山东省威海市2025-2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.与是同一象限角的是（）A. B. C. D.2.已知向量，，且，则（）A.6 B.4 C.2 D.3.在中，若，，，则（）A. B. C. D.4.已知是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则5.已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台侧面与下底面所成角的大小为（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.已知三棱锥的体积为24，D，E分别是，的中点，点F在棱上，，则三棱锥的体积为（）A.1 B.2 C.3 D.48.在中，，，则面积的最大值为（）A.4 B. C.2 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称．C.在上单调递减D.将函数图象上的所有点向右平移个单位，就可得到的图象10.已知，，为平面内的单位向量，若，不共线，，，则（）A. B. C. D.11.已知正四面体的棱长为2，P，Q分别为棱，上的点，且，过且平行于的平面记为，则（）A.P为的中点B.存在C.直线与平面所成的最大角的正弦值为D.该正四面体的表面被截得的图形周长的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆锥的母线长为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为________．13.有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河，小船航行速度的大小为，方向为北偏西，受河水速度的影响，小船实际航行速度为正北方向，则河水速度为向东________．14.已知函数的一个零点为，且在上单调递减，则方程在上所有根的和为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在平面四边形中，，，N为线段上一点，且．（1）用，表示，；（2）若，，，证明：．16.如图，在四棱柱中，侧面是矩形，底面是菱形，，M，N分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面．17.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求在上的最值；（3）若，且，求的值．18.如图，菱形的边长为2，，将沿翻折至，分别为的中点．（1）若．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求直线与所成角的正切值；（2）若三棱锥的各顶点都在球的球面上，球的表面积为，求．19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）已知，，点P在线段上，设，．（ⅰ）若，求；（ⅱ）求为何值时，取得最小值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.与是同一象限角的是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：是第四象限角.对于A：，因此是第一象限角；对于B：，因此是第四象限角；对于C：是第一象限角；对于D：，因此是第二象限角.2.已知向量，，且，则（）A.6 B.4 C.2 D.答案：A解析：解答过程：，，，解得.3.在中，若，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据余弦定理及同角的三角函数关系求解即可.解答过程：在中，由余弦定理得，所以.4.已知是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则答案：C解析：思路：运用排除法，排除选项A、B、D.解答过程：取，，，，选项A错误；取平面，平面，，，，，选项B错误；取平面，平面，，，，，，，选项D错误.5.已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台侧面与下底面所成角的大小为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据正四棱台的性质及截面性质，结合三角函数求解即可.解答过程：正四棱台中，易知四边形为等腰梯形，且在底面上的投影在上.过作交于，则平面.等腰梯形中，，，，.则，即正四棱台的高为.设正四棱台侧面与下底面所成角为，，因为正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，则，所以，即该正四棱台侧面与下底面所成角的大小为.6.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：根据诱导公式得，由和二倍角公式，代入得，分子分母同除以（）得，代入，可知.7.已知三棱锥的体积为24，D，E分别是，的中点，点F在棱上，，则三棱锥的体积为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：解答过程：分别是的中点，因此，相似比为，面积比为相似比的平方，即.由得，和都在直线上，因此两点到平面的高之比等于.三棱锥即，原三棱锥即，体积比为.已知，因此.8.在中，，，则面积的最大值为（）A.4 B. C.2 D.答案：D解析：思路：先用正切和角公式将条件化简，设未知数利用化简后的正切乘积为3表示面积，最后根据二次函数求出最值.解答过程：在中，，故.整理得.结合题设，且，两边约去得：.设边上的高为，垂足为，令，则（），于是，，代入得，该二次函数开口向下，对称轴为，当时，，即.的面积，故面积最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称．C.在上单调递减D.将函数图象上的所有点向右平移个单位，就可得到的图象答案：ABC解析：思路：对A，由周期计算公式计算；对B，通过代入验证；对C，由范围得范围，结合余弦函数单调区间判断；对D，化简平移变换得到的解析式判断.解答过程：对于A：，A正确；对于B：因为，所以的图象关于直线对称，B正确；对于C：由，得，因为在单调递减，所以在单调递减，C正确；对于D：将图象上所有点向右平移个单位，得到，D错误.10.已知，，为平面内的单位向量，若，不共线，，，则（）A. B. C. D.答案：BC解析：解答过程：选项A：设，，，由得，由得；由得，由得，异号时，二者共线不符合题干要求，因此同号，若，则，即，A错误；，D错误.时，总有，，则，B正确；，则，C正确；11.已知正四面体的棱长为2，P，Q分别为棱，上的点，且，过且平行于的平面记为，则（）A.P为的中点B.存在C.直线与平面所成的最大角的正弦值为D.该正四面体的表面被截得的图形周长的最小值为4答案：ACD解析：思路：建立空间直角坐标系，利用参数向量表示点坐标，结合向量垂直的数量积条件判定选项A；再通过向量点积求解满足的参数范围，验证选项B；利用线面角向量公式结合二次函数最值，求得线面角正弦最大值以判断选项C；根据线面平行性质确定截面形状，构造周长函数，通过导数求函数最小值判断选项D.解答过程：以为坐标原点，在平面内过作的垂线为轴，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系.由正四面体棱长为，得，，；底面的重心为，正四面体的高，故.对于A：设，，，则，，，，由得，代入化简得，解得，即为的中点，故A正确.对于B：当时，，，又，若，则，解得，故不存在满足条件的，B错误.对于C：平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，又因为，当时取得最小值，故的最大值为，C正确.对于D：平面，在面内过作交于，在面内过作交于，则截面为等腰梯形.由为中点得为中点，；由得，腰长，故截面周长，.令，求导得，令，即，两边平方整理得，解得或.当时，单调递减，当时，单调递增，故为极小值点也是最小值点，代入得.又端点处，，均大于，故截面周长的最小值为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆锥的母线长为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为________．答案：解析：解答过程：设圆锥母线长，半径为，高为，因为侧面展开图是半径为的半圆，半圆的弧长等于圆锥底面圆周长，所以，即，得，所以.13.有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河，小船航行速度的大小为，方向为北偏西，受河水速度的影响，小船实际航行速度为正北方向，则河水速度为向东________．答案：8解析：思路：将小船静水速度正交分解，利用实际航向正北、东西向合速度为的条件，由船速西向分速度直接得到向东的水流速度大小.解答过程：小船本身航行速度大小为，方向北偏西，将其分解为东西、南北分量,东西方向的速度分量的大小为，方向向西，小船实际航行方向为正北，说明东西方向合速度为.设河水向东的速度为，根据速度合成：,即

所以。即河水速度向东为.14.已知函数的一个零点为，且在上单调递减，则方程在上所有根的和为________．答案：解析：思路：先由零点条件求出，再根据单调性锁定；解含绝对值的三角方程时，分和两种情况讨论，得到或，最后在给定区间内找出所有根并求和.解答过程：已知函数的一个零点为，将代入得，即，又在单调递减，正弦函数单调区间长度不超过半个周期，则π−π2=取，验证单调性，此时，当时，，该区间是正弦函数单调递减区间的子区间，符合条件，取，验证单调性，此时，当时，，该区间不是正弦函数单调递减区间的子区间，不符合条件，取，不符合条件，综上，，此时，令，则，当时，有，即当，则，或；当时，有，即当，则，即方程在上所有根的和为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在平面四边形中，，，N为线段上一点，且．（1）用，表示，；（2）若，，，证明：．答案：（1），（2）因为，所以，可得，所以．解析：（1）因为，所以，因为，所以，所以（2）略.16.如图，在四棱柱中，侧面是矩形，底面是菱形，，M，N分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面．答案：（1）取的中点，连接，，因为N，K分别为，的中点，所以，因为是四棱柱，所以，可得，所以四边形为平行四边形，所以，因为底面ABCD是菱形，所以，因为M，K分别为CD，AB的中点，可得，所以四边形为平行四边形，所以，可得，又因为平面平面，所以平面．（2）因为底面ABCD是菱形，，所以为等边三角形，因为M为CD的中点，所以，又因为，所以，因为侧面是矩形，所以，且，所以平面，因为平面，所以平面平面．解析：思路：（1）通过证明平行四边形得到线线平行，再由线面平行判定定理证明；（2）先证明线面垂直，再由面面垂直判定定理得证.（1）略（2）略17.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求在上的最值；（3）若，且，求的值．答案：（1）（2）最大值2；最小值（3）解析：思路：（1）首先化简得，再令求单调递增区间即可；（2）利用整体法求最值即可；（3）由题可得，再由，结合正弦和角公式求解．（1），由，解得，所以的单调递增区间为．（2）因为，所以，当即时，取最大值2；当即时，取最小值．（3）由，可得，因为，所以，可得，因此．18.如图，菱形的边长为2，，将沿翻折至，分别为的中点．（1）若．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求直线与所成角的正切值；（2）若三棱锥的各顶点都在球的球面上，球的表面积为，求．答案：（1）（ⅰ）由题意知，和均为等边三角形，且为的中点，所以，因为菱形的边长为2，所以，因为，所以，可得，又因为，所以平面，因为平面，所以；（ⅱ）（2）解析：思路：(1)（i）根据线面垂直平面,推导出线线垂直即可.（ii）作出与所成角的平面角，然后利用平面几何的知识求解即可.(2)利用三棱锥外接球的性质作出外接球的球心位置，然后利用平面几何知识找出外接球半径与其他棱长的关系即可求解.（1）（i）略．（ii）取的中点，连接，因为分别是的中点，所以，可得与所成角的大小等于与所成角的大小，由（i）知平面，所以平面，因为平面，所以，可得为直角三角形，所以，因为，Q为EB的中点，所以，在中，因为，所以，可得，所以，因此直线PE与AF所成角的正切值为．（2）设球的半径为，则，解得，由（1）知平面，所以平面平面，平面平面，因为平面平面，平面平面，故在平面内，过等边三角形和的中心分别作垂直于和的直线，则平面，平面，可得的交点即为球心，连接，设的中心为，则，因为，解得，在中，因为，所以，可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以．19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）已知，，点P在线段上，设，．（ⅰ）若，求；（ⅱ）求为何值时，取得最小值．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求；（2）（i）先根据求，再利用正弦定理