江苏省南通市启东市第一中学2025-2026学年高三上册第一次素质检测数学试卷-含答案

数学（考试时间120分钟，试卷满分150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（）A.{5} B.{1} C.{0，5} D.{0，1}2.在实验室细菌培养过程中，细菌生长主要经历调整期、指数期、稳定期和衰亡期四个时期.在一定条件下，某生物实验室在研究某种动物细菌的过程中发现，细菌数量（单位）与该动物细菌被植入培养的时间（单位：小时）近似满足函数关系式，其中为初始细菌含量.若经过6小时培养，该细菌数量为（单位），则（）A. B. C. D.3.已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.4.函数在上是减函数，则的取值范围是A. B. C. D.5.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则A.B.C.D.6.若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（）A. B.C. D.7.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形8.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.若，，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.10.已知函数，则（）A.当时，有两个极值点 B.，使得为单调函数C.当时， D.，的图象恒有对称中心11.已知函数（其中）的部分图象如图所示.则下列结论正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递增D.与图象的所有交点的横坐标之和为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为___________．13.若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．14.在中，，的角平分线交BC于D，则_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．16.已知函数为奇函数.（1）求函数的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合.（2）求函数的单调递减区间.17.已知函数，函数．（1）求函数的值域；（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）已知D为边AB上的一点，且.（ⅰ）若，，求AC的长；（ⅱ）求的取值范围.19.已知函数存在一个极大值点和一个极小值点.（1）求实数a的取值范围；（2）若函数的极大值点和极小值点分别为和，且，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数）

数学（考试时间120分钟，试卷满分150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（）A.{5} B.{1} C.{0，5} D.{0，1}答案：C解析：思路：利用集合相等求解.解答过程：解：因为，所以，解得或，的取值集合为，故选：C2.在实验室细菌培养过程中，细菌生长主要经历调整期、指数期、稳定期和衰亡期四个时期.在一定条件下，某生物实验室在研究某种动物细菌的过程中发现，细菌数量（单位）与该动物细菌被植入培养的时间（单位：小时）近似满足函数关系式，其中为初始细菌含量.若经过6小时培养，该细菌数量为（单位），则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意，，可求得，由此可计算.解答过程：∵经过6小时培养，该细菌数量为（单位），∴，∴∴，故选：B.3.已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：将看成一个整体，找出其范围，再根据正弦函数的图像和性质列出不等式求解.解答过程：，令，得.，.令，由的图象得：，化简得.故选：D.4.函数在上是减函数，则的取值范围是A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据可知在定义域内单调递减，若使得函数在上是减函数，则需，解不等式即可.解答过程：在定义域内单调递减若使得函数在上是减函数则需，解得故选：D方法提示：本题考查对数函数的单调性，属于中档题.5.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则A.B.C.D.答案：C解析：思路：由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．解答过程：是R的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，∴，，故选C．方法提示：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．6.若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围.解答过程：由，仅当，即时等号成立，要使不等式有解，只需，所以.故选：B7.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形答案：D解析：思路：利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解.解答过程：由及正弦定理，得,所以,所以,即，即，解得或,当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形;当时，又，所以，所以为直角三角形;综上所述，为等腰或直角三角形.故选：D.8.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：令，不等式转化为，构造函数，求导得到单调性，结合，得到，根据单调性解不等式，求出解集.解答过程：令，则，所以不等式等价转化为不等式，即，构造函数，则，由题意，，所以为上的增函数，又，所以，所以，解得，即，所以.故选：B方法提示：思路点睛：利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若，则构造，若，则构造，若，则构造，若，则构造.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.若，，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：根据指数、对数的关系及对数加法的运算法则判断A，由基本不等式判断BC，利用对数函数的单调性判断D.解答过程：因为，，所以，故A正确；由可得（，等号不成立），故B错误；由可得（，等号不成立），故C正确；因为，故D正确.故选：ACD10.已知函数，则（）A.当时，有两个极值点 B.，使得为单调函数C.当时， D.，的图象恒有对称中心答案：ABD解析：思路：求出函数的导数，由根的情况判断A；取值确定单调性判断B；求出单调递增区间判断C；利用中心对称的意义判断D.解答过程：函数的定义域为R，求导得，对于A，当时，，方程有两个不等实根，有两个极值点，A正确；对于B，当时，，函数为增函数，B正确；对于C，当时，令，解得或，函数在上单调递增，又，因此，C错误；对于D，，因此的图象恒关于点对称，D正确.故选：ABD11.已知函数（其中）的部分图象如图所示.则下列结论正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递增D.与图象的所有交点的横坐标之和为答案：BCD解析：思路：根据图像求出函数解析式，再逐个选项判断即可.解答过程：由题意，，，所以，又，可得，又，所以，所以.因为，所以不是函数的对称轴，A错；，所以是对称中心，B正确；时，，所以在上单调递增，C正确；，，所以或，即或，又，所以，它们的和为，D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为___________．答案：##解析：思路：根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案.解答过程：因为函数是幂函数，所以，解得或，当时，在区间上单调递增，不满足题意，当时，在上单调递减，满足题意.故．故答案为：13.若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．答案：解析：思路：设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.解答过程：∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：14.在中，，的角平分线交BC于D，则_________．答案：解析：思路：方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．解答过程：如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故答案为：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故答案为：．方法提示：本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．答案：（1）或（2）或解析：思路：（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可；（2）由题可知，列出不等式进行计算即可．（1）当时，或；∵，∴或；（2）∵“”是“”的充分条件，∴，∵，即，∴或，∴或，而，要使得，需有或，∴或．16.已知函数为奇函数.（1）求函数的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合.（2）求函数的单调递减区间.答案：（1）时取最小值；时取最大值2;（2）与.解析：思路：（1）根据奇函数的性质可得，结合可求从而可得，根据正弦函数的性质即可求解；（2），根据正弦函数的单调性即可求解.（1）依题意有即，为奇函数，满足题意.当时取最小值；当时取最大值2.（2）依题意，若单调递减，则又，令得其减区间为与.17.已知函数，函数．（1）求函数的值域；（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据对数的运算法则变形函数为关于的二次函数形式后可得值域；（2）把作这一个整体（可用换元法），结合二次函数性质求得的最小值，然后解不等式可得．（1）由题意得即的值域为．（2）由不等式对任意实数恒成立，故．又设，则，所以，当时，．故，即，整理得，即，解得．所以实数的取值范围为．18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）已知D为边AB上的一点，且.（ⅰ）若，，求AC的长；（ⅱ）求的取值范围.答案：（1）（2）（1）；（2）解析：思路：（1）根据正弦定理边角化，结合正弦和角公式可得,根据，化简可得，即可求解，（2）（ⅰ）在中，由余弦定理求解，进而根据诱导公式以及正弦定理得，解得，进而根据同角关系以及锐角三角函数求解，（ⅱ）在中由正弦定理，得，在中，由锐角三角函数得，进而可得，利用二倍角公式化简得，即可根据余弦函数的性质求解.（1）由题意知，又由正弦定理得，所以.又，所以，所以，所以，因为，所以，所以，又因为，所以.（2）（ⅰ）因为，根据余弦定理得，所以，因为，所以，在中，由正弦定理知，，即，所以，进而,所以故，（ⅱ）因为，所以，在中，由正弦定理得，所以；又在中，；所以，因为，所以，所以，所以的取值范围是.19.已知函数存在一个极大值点和一个极小值点.（1）求实数a的取值范围；（2）若函数的极大值点和极小值点分别为和，且，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数）答案：（1