；（2）若，，，求的最小值；（3）求曲线过点的切线方程.答案：（1）（2）64.（3）解析：思路：（1）根据函数极值点与函数的导数之间的联系，通过求导即可求解.（2）通过求解函数在整个区间上的最值，将参数的最小值问题转化为函数的最值问题，即可求解.（3）利用导数的几何意义，根据直线的点斜式方程，结合切线的意义联立方程即可求解.解答过程：（1）由题意得.令，得或；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，的极大值点为，的极小值点为，则的所有极值点之和为.（2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为，，，，所以，，则，所以c的最小值为64.（3）设切点坐标为，则，所以切线方程为，即.因为切线过点，所以，即，所以，解得，故所求切线方程为.18.已知数列满足，，，正项数列的前项和为，且.（1）求，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.答案：（1），（2）解析：思路：（１）根据数列前项和与数列通项间的关系，联立与时的情况即可求解；（２）求解得到数列通项，利用错位相减法，求解得到数列的前项和公式，求解即可.（1）因为从第2项开始，是以为公比的等比数列，因此，所以，因为正项数列的前n项和为，且①，所以当时，解得（舍去），因此当时，②.①一②可得，又因为各项为正，所以，即.又因为当时，，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以.（2）由题意得，，且.当时，，则.两式相减可得，所以.当时，也满足上式，所以.由，得.当为偶数时，，令，在上单调递减，所以，从而.当为奇数时，，令，在（0，1]上单调递增，所以，从而.综上，的取值范围为.19.对任意的，函数恒无零点．（1）求；（2）求函数的单调区间；（3）当时，对任意的，直线与曲线至多只有一个交点，求的取值范围．答案：（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为（3）解析：思路：（1）令，转化为，利用，值域恒正，结合可取任意非零实数、方程无解的条件，确定；（2）代入写出解析式，求导，令导数为0找到临界点，分区间判断导数正负，得到单调区间；（3）把