江西省南昌市新民外语学校2025-2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学分值：150分一、单选题本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个一项符合题目要求，请将正确答案填在答题卡上．1.的值为（

）A. B. C. D.2.如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A. B. C. D.43.如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（）A. B. C. D.4.已知向量与的夹角为，，，则（）A.3 B. C.7 D.5.在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形6.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则7.如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.如图，在中，，，且与交于点，设，则（）A.-1 B. C. D.二、多选题本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.（多选）已知复数（i为虚数单位），则（）A.的共轭复数为 B.的虚部为C. D.10.已知，则（）A. B.C. D.11.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（）A.3 B.5 C.6 D.7三、填空题本大题共3小题，每题5分，共15分，请将正确答案填写在答题卡上．12.设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是________．13.如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则_________．14.若函数在上有4个最值，则______．四、解答题本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知复数．（1）求；（2）求．16.已知向量，．（1）求与夹角的余弦值；（2）若，求．17.已知，，分别为的三个内角，，的对边，若.（1）求：（2）若，，求的面积.18.如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点．（1）B，C，H，G四点共面吗？（判断即可，无需证明）（2）求证：平面．19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点．（1）求证：平面平面；（2）若，，求AF与PC所成角．

数学分值：150分一、单选题本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个一项符合题目要求，请将正确答案填在答题卡上．1.的值为（

）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：2.如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A. B. C. D.4答案：B解析：解答过程：在直观图中，，，则在原图形平行四边形OABC中，，如图，所以原图形的面积为.3.如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量的三角形法则表示即可．解答过程：因为为靠近点的三等分点，所以，所以．4.已知向量与的夹角为，，，则（）A.3 B. C.7 D.答案：B解析：思路：由向量模长公式，向量数量积定义结合题设可得答案.解答过程：5.在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形答案：C解析：解答过程：由及正弦定理，得，因为，所以，代入得，即，因为，所以，故，因为，所以，即的形状为直角三角形．6.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：B解析：思路：结合线面平行的定义、判定定理及性质定理逐一验证各选项，即可.解答过程：对选项A：若，，则或，因此A错误；对选项B：该命题是线面平行的性质定理，即如果一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行，因此B正确；对选项C：若，，则或，因此C错误；对选项D：若，，则与的位置关系为平行或异面，因此D错误.7.如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为在正三棱柱

中，，所以异面直线

与

所成的角即为直线

与

所成的角.连接

，在

中，由题意可知，底面正三角形边长为

，侧棱长为

，所以

.在

中，.同理，在

中，.由余弦定理可得：

.因为异面直线所成角的范围是

，且

，所以异面直线

与

所成角的余弦值为

.8.如图，在中，，，且与交于点，设，则（）A.-1 B. C. D.答案：B解析：思路：分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可.解答过程：因为，，三点共线，且，所以又因为，，三点共线，且，所以，可得，解得，，所以.二、多选题本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.（多选）已知复数（i为虚数单位），则（）A.的共轭复数为 B.的虚部为C. D.答案：BD解析：解答过程：对于A，，的共轭复数为，故A错误；对于B，的虚部为，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．10.已知，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：根据同角三角函数关系，倍角公式，和差角公式即可求出结果．解答过程：对于选项A，因为，所以，故A正确；对于选项B，由选项A得B错误；对于选项C，，故C正确；对于选项D，，，故D正确.11.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（）A.3 B.5 C.6 D.7答案：CD解析：思路：根据三角形解的个数知，当时，该三角形有两解，可得到的取值范围，即可求解．解答过程：解：当时，即时，即时，该三角形有两解．故选：CD．三、填空题本大题共3小题，每题5分，共15分，请将正确答案填写在答题卡上．12.设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是________．答案：解析：思路：利用向量投影的计算公式，即可求解.解答过程：向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是13.如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则_________．答案：5解析：思路：运用线面平行的性质得到线线平行，结合梯形中位线性质解题即可.解答过程：因为平面，平面，平面平面，所以，又点是的中点，，所以是梯形的中位线，结合已知有．故答案为：5.14.若函数在上有4个最值，则______．答案：解析：思路：求出的范围，根据条件建立不等式求解即可.解答过程：因为，则，因为在上有4个最值，所以解得.四、解答题本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知复数．（1）求；（2）求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据复数乘法的运算法则计算；（2）先求出，再根据复数的模求解即可．（1）.（2），．16.已知向量，．（1）求与夹角的余弦值；（2）若，求．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）根据平面向量夹角坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算坐标表示公式进行求解即可.（1）由题意得，，，所以与夹角的余弦值为．（2），，因为，所以，得．17.已知，，分别为的三个内角，，的对边，若.（1）求：（2）若，，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式计算即可得；（2）借助余弦定理可求出，再利用面积公式计算即可得.（1）由正弦定理将边化为角，可得，即，即，又，则，故，又，故；（2），整理得，故（负值舍去），则.18.如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点．（1）B，C，H，G四点共面吗？（判断即可，无需证明）（2）求证：平面．答案：（1）共面（2）在三棱柱中，，，，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面．解析：思路：（1）借助三角形的中位线，证明，可得B，C，H，G四点共面；（2）结合平行四边形性质先证，再证平面．（1）G，H分别是，的中点，是的中位线，，又在三棱柱中，，，B，C，H，G四点共面．（2）略19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点．（1）求证：平面平面；（2）若，，求AF与PC所成角．答案：（1）证明：因为分别为棱中点，