江西省九江市六校联考20265~2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为纯虚数，则实数的值为（

）A.0 B.2或 C.2 D.2.已知一个扇形的圆心角为，则这个圆心角的弧度数为（

）A. B. C. D.3.如图，在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点，则下列说法错误的是（

）A. B.C. D.4.已知一个四边形的直观图是边长为2的菱形，且该菱形的一组邻边分别平行于轴和轴，则原四边形的面积为（

）A. B. C. D.5.已知，则（

）A. B. C. D.6.已知在平面直角坐标系中，点，点在直线上．若向量在向量方向上的投影向量的模为，则点的坐标为（

）A. B. C. D.7.如图，中国传统玩具“滚灯”常由内外两层球壳构成，中间有支撑，可自由转动．现有一简化模型：由外层空心球与内层同心小球组成，外层球表面积是内层小球表面积的9倍，两者间空心部分体积为，则外层球半径为（）A.2 B.3 C.4 D.58.已知在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则面积的最大值为（

）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（

）A. B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.10.在空间中，设，为两个不同的点，，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（

）A.若，，且，则B.若，则与平行或异面C.若，，且，则D.若，，则11.某风力发电机的三个叶片均匀分布，每个叶片长度为20米，轮毂中心离地面80米．叶片以恒定角速度逆时针旋转，每圈用时6秒．为简化只研究其中一个叶片，其尖端在垂直平面内运动，叶片尖端距离地面的高度记为．设时该叶片与竖直向上方向（正上方）的夹角为（即顺时针偏转），则下列说法正确的有（

）A.B.在一个周期内，叶片尖端距离地面的高度不低于90米的时间占总时间的C.方程在区间上所有解的和为4.5D.若对任意恒成立，则的最小正值为1.5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的值域为_______．13.若存在不相等的实数，使得，则的取值范围是________．14.如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，______；的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，且．（1）求的值；（2）若，且，求的值．16.已知复数满足，且的实部大于0．设．（1）求复数；（2）若复数是关于的实系数二次方程的一个根，求，的值．17.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象．若，且，求的值．18.如图，在三棱锥中，平面，，，，点，分别为棱，的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19.已知平面向量，满足，，且与的夹角为．对于任意实数，定义，．（1）当时，求的最小值及相应的值；（2）设，若在上有最小值，求的取值范围，并求出此时的最小值（用表示）；（3）在（2）的条件下，若不等式，对一切使有最小值的恒成立，求实数的最小值．

数学试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为纯虚数，则实数的值为（

）A.0 B.2或 C.2 D.答案：D解析：解答过程：由为纯虚数，可得，解得.2.已知一个扇形的圆心角为，则这个圆心角的弧度数为（

）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为一个扇形的圆心角为，所以这个圆心角的弧度数为.3.如图，在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点，则下列说法错误的是（

）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点，对于选项A：，故A正确；对于选项B：，故B正确；对于选项C：，故C错误；对于选项D：因为，，所以，故D正确.4.已知一个四边形的直观图是边长为2的菱形，且该菱形的一组邻边分别平行于轴和轴，则原四边形的面积为（

）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据直观图的定义，将这个四边形进行还原，还原之后再使用面积公式进行求解.解答过程：因为四边形的直观图是边长为2的菱形，且该菱形的一组邻边分别平行于轴和轴，所以原图是一个长为，宽为的长方形，故原四边形的面积为.5.已知，则（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：使用二倍角公式，弦化切计算.解答过程：6.已知在平面直角坐标系中，点，点在直线上．若向量在向量方向上的投影向量的模为，则点的坐标为（

）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为点在直线上，设，由可得，.在方向上投影向量的模为

​，两边平方化简得，即，解得，，因此点的坐标为.7.如图，中国传统玩具“滚灯”常由内外两层球壳构成，中间有支撑，可自由转动．现有一简化模型：由外层空心球与内层同心小球组成，外层球表面积是内层小球表面积的9倍，两者间空心部分体积为，则外层球半径为（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：B解析：思路：设外层球半径为，内层小球半径为，利用“大球体积减去小球体积为空心部分体积”，列方程，解方程，可得答案.解答过程：设外层球半径为，内层小球半径为，由外层球表面积是内层小球表面积的9倍，得，即，即，由题意得：，将体积公式代入：，，把代入，得：，解得：，因为，所以外层球半径：.8.已知在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则面积的最大值为（

）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先用正弦定理将条件转化为边的关系，再利用余弦定理消去推出

为定值，由基本不等式得的最大值，最后将面积用表示，进而求最大值.解答过程：根据正弦定理，已知等式可化为，由余弦定理得，已知

，代入得.由基本不等式

，得

，当且仅当时取等号.由，得​​，则面积为

，当取最大值3时，取最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（

）A. B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.答案：BCD解析：解答过程：对于A，，所以，故A错误；对于B，在复平面内对应的点为，位于第二象限，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确.10.在空间中，设，为两个不同的点，，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（

）A.若，，且，则B.若，则与平行或异面C.若，，且，则D.若，，则答案：AB解析：思路：根据平面基本定理判断A，B，应用面面平行得出线线关系判断C，利用面面垂直的性质可判断D选项的正误；解答过程：对于A选项，，，且，则，A选项正确；对于B选项，若，则或异面，B选项正确；对于C选项，若，，且，则或异面，C选项错误；对于D选项，若，，当，则，当不垂直，则不垂直，D选项错误.11.某风力发电机的三个叶片均匀分布，每个叶片长度为20米，轮毂中心离地面80米．叶片以恒定角速度逆时针旋转，每圈用时6秒．为简化只研究其中一个叶片，其尖端在垂直平面内运动，叶片尖端距离地面的高度记为．设时该叶片与竖直向上方向（正上方）的夹角为（即顺时针偏转），则下列说法正确的有（

）A.B.在一个周期内，叶片尖端距离地面的高度不低于90米的时间占总时间的C.方程在区间上所有解的和为4.5D.若对任意恒成立，则的最小正值为1.5答案：ABD解析：思路：本题主要考查三角函数模型的应用.由角速度，初始相位，写出高度函数，验证A；利用正弦函数的性质解不等式,验证B;由得,解方程验证C;由恒成立,并结合函数对称性验证D.解答过程：对于A，角速度，初始相位，高度函数，故A正确.对于B，令，得.设，当时.解，得.对应的长度分别为和，总长度秒，占周期秒的，故B正确.对于C，由得，即，其中.利用和差化积可得，得，所以，即.因此，解得.在内，解为和，和为，不是，故C错误.对于D，由恒成立，得.设，，则对任意恒成立.根据正弦函数性质，需满足（另一情形不可能恒成立），即，解得，最小正值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的值域为_______．答案：解析：思路：需根据绝对值的定义，分情况讨论的符号解得结果；解答过程：当时，，当时，，合并值域为故答案为：.13.若存在不相等的实数，使得，则的取值范围是________．答案：解析：思路：首先将式子化简，再运用正弦函数的相关性质将题目转化为方程的有解问题，最后结合题目条件建立不等式求出结果.解答过程：由题可得，即，因为正弦函数的值域为，故，题目为存在不相等的实数，则，在内至少有两个解，因此，因为，所以，因为在内至少有两个解，所以，解得.14.如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，______；的最大值为______．答案：①.2②.2解析：思路：根据向量的线性运算结合模长即可求得第一空答案；设，作，交的延长线于E，求出，继而求出，结合数量积的几何意义，即可求得答案.解答过程：由题意可知O为的中点，且，则；设，作，交的延长线于E，在中，故，则，，又，故，则，故，当时，取到最大值2，故答案为：2；2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，且．（1）求的值；（2）若，且，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据三角函数的平方关系和商的关系及诱导公式进行求解；（2）由及的范围求出的值，将凑成，即可根据两角差的余弦公式展开求解.（1）由，得．又．．所以；（2）由，则，则．故．16.已知复数满足，且的实部大于0．设．（1）求复数；（2）若复数是关于的实系数二次方程的一个根，求，的值．答案：（1）（2），．解析：（1）设，则．代入得，即．由复数相等得,由的实部大于0，即，解得，，此时．则．（2）由（1）知，其共轭复数．因为实系数二次方程的虚根成对出现，所以另一根为，由韦达定理，，故，．17.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象．若，且，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先应用余弦定理结合二倍角正弦公式计算，最后应用角的范围求解；（2）应用平移得出，再应用正弦定理计算求解.（1）由题意得．由余弦定理，代入得．因为，所以．又，则，故，解得（2）由（1）知，则，向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到．由，得，故，又，故．18.如图，在三棱锥中，平面，，，，点，分别为棱，的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）在中，因为，分别为，的中点，所以．又平面，平面，所以平面．（2）（3）存在，解析：思路：（1）利用三角形中位线定理可得，利用线面平行的判定定理可证结论；（2）由题意可得，进而根据计算即可求解；（3）过点作，由题意可得，可得平面，当点与重合时，结论成立.（1）略.（2）由于，分别为，的中点，故．记到平面的距离为，则．，故的体积为．（3）过点作，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以，所以平面，又平面，所以平面平面，故取点与重合时，平面平面，此时．19.已知平面向量，满足，，且与的夹角为．对于任意实数，定义，．（1）当时，求的最小值及相应的值；（2）设，若在上有最小值，求的取值范围，并求出此时的最小值（用表示）；（3）在（2）的条件下，若不等式，对一切使有最小值的恒成立，求实数的最小值．答案：（1），此时（2）（3）解析：思路：（1）将化简，利用二次函数的性质求解；（2）将化简，利用二次函数的性质及在上有最小值求出的取值范围，得到顶点横坐标，代入求出；（3）计算，令，将进行化简，分离参数得，根据函数的单调性求出实