辽宁省辽阳市2025-2026学年高一下册7月学情评估数学试卷-含答案

数学考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.角的终边所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若复数满足，则复数为（）A. B. C. D.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，且，，则C.若，，，则 D.若，，，则5.已知向量，满足，，，则（）A. B. C.8 D.126.在中，，，边，的夹角为，且，则（）A. B. C. D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.已知正三棱台，上底面正三角形边长为2，下底面正三角形边长为8，侧棱长为，则此三棱台的体积为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.在中，，，，下列结论正确的有（）A. B. C. D.10.关于函数的叙述中，正确的有（）A.的最小正周期为 B.在区间内单调递增C.的图象关于点对称 D.是偶函数11.在四棱锥中，平面，四边形是正方形，若，则（）A. B.与所成角为C.与平面所成角为 D.与平面所成角的正切值为第Ⅱ卷（主观题）三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分．）12.已知复数，则________．13.已知向量，，若，则的值为________．14.已知等边三角形的边长为2，，（），交于点，且，则________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.已知向量，，，．（1）求向量在上的投影的数量．（2）求向量与的夹角．（3）若，求实数的值．16.在四棱锥中，平面，、分别为、中点，且，．（1）证明：、、、四点共面．（2）求直线与直线夹角正弦值．17.已知函数（），．（1）求的值．（2）求函数的对称中心．（3）求不等式的解集．18.如图，在长方体中，，，为线段的中点．（1）证明：．（2）求二面角的余弦值．（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19.在中，角，，所对的边分别为，，，其面积为,若．（1）求角的大小．（2）若．①为锐角三角形，求面积的取值范围；②的角平分线交于点，求线段长度的最大值．

数学考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.角的终边所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程：，所以所在的象限为第二象限．2.若复数满足，则复数为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据同角的三角函数关系，结合充分条件、必要条件的定义求解即可.解答过程：已知，若，则，所以“”可以推出“”；已知，若，则，所以“”不能推出“”；故“”是“”的充分不必要条件.4.已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，且，，则C.若，，，则 D.若，，，则答案：D解析：解答过程：对于A，若，，则，可能平行、相交或异面，故A错误：对于B，若，则与可能相交或平行，故B错误；对于C，若，则与无公共点，又，，则与平行或异面，故C错误；对于D，由，，可得，又，可得，故D正确．5.已知向量，满足，，，则（）A. B. C.8 D.12答案：A解析：解答过程：，，，又，，，A正确.6.在中，，，边，的夹角为，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：首先求角，再根据余弦定理求边.解答过程：已知，则．由，得，解得．由余弦定理：，．7.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据诱导公式及二倍角公式求解即可.解答过程：.8.已知正三棱台，上底面正三角形边长为2，下底面正三角形边长为8，侧棱长为，则此三棱台的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用侧棱长求出棱台的高，然后利用棱台的体积公式求解即可.解答过程：在正三棱台中，设上底面中心为，下底面中心为，连接，，过作交于,因为，，则，，，又易知平面，所以平面，又易得，所以，则，在直角三角形中，，则，即棱台的高.故，二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.在中，，，，下列结论正确的有（）A. B. C. D.答案：ACD解析：解答过程：A.由余弦定理得，所以，A正确；B.因为，且，所以，B错误：C.由正弦定理得，C正确;D.，D正确．10.关于函数的叙述中，正确的有（）A.的最小正周期为 B.在区间内单调递增C.的图象关于点对称 D.是偶函数答案：ABD解析：解答过程：A.，则的最小正周期为，A正确;B.当时，，又在上为增函数，所以在区间内单调递增，B正确；C.当时，，此时，即的图象关于点对称，C错误；D.，令，则，故是偶函数，D正确.11.在四棱锥中，平面，四边形是正方形，若，则（）A. B.与所成角为C.与平面所成角为 D.与平面所成角的正切值为答案：ACD解析：思路：由平面得，结合正方形对角线，推出平面，从而，即可判断A；因，两直线所成角为，不为，即可判断B；由平面及可证平面，故与平面所成角为，即可判断C；取中点，证明平面，则线面角为，在直角三角形中计算正切值得，即可判断D．解答过程：因为平面，平面，所以．因为四边形是正方形，所以，又，，平面SBD，所以平面SBD，又平面，所以，故选项A正确，选项B错误；因为平面，平面，所以．因为四边形是正方形，所以，又，，平面，所以平面，所以与平面所成角为，因为四边形是正方形，所以，选项C正确；如图，取中点，连接，，因为平面，平面，所以．因为四边形是正方形，所以，又，，平面，所以平面，又因为平面，所以．因为，所以，又，，平面，所以平面，所以与平面所成角为．不妨设，所以，，在中，得，则，故选项D正确．第Ⅱ卷（主观题）三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分．）12.已知复数，则________．答案：解析：思路：利用复数的乘法计算得到，然后利用模长公式求解即可.解答过程：由得，所以．13.已知向量，，若，则的值为________．答案：解析：解答过程：，，．．14.已知等边三角形的边长为2，，（），交于点，且，则________．答案：解析：思路：由得为的重心，再利用即可.解答过程：由，知此时为的重心，所以，分别是和的中点，所以.因为是边长为2的等边三角形，所以.所以．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.已知向量，，，．（1）求向量在上的投影的数量．（2）求向量与的夹角．（3）若，求实数的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用投影向量的公式求解即可；（2）求出，利用向量夹角的坐标运算公式求解即可；（3）由向量垂直公式即可求解.（1）向量在上的投影的数量为；（2）由，，则，，所以，，；（3）由，，可得，由（2）得，所以，解得．16.在四棱锥中，平面，、分别为、中点，且，．（1）证明：、、、四点共面．（2）求直线与直线夹角正弦值．答案：（1）证明：因为面，面，面面，所以，又因为，分别为，中点，则，所以，所以四点共面．（2）解析：思路：（1）根据平行性质可证，即可得四点共面；（2）先通过平移将直线与直线放到一个三角形中去，再求直线与直线夹角的余弦值，最后由求正弦值.（1）略（2）连接，因为，由（1）知，则四边形为平行四边形，所以，．因此直线与直线夹角即为与直线夹角，在中，，，，由余弦定理得，则，所以直线与直线夹角正弦值为.17.已知函数（），．（1）求的值．（2）求函数的对称中心．（3）求不等式的解集．答案：（1）（2）（3）解析：（1），，，.（2）由得，的对称中心是.（3）由得：，解得：，的解集是.18.如图，在长方体中，，，为线段的中点．（1）证明：．（2）求二面角的余弦值．（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）连接，交于，因为是线段的中点，所以，所以因为与均为直角三角形，所以，即，所以，所以，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）（3）存在，解析：思路：（1）通过相似三角形证明，结合线面垂直性质得到，利用线面垂直判定定理证得平面，进而推出.（2）依据二面角平面角定义锁定为所求平面角，借助相似三角形、勾股定理求出对应边长，再利用余弦定理计算平面角余弦值.（3）结合的结论，只需在上找点满足即可使平面，通过相似直角三角形对应边成比例求得线段比值.（1）略（2）连接，，连接，因为平面，平面，所以，由（1）知，因为平面，平面，故即为二面角的平面角，因为，所以，因为，，，所以，即，所以，，因为平面，平面，所以，所以，，所以，，所以，即二面角的余弦值为．（3）由（1）知，，因为平面，平面，所以，故在中作斜边上的高，交线段于点，即有，又因为，，平面，所以平面，此时的点即为所求，因为，故，即，故，所以线段上存在点，此时19.在中，角，，所对的边分别为，，，其面积为,若．（1）求角的大小．（2）若．①为锐角三角形，求面积的取值范围；②的角平分线交于点，求线段长度的最大值．答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）利用三角形面积公式和余弦定理将题设等式化简，借助于特殊角的三角函数即得；（2）①由正弦定理将边表示成关于的三角函数，借助于三角形面积公式与三角恒等变换将面积表示成正弦