江西省上饶市民校考试联盟2026届高三上册阶段测试（二）数学试卷-含答案

数学考试时间：120分钟试卷满分：150分第I卷（选择题共60分）一、单选题1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.设等差数列的前项和为，已知，则（）A.530 B.430 C.265 D.2153.在中，，若，则实数的值为（）A. B. C. D.4.已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.5.直线与圆相切，则的值是（）A.或12 B.2或12 C.或 D.2或6.2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（）（参考数值：，结果精确到kg）A. B. C. D.7.已知正数m，n满足，则的最小值为（）A.24 B.18 C.16 D.128.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题9.已知事件，且，则下列结论正确的是（）A.如果，那么B.如果与互斥，那么C.如果与相互独立，那么D.如果与相互独立，那么10.已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上两动点，下列说法正确的是（）A.的方程为：B.若轴，则C.若直线AB的斜率为1，则D.以为直径的圆与相切或相交11.如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的是（）A.若是正方体表面上的动点，且，则长度的最大值为3B.四面体的体积为C.平面截正方体所得截面的面积为D.平面第II卷（非选择题，共90分）三、填空题12.二项式的展开式中的常数项为______________（用数字作答）.13.在中，若，则_________.14.已知函数.若为偶函数，的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到函数的图象，则__________.四、解答题15.如图，矩形所在的平面，点是的中点，点是线段上的一动点，且.（1）若，证明：；（2）当时，求平面和平面夹角的余弦值.16.在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求a；（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.17.已知数列满足，，设.若对于任意且，都有.（1）求的值；（2）求数列的通项公式.（3）求证：.18.设，两个点的坐标分别为，．动点P满足，其中O为坐标原点．记动点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点．（ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程；（ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列．19.已知函数．（1）若，求函数的最值；（2）若函数与都存在极值，且极值相等，求实数a的值；（3）若函数有两个不同的极值点，且，求证：．

数学考试时间：120分钟试卷满分：150分第I卷（选择题共60分）一、单选题1.已知集合，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：求解一元二次不等式，再根据交集的定义运算即可.解答过程：由得，则，则.故选：A2.设等差数列的前项和为，已知，则（）A.530 B.430 C.265 D.215答案：C解析：思路：根据下标和性质得到，再由等差数列求和公式计算可得.解答过程：因为数列为等差数列且，所以，所以.故选：C3.在中，，若，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用向量的线性运算，结合，化简得到，对照题设即得的值.解答过程：因为，可得，所以，又因为，所以.故选：D.4.已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：转化为根据集合的包含关系求参数的取值范围问题求解.解答过程：设集合，，由题意可知，∴，∴.故选：D5.直线与圆相切，则的值是（）A.或12 B.2或12 C.或 D.2或答案：B解析：思路：利用点到直线的距离公式可得，求解即可.解答过程：由圆，可得圆心，半径，由直线与圆相切，所以，所以，解得或.故选：B.6.2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（）（参考数值：，结果精确到kg）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据已知条件列方程，化简求得正确答案.解答过程：根据题意，，令，则，所以，则，即所以.故选：B7.已知正数m，n满足，则的最小值为（）A.24 B.18 C.16 D.12答案：A解析：思路：由条件可得，则，由均值不等式可得答案.解答过程：由正数m，n满足，即，所以所以当且仅当,即时，取得等号.故选：A方法提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.8.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：，只需求出与的公切线斜率，再结合图象分析即可.解答过程：设，则，设与的公切线的切点分别为，则切线方程为，即，，即，所以①，②，由①式可得，代入②式可得，即，解得或，所以公切线的斜率为1或，由图可得.故选：.二、多选题9.已知事件，且，则下列结论正确的是（）A.如果，那么B.如果与互斥，那么C.如果与相互独立，那么D.如果与相互独立，那么答案：ABD解析：思路：对A根据包含事件的定义可得，对B根据互斥事件的定义及概率的加法公式可得，对C、D则根据相互独立事件的定义及公式可得.解答过程：对A选项：由，所以，，因此，，故A正确；对B选项：若与互斥，因此是不可能事件，所以，再由概率的加法公式，故B正确；对C选项：若与相互独立，则与也相互独立，.因表示“A不发生且B不发生”，即，且与也相互独立，所以，故C错误；对D选项：因与相互独立，所以，再由概率的加法公式，故D正确.故选：ABD.10.已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上两动点，下列说法正确的是（）A.的方程为：B.若轴，则C.若直线AB的斜率为1，则D.以为直径的圆与相切或相交答案：BC解析：思路：根据抛物线的定义，结合点差法、直线与圆的位置关系逐一判断即可.解答过程：因为抛物线，所以准线的方程为：错误．轴，，则，B正确．因为，又因为，两式作差可得：，即，C正确．以为直径的圆，圆心为，半径为，则圆心到的距离为，因为，所以，该圆与相切或相离，D错误，故选：BC．11.如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的是（）A.若是正方体表面上的动点，且，则长度的最大值为3B.四面体的体积为C.平面截正方体所得截面的面积为D.平面答案：ACD解析：思路：A取的中点，连接，根据已知证明平面，进而确定点的轨迹是矩形（点除外）判断；B在四边形中，取的中点，连接，过点作于，且交于点，过作且交于点，利用线面垂直的性质及判断找到棱锥的高，结合相关线段长及棱锥的体积公式求体积；C分别取的中点，连接，，根据平面的基本性质确定截面，再求面积即可；D利用线面垂直的性质和判断证明即可.解答过程：对于A，取的中点，连接.因为，所以，所以四边形是平行四边形，易得，所以，所以，所以.因为平面平面，所以.又平面，所以平面.而，则平面，所以点的轨迹是矩形（点除外）.当与重合时，的长度最大，且最大值为，故A正确；对于B，在四边形中，取的中点，连接，过点作于，且交于点，过作且交于点.因为，，所以.而.因为平面平面，所以.又平面，所以平面.所以点到平面即平面的距离为，所以，故B错误；对于C，分别取的中点，连接，，平面截正方体所得截面即为正六边形，其面积为，故C正确；对于D，平面，平面，则，而，由都在平面内，则平面，平面，所以，同理.又且都在平面内，所以平面，即平面，故D正确.故选：ACD第II卷（非选择题，共90分）三、填空题12.二项式的展开式中的常数项为______________（用数字作答）.答案：解析：思路：先求出展开式的通项，再按照展开式的次数为-2与0两种情况分类即可求出.解答过程：因为展开式的通项为，令，得，则对应的项为，令，得，则对应的项为.故二项式的展开式中的常数项为.故答案为：13.在中，若，则_________.答案：解析：思路：先利用正弦定理把角化成边，再运用余弦定理即可求出.解答过程：因为，由正弦定理得，，（为外接圆半径），代入条件得：，两边约去后整理得，即，由余弦定理，代入得，因为，故.故答案为：.14.已知函数.若为偶函数，的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到函数的图象，则__________.答案：0解析：思路：根据题意得到函数的最小正周期和对称轴，求出，，得到，利用伸缩变换和平移变换得到，代入求解即可.解答过程：由的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可以得到函数的最小正周期.由为偶函数，可得的图象关于直线对称，所以，解得，因为，所以，则，将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的，得到，再向左平移个单位得到函数，所以.故答案为：.四、解答题15.如图，矩形所在的平面，点是的中点，点是线段上的一动点，且.（1）若，证明：；（2）当时，求平面和平面夹角的余弦值.答案：（1）证明：因为矩形所在的平面，平面，所以，则以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，则，因为是的中点，所以，设，则，所以，由，得，得，即是的中点，所以；（2）解析：思路：（1）以为原点建系，设，根据即可求证；（2）计算两个平面的法向量，计算法向量夹角即可.（1）略（2）因为，所以，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，易得平面的法向量为，则，所以平面和平面夹角的余弦值为.16.在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求a；（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可；（2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可；（3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可.（1）因为，由正弦定理得，即，因为在中，，所以，又，所以.（2）因为，，，所以，解得.由余弦定理得.（3）因为，，结合正弦定理，得，所以，.在中，,所以.因为为锐角三角形，所以，所以，则，所以，所以.17.已知数列满足，，设.若对于任意且，都有.（1）求的值；（2）求数列的通项公式.（3）求证：.答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）由递推式求得，进而由题意得到关于的方程，再检验得到的的值;（2）利用构造法证得为等差数列，从而得解；（3）利用（2）中结论求得，再利用分组求和法与裂项求和法即可得证.（1）由题知数列是等差数列，则，，，，，由可得：，，，，解得：.（2）由（1）知：，，，则等差数列公差为，数列是以为首项，为公差的等差数列，，；（3）证明：由（1）、（2）知，，，.18.设，两个点的坐标分别为，．动点P满足，其中O为坐标原点．记动点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点．（ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程；（ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列．答案：（1）点P的轨迹为椭圆，且其方程为．（2）（ⅰ）；（ⅱ）又因为，，故．联立，故，故，故，，成等差数列．解析：思路：（1）利用椭圆的定义即可求得，进而求解；（2）将直线方程与椭圆方程结合，由韦达定理得，（ⅰ）利用中点坐标公式求出点的坐标，进而得直线方程；（ⅱ）利用斜率公式表