辽宁省沈阳市重点高中五校联考2025-2026学年高一下册期末调研数学试卷-含答案

数学试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1－11题58分）第二部分：非选择题型（12－19题92分）第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，，若，则的值是（）A. B. C.-3 D.32.已知复数，则（）A.4 B. C.2 D.3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（）．A. B.或 C. D.或4.设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（

）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则5.若，则（）.A. B. C. D.6.如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（）A. B. C. D.7.在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（）A. B. C. D.8.三棱柱中，是棱上靠近的三等分点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论中正确的是（）A.若，则或B.若，则C.若复数满足，则的最大值为3D.若（，），则10.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A.的图像关于点对称B.的图像关于直线对称C.将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是11.已知正四棱柱中，，则（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.直线与平面所成角的余弦值为C.三棱锥的外接球的半径为D.三棱锥的内切球的半径为第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量、满足，，，则_______．13.已知函数的一个零点是，则的最小值是_______．14.圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根.（1）设、满足方程，求，；（2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.16.已知正四棱柱中，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）在线段上是否存在点P，当时，平面面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由．17.已知函数．（1）若，函数为偶函数，求的最小值；（2）若在上恰有4个零点，求的取值范围；（3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．18.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，．（1）求角B；（2）若M是△ABC内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；（3）若D是△ABC中AC上的一点，且满足，求的取值范围．19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，，分别是棱，上的点（含端点）．（1）证明：平面；（2）若为棱的中点，且二面角的正切值为，求；（3）设点是边上的点（含端点），（i）连接，求与面所成角的正弦值的取值范围（直接写结果）；（ii）求的最小值．

数学试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1－11题58分）第二部分：非选择题型（12－19题92分）第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，，若，则的值是（）A. B. C.-3 D.3答案：A解析：思路：利用向量数量积的坐标运算可求解.解答过程：因为，所以，又因为，，所以，解得.故选：A.2.已知复数，则（）A.4 B. C.2 D.答案：B解析：思路：利用复数的除法运算先计算，进而得，最后求复数的模即可.解答过程：由题意有：，所以，所以，故选：B.3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（）．A. B.或 C. D.或答案：D解析：思路：根据题意利用正弦定理求解即可解答过程：由正弦定理可得：，解得，因为，所以，所以或.故选：D4.设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（

）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则答案：B解析：思路：利用线面垂直的性质推理判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；利用线线、面面平行关系判断C；利用面面垂直及线面平行关系判断D.解答过程：对于A，由，，得，而，则，A错误；对于B，由，得存在过的平面且与不重合，则，由，得存在过的平面，则，又，因此，又，则，B正确；对于C，由，，，得与相交或平行，C错误；对于D，由，，，得与相交、平行或异面，D错误.故选：B5.若，则（）.A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据诱导公式、两角和的余弦公式、二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可.解答过程：可得.因为所以.6.如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：取中点，连接，求出的取值范围，再根据结合数量积的运算律求解即可.解答过程：取中点，连接，因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上，所以当在点或点时，取得最大值，当在弧中点时，取得最小值，的取值范围为，又因为，，，所以，因为的取值范围为，所以的取值范围为，的取值范围为，故选：B7.在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用余弦定理和正弦定理化简已知条件，再结合三角函数性质求三角形周长的取值范围.解答过程：由余弦定理可得，由正弦定理可得，，得到，

所以，化简可得，即，又因为为锐角三角形，得​，，已知，由正弦定理可得​，则，而，所以，，因为是锐角三角形，所以，解得，则，，所以，所以.8.三棱柱中，是棱上靠近的三等分点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：连接交于点，连接，根据得出，可求出的值，利用线面平行的性质得出，可得出，即可得出的值.解答过程：连接交于点，连接，在三棱柱中，，所以，，所以，所以，故，因为平面，平面，平面平面，所以，故，故.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论中正确的是（）A.若，则或B.若，则C.若复数满足，则的最大值为3D.若（，），则答案：BC解析：思路：对于A：令，由此即可验证；对于B：由模长公式以及复数乘法即可验证；对于C：由复数的几何意义即可验证；对于D：令即可验证.解答过程：对于A：令，所以由复数模长公式有，但这与或矛盾，故A选项不符合题意；对于B：令，所以，所以，且，所以，故B选项符合题意；对于C：令，若复数满足，则有（其中），所以，所以，所以，即当且仅当即当且仅当时，有最大值为3，故C选项符合题意；对于D：令可知，但这与矛盾，故D选项不符合题意.故选：BC．10.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A.的图像关于点对称B.的图像关于直线对称C.将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是答案：BCD解析：思路：根据图中的信息求出，再根据正弦函数的性质逐项分析.解答过程：由图可知：，的周期，当时，，，；对于A，，错误；对于B，，正确；对于C，将向右平移：，正确；对于D，的大致图像如下：欲使得在内方程有2个不相等的实数根，则，正确；故选：BCD.11.已知正四棱柱中，，则（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.直线与平面所成角的余弦值为C.三棱锥的外接球的半径为D.三棱锥的内切球的半径为答案：AD解析：思路：先利用线线平行的传递性求得为异面直线与所成角，再在中利用余弦定理即可得解判断A，根据线面角的定义证明为直线与平面所成角，解三角形求其余弦即可判断B，对于C，结合条件可得等价于求正四棱柱的外接球半径，结合长方体性质可求半径，由此即可判断，对于D，由条件结合内切球性质求半径即可判断.解答过程：对于A，因为在正四棱柱中，，所以四边形是平行四边形，则，所以为异面直线与所成角，

由已知，四边形为正方形，，平面，在中，，，则，由余弦定理得，A正确；对于B，因为平面，所以为直线与平面所成角，在中，，，，所以，即直线与平面所成角的余弦值为，B错误；三棱锥的外接球也是正四棱柱的外接球，正四棱柱的外接球的半径为，C错误，设三棱锥的内切球半径为，三棱锥的表面积为，体积为，则，由，，所以，所以，D正确.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量、满足，，，则_______．答案：解析：思路：由及平面向量数量积的坐标运算可求出，再利用平面向量数量积的运算性质可求出的值.解答过程：因为，所以，即，因为，，则，解得，故.13.已知函数的一个零点是，则的最小值是_______．答案：解析：解答过程：函数的一个零点是，所以，，所以由余弦函数性质可知，或，解得或，所以.14.圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________．答案：解析：思路：由圆锥侧面展开图的弧度确定圆锥的母线，进而可求锥体和柱体的高，以此分别求体积后相减即可.解答过程：设圆锥的母线长为l，由题意得底面圆的半径，则，可得，即母线，所以圆锥的高，因为是的中点，由三角形相似易得挖去圆柱的底面半径为1，且圆柱的高，则该圆柱的体积为，圆锥的体积为，则剩下几何体的体积．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根.（1）设、满足方程，求，；（2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.答案：（1），（2）解析：思路：（1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数，设，则，再利用方程求解；（2）利用复数的几何意义表示向量，再根据向量与的夹角为钝角，最后利用向量的数量积求出实数的取值范围.（1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数，设，则，那么代入可得，即，则有，故.（2）设，则，故与，那么，，由于向量与的夹角为钝角，那么且向量与不共线，则解得且，故实数的取值范围为.16.已知正四棱柱中，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）在线段上是否存在点P，当时，平面面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由．答案：(1)记和相交于点，因为为正方形，所以为的中点.又M是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.(2)证明：因为为正方形，所以.因为平面，平面，所以.又，在平面内，且相交于点，所以平面.又平面，所以.(3)在线段上存在点P，当时，平面平面.解析：思路：(1)利用线面平行的判定定理证明平面；(2)利用线面垂直的判定定理证明平面，则有；(3)先确定的值，再根据面面平行的判定定理证明两平面平行.解答过程：因为四棱柱是正四棱柱，所以底面为正方形，侧棱垂直底面，侧面均为矩形.(1)略(2)略(3)在线段上存在点P，当，即时，平面面.理由如下：当时，为的中点.取的中点，连接，，则有.连接，因为四边形是矩形，M是的中点，是的中点，所以，.在正方形中，有，，.所以，，四边形为平行四边形.有，又，所以，又平面，平面，所以平面.同理可证：平面.又，在平面内，且相交于点，所以平面平面.17.已知函数．（1）若，函数为偶函数，求的最小值；（2）若在上恰有4个零点，求的取值范围；（3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）化简可得，根据为偶函数，可得，可求的最小值；（2）由题意可得，在上恰有4个零点，可得，求解即可；（3）由题意可得，令，不等式对任意的恒成立，可得，计算可求的取值范围.（1），则．因为为偶函数，所以，解得，所以的最小值为．（2）令，得．由，得，因为在上恰有4个零点，所以，得，故的取值范围为．（3）不等式，即为，得．当时，不等式恒成立，符合题意．当时，函数可看成关于的一次函数，则依题意得，即，因为，，所以，解得且．综上，，则，即，故的取值范围为．方法提示：方法点睛：恒成立问题，通常是通过转化成求函数的最值解决问题，本题转化成一次函数恒成立问题，只需满足在端点处的函数值大于等于0即可.18.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，．（1）求角B；（2）若M是△ABC内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；（3）若D是△ABC中AC上的一点，且满足，求的取值范围．答案：（1）（2）当且仅当时等号成立，；（3）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变形即可求解，或者先利用余弦定理可得，再利用正弦定理边化角即可求解；（2）先利用向量的线性运算将用△的边长表示出来，再利用余弦定理以及基本不等式即可求解；（3）由可知BD平分∠ABC，利用三角形面积公式可得，最后利用正弦定理及三角恒等变形即可求解.（1）法1：∵，∴，由正弦定理得,即，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴；法2：∵，∴，∴①，在△ABC中，由余弦定理得，②，由①②得，即∴由正弦定理得，又∵，∴，∴，又∵，∴；（2）点是△内一动点，，∴，∴，∴，由余弦定理知,由基本不等式可得，即，，∴，当且仅当时等号成立，∴；（3）∵，∴，∴，又∵余弦函数在上单调，∴，即BD平分∠ABC，又∵，，∴①，又∵，，∴②，由①②可得，所以，又∵