山东省聊城市2025-2026学年高二下册期末教学质量检测数学试卷-含答案

数学满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.随机变量，，则，分别为（）A.2，1.6 B.4，3.2 C.4，6.4 D.8，6.42.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A. B. C. D.3.有件产品，其中件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的个数，则等于（）A. B. C. D.4.已知函数，则（）A. B. C. D.5.4位家长带2个孩子，6人站成一排，要求排头排尾必须是家长，两个孩子必须相邻，则不同站法有（）A.36种 B.72种 C.144种 D.576种6.已知在的展开式中，的系数为，则实数的值为（）A. B. C. D.7.若恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.8.在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，“经过5次摸球停止摸球”的概率是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列线性回归分析与分类变量独立性检验的相关说法中，正确的有（）A.相关系数的绝对值越大，变量线性相关程度越强B.决定系数越大，模型对数据的拟合效果越差C.绘制残差图时，残差点均匀分布的水平带状区域宽度越窄，说明回归模型的预测精度越高D.独立性检验中，随机变量的值越大，作出推断“认为两变量和不独立”犯错误的概率越小10.设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（）A. B.C. D.11.设函数和图象交点的横坐标为，下列说法正确的是()A.若在定义域上不单调，则B.若和有相同的最小值，则C.当时，D.当时，若，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为_______．13.已知函数没有极值点，则________．14.已知某产品在2月份到6月份销量如下表：月份23456销量42536680109设关于的函数，则当取最小值时，的值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某班级学习小组共有9名学生，其中男生5名女生4名，计划参与校园文化节相关活动．（1）活动要求小组至少派1人参与，参与人数不限，每名学生均可选择参与或不参与，请问共有多少种不同的参与方案？（2）若小组9名学生都获得了活动入场资格，现要从9人中随机抽取4人作为活动志愿者．（i）求抽取的4人中女生人数不超过2人的选法种数；（ii）求抽取的4人中至少有1名女生的概率．16.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．17.某学校高二年级开展课外活动兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从艺术类和体育类中选择最喜欢的一类，喜欢艺术类的归为甲组，喜欢体育类的归为乙组．调查发现：甲组成员共人，其中男生人．（1）根据以上数据，完成如下列联表：甲组乙组合计男生女生合计（2）依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢艺术类还是体育类是否与性别有关；（3）从该校全体女生中按照表中分组比例采用分层抽样的方式，抽取人，再从这人中随机抽取人，设抽取的女生中喜欢体育类的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．参考公式：，其中．参考数据：18.已知函数，且．（1）求值；（2）若曲线在点处的切线与曲线有且只有两个公共点，求实数的取值范围．19.信息熵是信息论中的一个重要概念，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小，设随机变量的分布列为，，定义的信息熵．（1）若，，求；（2）若随机变量，求的最大值；（3）证明：．

数学满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.随机变量，，则，分别为（）A.2，1.6 B.4，3.2 C.4，6.4 D.8，6.4答案：C解析：思路：先根据二项分布的期望、方差公式求出和，再结合期望、方差的线性运算性质计算和即可.解答过程：首先明确二项分布的数字特征：若随机变量，则期望，方差,本题中，即；代入得：

，

.因为，根据期望和方差的线性运算性质可得,.2.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．解答过程：由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是负相关，相关系数小于0，图2和图4是正相关，相关系数大于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于1，由此可得．3.有件产品，其中件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的个数，则等于（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：分别算出X=0和X=1时的概率，最后相加即可解答过程：因为，所以.故选：D.4.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用导数的定义，将所求极限转化为函数在处的导数值，计算导数后代入求值即可.解答过程：由求导得

，因.5.4位家长带2个孩子，6人站成一排，要求排头排尾必须是家长，两个孩子必须相邻，则不同站法有（）A.36种 B.72种 C.144种 D.576种答案：C解析：思路：孩子必须相邻用捆绑，因为排头排尾必须是家长，就将捆绑之后的两个孩子插入除首、末位以外的其中一个空位中.解答过程：第一步将两个孩子捆绑在一起，因为他们之间有顺序，所以有种，因为排头和排尾必须是家长，先将家长全排共有种，除掉首、末的空位，总共有3个空位，在3个空位中选一个给捆绑在一起的两个孩子，共种，所以总共有种.6.已知在的展开式中，的系数为，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：直接由多项式的乘法及组合数的性质，分两类计算展开式中总系数为，再结合题中条件可得的值.解答过程：分两类计算的系数：第一类：因式中选，再从的个因式中选个、个，剩余个选，则该项次数为，其中且.令，得，解得可行解或.当：系数为；当：系数为，故第一类对应的系数为.第二类：因式中选，再从的个因式中选个、个，剩余个选，则该项次数为，其中且.令，解得可行解或.：系数为；：系数为，故第二类对应的系数为.综上可得的展开式中的系数为.根据题意列方程：，解得.因此实数的值为.7.若恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：首先利用导数求函数，的最大值，再根据条件转化为恒成立，最后利用参数分离转化为最值问题求解.解答过程：设，，，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，，即恒成立，设，由条件恒成立，得恒成立，即恒成立，设，，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以时，取得最大值，则.8.在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，“经过5次摸球停止摸球”的概率是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设事件：经过3次摸球未能停止摸球，：经过5次摸球停止摸球，发生则一定发生，故，的对立事件是3次取3个编号（全排列），求出，表示：前4次恰好只出现2个编号（且两个编号都至少出现1次），第5次摸到剩下的第3个编号，用组合计数算出，代入条件概率公式求值.解答过程：设事件：经过次摸球未能停止摸球；

事件：经过次摸球停止摸球，“3次摸球停止”等价于前3次恰好取到1、2、3三个编号，即为3个元素全排列，共种情况，

摸3次球的总基本事件数为，

因此3次停止的概率，

则3次未能停止的概率：，5次摸球的总事件数为，选取前4次出现的2个编号有种，前4次仅用这2个编号且均至少出现1次，有效情况数：种（减去全程只出现单个编号的2种极端情况），

第5次必须摸到剩余1个未出现的编号，仅1种情况，

综上，符合条件的总事件数：，

因此事件的概率：，因为真包含于中，所以，

则.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列线性回归分析与分类变量独立性检验的相关说法中，正确的有（）A.相关系数的绝对值越大，变量线性相关程度越强B.决定系数越大，模型对数据的拟合效果越差C.绘制残差图时，残差点均匀分布的水平带状区域宽度越窄，说明回归模型的预测精度越高D.独立性检验中，随机变量的值越大，作出推断“认为两变量和不独立”犯错误的概率越小答案：ACD解析：思路：利用线性回归分析与独立性检验的概念，结合各统计量的实际意义逐一判断选项正误.解答过程：选项A：相关系数的取值范围是，越接近1，说明变量间的线性相关程度越强，因此越大线性相关程度越强，A正确；选项B：决定系数反映回归模型对数据的拟合效果，越大，说明模型能解释的因变量变异占比越高，拟合效果越好，B错误；选项C：残差点均匀分布的水平带状区域宽度越窄，说明残差的波动幅度越小，回归模型的拟合效果越好，预测精度越高，C正确；选项D：独立性检验中，值越大，对应的“两变量独立”的概率越小，因此推断“不独立”时犯错误的概率越小，D正确.10.设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：根据正态密度曲线对称轴的位置得到的大小，即可判断A；根据曲线的“高瘦”与“矮胖”得到

的大小，即可判断B；根据正态分布的概率性质及几何意义，结合大小关系，即可判断C；根据正态曲线的对称性及正态分布的概率性质，分别表示，即可判断D.解答过程：对于A，因为正态密度曲线关于直线

对称，由图可知的对称轴在的对称轴左侧，所以

，故A正确；对于B，因为正态密度曲线越“高瘦”，越小；曲线越“矮胖”，

越大，由图可知的曲线比的曲线更“高瘦”，所以

，故B错误；对于C，因为随机变量，其密度曲线关于对称，所以.因为在

的右侧，所以，则，即，故C正确；对于D，根据正态分布的概率性质，，，因为，所以，故D错误.11.设函数和图象交点的横坐标为，下列说法正确的是()A.若在定义域上不单调，则B.若和有相同的最小值，则C.当时，D.当时，若，，则答案：ABD解析：思路：利用导数研究函数单调性及最值判断A、B，通过不等式变形判断C，利用对数恒等式变形，并通过构造函数判断D.解答过程：对于A，的定义域为，，若在定义域上不单调，则在上有解，解得，因为，所以，即，故A正确.对于B，，若有最小值，则，令，得，故的最小值为，若有最小值，则，令，即，得，故的最小值为，若和有相同的最小值，则，当时，等式成立，故B正确.对于C，因为，所以，整理得，当时，，，故,即，得，因为，所以只需大于某个小于的数即可，并非，故C错误.对于D，当时，，，若，则，变形得，构造函数，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，若，则仅当时等号成立，即，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为_______．答案：##解析：思路：根据全概率公式求解概率即可.解答过程：用表示任选一题选到灯谜题目中逻辑推理，传统灯谜，一中文化，则，记伟同学任意抽取一道题目答对为事件为，则，所以.故答案为：.13.已知函数没有极值点，则________．答案：解析：思路：由函数没有极值点，可得导函数，进而利用判别式可得，化简即可求出，进而求解函数值即可.解答过程：由，得，因为无极值点，所以，所以，即，即，所以，解得，所以，.14.已知某产品在2月份到6月份销量如下表：月份23456销量42536680109设关于的函数，则当取最小值时，的值为________．答案：##解析：思路：变形给定函数，利用二次函数最小值问题求解.解答过程：依题意，，，依题意，，当取最小值时，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某班级学习小组共有9名学生，其中男生5名女生4名，计划参与校园文化节相关活动．（1）活动要求小组至少派1人参与，参与人数不限，每名学生均可选择参与或不参与，请问共有多少种不同的参与方案？（2）若小组9名学生都获得了活动入场资格，现要从9人中随机抽取4人作为活动志愿者．（i）求抽取的4人中女生人数不超过2人的选法种数；（ii）求抽取的4人中至少有1名女生的概率．答案：（1）511（2）（i）105；（ii）解析：思路：（1）利用分步乘法计数原理，结合排除法列式求解.（2）（i）利用组合计数问题，结合两个原理列式求解；（ii）利用组合计数问题求出古典概率.（1）每个学生都有参与、不参与两个结果，因此9名学生的不同参与结果有种，又活动要求小组至少派1人参与，则符合题意的结果中不含9名学生都不参与的情况，所以不同的参与方案共有511种.（2）（i）抽取的4人中女生人数不超过2人有三种情况：抽取的4人全是男生，有种；抽取的4人中有1名女生，有种；抽取的4人中有2名女生，有种，所以抽取的4人中女生人数不超过2人的选法种数是.（ii）从9名学生中任抽4名，有种，其中抽取的4人全是男生，有种，所以抽取的4人中至少有1名女生的概率为.16.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．答案：（1）0（2）（3）6561解析：思路：（1）根据题意，令，得到，再令，得到，即可求解；（2）化简二项式为，结合二项展开式，即可求得的值；（3）求得二项展开式中的系数为，得到，结合赋值法，即可求解.（1）解：由，令，可得，令，可得，所以.（2）解：由，所以.（3）解：由，可得展开式中的系数为，所以都大于零，而都小于零，则，令，可得，所以．17.某学校高二年级开展课外活动兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从艺术类和体育类中选择最喜欢的一类，喜欢艺术类的归为甲组，喜欢体育类的归为乙组．调查发现：甲组成员共人，其中男生人．（1）根据以上数据，完成如下列联表：甲组乙组合计男生女生合计（2）依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢艺术类还是体育类是否与性别有关；（3）从该校全体女生中按照表中分组比例采用分层抽样的方式，抽取人，再从这人中随机抽取人，设抽取的女生中喜欢体育类的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．参考公式：，其中．参考数据：答案：（1）列联表如下：

甲组乙组合计男生女生合计（2）依据小概率值的独立性检验，认为学生喜欢艺术类还是体育类与性别有关；（3）的分布列为：数学期望解析：思路：（1）根据已知的男女生总人数、甲组总人数及甲组男生人数，计算各组对应人数完成列联表；（2）提出零假设，代入卡方公式计算统计量，与临界值比较得出独立性检验结论；（3）先根据分层抽样比例确定抽取的名女生中两类偏好的人数，判断服从超几何分布，计算各取值概率得到分布列，再求解数学期望.（1）由题意得，男生共人，甲组男生人，因此乙组男生人数为；甲组共人，因此甲组女生人数为；女生共人，因此乙组女生人数为；乙组总人数为，总样本量为，据此填写列联表如下：

甲组乙组合计男生女生合计（2）提出零假设：学生喜欢艺术类还是体育类与性别无关.由，所以，小概率值对应的临界值，由于，因此推断不成立，即认为学生喜欢艺术类还是体育类与性别有关.（3）女生中喜欢艺术类、体育类的人数比为，按分层抽样抽取人时，抽取的喜欢艺术类的人数为，喜欢体育类的人数为.从人中随机抽取