辽宁省七校协作体2025-2026学年高一下册6月练习数学试卷-含答案

数学考试时间：120分钟满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.（）A. B. C. D.2.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（）A.四棱台 B.四棱锥 C.四棱柱 D.三棱柱3.已知向量，，且，则t=（）A. B. C. D.24.已知分别为的三个内角的对边，若，则角（）A.或 B. C. D.5.将函数的图象向右平移（φ>0）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（）A. B. C. D.6.如图扇形，圆心角，D为半径中点，把扇形分成三部分，这三部分绕AC旋转一周，所得三部分旋转体的体积之比是（）A.1:2:2 B. C. D.7.已知函数，若方程的解为，则（）A. B. C. D.8.已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，为复数，则下列选项一定正确的是（）A. B.C. D.10.两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（）A.12 B. C.10 D.11.已知函数，则下列说法正确的有（）A.B.的值域为C.在上单调递减D.图象的对称轴为直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______．13.如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得∠ACD=60°，，，∠ADB=30°，，则______.14.在锐角三角形中，角的对边分别是，若的面积S=a24，则tanAtanBtanC四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为10cm和，高.（1）求四棱台的表面积；（2）若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比.16.在中，内角，，所对的边分别为，b，c，已知，．（1）若，求的面积；（2）若，求和c的值；17.已知函数.（1）若，求及的单调递增区间；（2）已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期.18.已知的内角的对边为，且（1）求;（2）若的面积为①已知E为的中点，且，求底边上中线的长;②求内角的角平分线长的最大值.19.由平面内夹角为60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”，如图所示．设向量分别为数轴Ox，Oy正方向上的单位向量，对于该平面内的向量，若，则实数对称为向量的“完美坐标”．（1）已知向量，的“完美坐标”分别为，，判断命题“的充要条件是x1x2+y1y2（2）已知向量，的“完美坐标”分别为，，设函数．①若存在，使不等式成立，求实数k的取值范围；②若函数在区间内恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

数学考试时间：120分钟满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：.2.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（）A.四棱台 B.四棱锥 C.四棱柱 D.三棱柱答案：C解析：思路：根据几何体结构特征直接判断即可.解答过程：记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示，由三棱锥性质可知，和是全等的梯形，又平面平面，平面分别与平面和相交于，所以，同理，又AA1//所以盛水部分的几何体是四棱柱.故选：C3.已知向量，，且，则t=（）A. B. C. D.2答案：C解析：解答过程：依题意可知，解得.4.已知分别为的三个内角的对边，若，则角（）A.或 B. C. D.答案：D解析：解答过程：在中，，由正弦定理得，由，得A>B，所以.5.将函数的图象向右平移（φ>0）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用两角差的余弦公式化简，再由诱导公式及图象平移即可得解.解答过程：因为，，所以把f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，则的最小值为，故选：B．6.如图扇形，圆心角，D为半径中点，把扇形分成三部分，这三部分绕AC旋转一周，所得三部分旋转体的体积之比是（）A.1:2:2 B. C. D.答案：D解析：思路：根据旋转体的概念结合圆锥以及球的体积公式，分别求得的值，即可得答案.解答过程：由题意，不妨设扇形的半径为2，则，，，故，故选：D7.已知函数，若方程的解为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：画出在上的图象，考虑直线与其交点，从而可得的值，故可得的值.解答过程：在上的图象如图所示：令，则，令，故,即.由图可得，故，故选：A.8.已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可.解答过程：因为是单位向量，且的夹角为，所以，又，所以，又θ∈[0,π]，所以，所以.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，为复数，则下列选项一定正确的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：设，利用复数的运算结合共轭复数逐一验证即可求解.解答过程：设，由，所以，，所以，故A正确；由，，所以不一定成立，故B错误；由，，所以，故C正确；由，，所以不一定成立，故D错误.10.两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（）A.12 B. C.10 D.答案：BCD解析：思路：根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解.解答过程：记两直三棱柱为直三棱柱ABC−DEF和直三棱柱，如图所示：

当拼成三棱柱时有三种情况，第一种情况：表面积为；第二种情况：表面积为；第三种情况：表面积为.故B，C，D正确，A错误.11.已知函数，则下列说法正确的有（）A.B.的值域为C.在上单调递减D.图象的对称轴为直线答案：ABC解析：思路：根据题意，利用特殊角的三角函数值，求得，可判定A正确；化简函数的解析式，画出函数的图象，结合图象，可判定B、C正确，D错误.解答过程：由函数，对于A，由，所以A正确；对于B，当时，；当时，，所以，画出函数的图象，如图所示，则函数的值域为，故B正确；对于C，当时，可得，此时在上单调递减，所以C正确；对于D，由函数图象，可得的对称轴为，所以D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______．答案：解析：思路：设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出球的半径，再求球的表面积．解答过程：因为AB2+AC2=BC设该球的半径为，则，即，解得，所以该球的表面积是.13.如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得∠ACD=60°，，，∠ADB=30°，，则______.答案：解析：思路：在，△BCD，中，分别用正弦定理及余弦定理计算求解.解答过程：因为∠ACD=60°，，则∠CAD=45°，因为，，∠ADB=30°则在中，由正弦定理可得，则．在△BCD中，由正弦定理可得，则．在中，由余弦定理可得，故.14.在锐角三角形中，角的对边分别是，若的面积S=a24，则tanAtanBtanC答案：解析：思路：根据条件，利用三角形面积公式及正弦定理得到2sinBsinC=sinA，利用正弦的和角公式及商数关系，得到tanB+tanC=2tanB解答过程：因为的面积S=12bcsinA=又A,B,C∈0,π2，则所以2sinB又sinA=sinB+C=sin则2=sinBcosC+则tanAtan令m=tanBtanC>0因为A,B,C∈0,π2，则tanA>0,则tanAtan当且仅当2m−1=2m−1，即所以tanAtanBtan四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高.（1）求四棱台的表面积；（2）若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比.答案：（1）（2）解析：思路：（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积；（2）最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可得到削去部分，从而得到体积之比；（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取中点，连接，过点作，交于点.则，所以，所以四棱台的表面积.（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高.则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，高，则圆台的体积为．又正四棱台的体积，所以削去部分的体积，所以削去部分与圆台的体积之比为；16.在中，内角，，所对的边分别为，b，c，已知，．（1）若，求的面积；（2）若，求和c的值；答案：（1）（2）；解析：思路：（1）由余弦定理可得，再利用平方关系得，结合三角形面积公式求解.（2）结合正弦定理和，可得，从而求得的值.利用余弦定理，可得c的值，最后检验是否符合题意.（1）已知，，，由余弦定理得：因为A∈0,π的面积（2）由正弦定理，且，，代入得，约去（），解得．则．由余弦定理a2=b2+c2得：，整理得，解得或．当时，，则A=C，，即，此时，矛盾，舍去；当时，，符合题意；故．17.已知函数.（1）若，求及的单调递增区间；（2）已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期.答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据三角恒等变换对进行化简，结合正弦型三角函数的性质求解即可.（2）结合在区间上单调递增及正弦型三角函数的性质可得，结合可得，联立可得ω=1，进而求周期即可.（1）因为，当时，，则.令，解得，所以的单调递增区间为；（2）因为x∈0,π因为在区间上单调递增，且，y=sint在区间上单调递增，所以，解得.又，在区间上单调递增，所以曲线关于对称，且点在曲线的递增部分上，则，又在处单调递增，所以，解得，又，所以ω=1，则，所以的最小正周期为2π2=18.已知的内角的对边为，且（1）求;（2）若的面积为①已知E为的中点，且，求底边上中线的长;②求内角的角平分线长的最大值.答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可.（2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可.（1）由正弦定理得，即，故，因为，所以，所以.（2）①由（1）知，因为的面积为，所以，解得，且，解得，由于，所以，所以，即.②因为为角的角平分线，所以，由于，得到，由于，所以，由二倍角公式得，则，解得，又，所以，由于，当且仅当时，等号取得到，故，故.19.由平面内夹角为60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”，如图所示．设向量分别为数轴Ox，Oy正方向上的单位向量，对于该平面内的向量，若，则实数对称为向量的“完美坐标”．（1）已知向量，的“完美坐标”分别为，，判断命题“的充要条件是x1x2+y1y2（2）已知向量，的“完美坐标”分别为，，设函数．①若存在，使不等式成立，求实数k的取值范围；②若函数在区间内恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．答案：（1）不正确，证明见解析（2）①②解析：思路：（1）由，可得，运算可知不正确；如图①利用（1）的公式计算f(x)，设，求出，将转化成有解，结合函数的单调性即可求得的最大值，即可得出结果；②化简Fx，换元后得，原函数零点问题，转化为方程与的根的个数问题，数形结合求解.（1）不正确

证明：因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，所以，，因为，所以，即，则有，所以“”的充要条件是“”，所以“”的充要条件是“x1x2+（2）因为向量，