江西省景德镇市乐平市第一中学2025-2026学年高二下册7月期末考试数学试卷-含答案

数学总分：150分座位号一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20名市民，得到如下列联表：A总计认可13518不认可71522总计202040附：.P（K2≥k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828根据表中的数据，下列说法中正确的是（）A.没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B.有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D.可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”4.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（）A.斗 B.斗 C.斗 D.斗5.已知函数，则（）A. B. C. D.6.已知变量，之间的一组相关数据如下表所示：681012632据此得到变量，之间的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）A.变量，之间成负相关关系 B.可以预测，当时，C. D.该回归直线必过点7.点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（）A. B. C. D.8.定义在R上的函数，当时，，又，，，则（）A. B.C. D.二、多选题（每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则下列数大于0的是（）A. B. C. D.10.设函数，则（）A.在上单调递减 B.时，的值域为C.有三个零点 D.曲线关于点对称11.已知，，，则（）A. B. C. D.三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知，则的极大值为______.13.已知二次函数的两个零点为，，若，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则为______.14.已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为______.四、解答题（共5小题，共77分）15.已知关于的不等式的解集记为集合，集合．（1）当时，求，；（2）已知，若命题：“，”是假命题，写出命题的否定并求a的取值范围．16.已知数列满足，且.（1）若，证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式以及前n项和.17.随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，若该公司收集了2026年前5个月x与对应销售金额y（单位：万元）的数据，并且成线性相关，具体如下表所示：月份代码x12345销售金额y（单位：万元）80150210260300（1）求样本相关系数r（精确到0.001），并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱；（2）求销售金额y关于月份x的回归方程，若投入总成本z（单位：万元）满足，当x为何值时，总成本z的投入值最低？附：相关系数，，.当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．其中，．18.已知函数，.（1）若，求的图象在处的切线方程（写成一般式）；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）是否存在实数a，对任意的，，都有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.19.已知是定义在上的函数的导函数，若正项数列满足，且对任意，都有，则称为的衍生数列.（1）若，，判断是否是的衍生数列，并说明理由.（2）若为的衍生数列，证明：.（3）若为的衍生数列，证明：.

数学总分：150分座位号一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.解答过程：因为，所以，则，故选：D2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：利用充分、必要条件的定义和不等式的基本性质进行判定即可解答过程：当时，“x<2”成立，但,故“”，故“x<2”不是“”的充分条件，“”等价于，即能推出，∴“x<2”是“”的必要条件，故“x<2”是“”的必要不充分条件，故选:B.方法提示：本题考查充分、必要条件的判定，关键是注意两点：（1）在不等式两边同乘以一个正数，不等号不变，同乘以一个负数，不等号的方向改变.（2）在判定不充分条件时，只需要举出一个反例即可，在判定必要性时，可以假定条件不成立，推出与结论相矛盾的结论即可.3.现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20名市民，得到如下列联表：A总计认可13518不认可71522总计202040附：.P（K2≥k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828根据表中的数据，下列说法中正确的是（）A.没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B.有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D.可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”答案：D解析：思路：计算出，比较所给数据，可得结论．解答过程：由题意，根据列联表中的数据，得，又，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.故选：D.4.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（）A.斗 B.斗 C.斗 D.斗答案：C解析：思路：设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗，根据题意，列出方程，即可求解.解答过程：设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗，由题意得，所以，所以马主人应赔偿斗.故选：C.5.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求出函数的导函数，再根据计算可得.解答过程：因为，所以，则，所以.故选：A6.已知变量，之间的一组相关数据如下表所示：681012632据此得到变量，之间的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）A.变量，之间成负相关关系 B.可以预测，当时，C. D.该回归直线必过点答案：C解析：思路：由，可判断A正确；当时，得到的预测值，可判定B正确；由表格中的数据，求得样本中心，代入求得的值，可判定C不正确；由，求得，可判定D正确.解答过程：对于A中，由，可得变量之间呈现负相关关系，所以A正确；对于B中，当，可得，所以B正确；对于C中，由表格中的数据，可得，则，解得，所以C不正确；对于D中，由，可得，所以该回归直线必经过点，所以D正确.故选：C.7.点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，通过求导确定切点坐标后利用点到直线距离公式计算最小值.解答过程：将直线整理为一般式：，其斜率为1，又，曲线在点处的切线斜率为，若该切线与直线平行，则，即，解得，，即切点的坐标为，到直线的距离

，故曲线上一个动点P到直线的距离的最小值是.8.定义在R上的函数，当时，，又，，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：分析可知，且函数在内单调递减，根据单调性比较大小即可.解答过程：因为，，且，可得，所以，又因为，当时，则，可得，可知函数在内单调递减，可得，所以.二、多选题（每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则下列数大于0的是（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：利用等差数列的性质和前项和的公式逐个求解即可.解答过程：，故，所以公差，数列递减.且，故，且.故选：AC10.设函数，则（）A.在上单调递减 B.时，的值域为C.有三个零点 D.曲线关于点对称答案：AD解析：思路：求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性.解答过程：，解得，所以在上单调递减，故A正确；又时，单调递减，单调递增，，所以时，的值域为，故B错误；在上单调递减，在和单调递增，，所以只有一个零点，故C错误；因为，所以曲线关于点对称，故D正确；故选：AD.11.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：BCD解析：思路：对于A，取即可判断；对于B，求得，再结合基本不等式即可判断；对于C，利用基本不等式可得，求解不等式即可判断；对于D，，再利用函数的单调性即可判断.解答过程：对于A，取，满足，但不满足，A错；对于B，，即，所以，当且仅当时，等号成立，B对；对于C，，令，所以，即，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立，C对；对于D，，令，由C选项可知，，而函数在单调递增，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，D对.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知，则的极大值为______.答案：解析：思路：利用导数求函数的单调区间，得到极大值点求出极大值.解答过程：函数的定义域为，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，因此是的极大值点，极大值为.13.已知二次函数的两个零点为，，若，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则为______.答案：##2.5解析：思路：根据等差数列、等比数列的性质，结合韦达定理求解即可.解答过程：由题意得，，所以.因为，，三个数适当调整顺序后可为等比数列，则一定为中间项，所以，则.因为，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，所以为最小的项，所以，即.代入中得，，整理得，解得或（舍去），所以.故.14.已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为______.答案：解析：思路：将不等式转化为，构造新函数，结合新函数的单调性即可求解.解答过程：已知函数，由于，即，变形为，构造函数，原不等式等价于，由于导数恒成立，因此在上是单调递增的，所以等价于，即在上恒成立，因此，解得，所以的取值范围为.四、解答题（共5小题，共77分）15.已知关于的不等式的解集记为集合，集合．（1）当时，求，；（2）已知，若命题：“，”是假命题，写出命题的否定并求a的取值范围．答案：（1），（2）命题的否定为“，”，的取值范围是解析：思路：（1）先解二次不等式求出集合，代入得到集合，再利用交、并集定义分别求出与；（2）根据存在量词命题否定规则写出命题的否定，由为假得否定为真，即，结合写出集合，再根据包含关系列不等式组求出的取值范围．（1），当时，的解集为，所以，；（2）存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题的否定为“，”，因为是假命题，所以，是真命题，即，因为，所以，所以的解集为，因为，所以，解得，所以，即的取值范围是．16.已知数列满足，且.（1）若，证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式以及前n项和.答案：（1）已知，则，又，所以，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）；解析：思路：（1）根据等比数列的定义证明即可.（2）根据等比数列的通项公式及等差数列前项和公式、等比数列前项和公式求解即可.（1）略（2）由（1）得，.又，所以.所以.综上，，.17.随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，若该公司收集了2026年前5个月x与对应销售金额y（单位：万元）的数据，并且成线性相关，具体如下表所示：月份代码x12345销售金额y（单位：万元）80150210260300（1）求样本相关系数r（精确到0.001），并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱；（2）求销售金额y关于月份x的回归方程，若投入总成本z（单位：万元）满足，当x为何值时，总成本z的投入值最低？附：相关系数，，.当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．其中，．答案：（1）样本相关系数，变量与的线性相关程度极强；（2）回归方程为，当时总成本的投入值最低．解析：思路：根据给定公式和已知数据计算相关系数判断线性相关性强弱，再计算回归系数得到线性回归方程，将回归方程代入总成本表达式后利用基本不等式求最小值．（1），，所以，因为非常接近，所以变量与的线性相关程度极强；（2），，，所以回归方程为，所以，由基本不等式，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，总成本取得最小值．18.已知函数，.（1）若，求的图象在处的切线方程（写成一般式）；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）是否存在实数a，对任意的，，都有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.答案：（1）（2）若，函数在内单调递增，在内单调递减；若，函数在内单调递增；若，函数在内单调递增，在内单调递减.（3）假设存在这样的实数a满足条件，因为，则，由可得，即，令，，可知函数在上单调递增，则，即在上恒成立，又因为，当且仅当时，等号成立，则，即，故存在这样的实数a满足题意，实数a的取值范围为．解析：思路：（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；（2）含参数的单调性讨论，先求导，再解含参数的不等式，判断导数正负即可判断单调性；（3）假设存在，将不等式变形，分析可知函数在