河北省邢台市部分高中2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题（含解析）

2026-2027年度高二数学上学期开学考试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则（）A.1 B. C. D.5【答案】B【解析】【详解】由题可得，故.2.数据2，2，3，5，5，7，8，10，12的第三四分位数为（）A.7 B.7.5 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义求解.【详解】已知数据共9个数，第三四分位数即为分位数，，因此第三四分位数是第7个数：8.3.阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，由圆柱与球的体积公式求解即可.【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以.4.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）A.或 B.C. D.与斜交【答案】A【解析】【详解】由，得，所以或.5.若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由基底的定义逐一判断即可.【详解】，故A不是；不存在，使得，故B是；，故C不是；，故D不是.6.已知正四棱锥各棱的长度均为2，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据几何关系利用勾股定理即可求出外接球半径,进而求体积.【详解】如图,正四棱锥的外接球的球心在高上记为,,,在中,,解得,所以外接球的表面积等于,故选:B.7.已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（）A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8【答案】A【解析】【详解】因为，是互斥事件，所以，则，因为与是对立事件，所以.8.已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（）A.为 B.为的中点C.的轨迹长度为 D.为的中点【答案】D【解析】【分析】取中点、中点，证得平面平面，得到点在正方形内的轨迹即可逐一分析选项.【详解】取中点、中点，连接、、，则，又分别是棱，的中点，则，所以，平面，平面，所以平面，，，则四边形为平行四边形，有，平面，平面，所以平面，平面，，故平面平面，因此满足平面的点在正方形内的轨迹是线段，该线段长度为；分析选项：选项A：若，该点不在轨迹上，不满足条件；选项B：若为中点，该点不在轨迹上，不满足条件；选项C：的轨迹长度为不能得到平面，不满足充分性；选项D：若为中点，则是线段的端点，必然满足平面，但满足平面的点可以是线段上的任意点，不一定是中点，因此是充分非必要条件.二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知，都是复数，下列选项中正确的有（）A.若，则或B.若，则是实数C.D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】对A根据复数模的性质判断可得；对B由共轭复数的定义及复数的加法运算可得；对C由共轭复数的定义及运算可得；对D通过举反例判断可得.【详解】选项A：复数的模满足，若，则，所以或，即或，故A正确.选项B：设（），由得，则，为实数，故B正确.选项C：设（），左边，右边，左右两边相等，故C正确.选项D：因为只有两个实数才能比较大小，若仅说明差为正实数，但可能含虚部，比如，，但两个虚数和无法比较大小，故D错误.10.如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设设，，，则下列等式成立的是（

）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用空间向量基本定理和向量的加减法逐一计算即可判断．【详解】由向量的平行四边形法则，得，故A错误；由向量的平行四边形法则和三角形法则，得，故B正确；因为点在线段上，且，所以，所以，故C错误；，故D正确．11.正方体的棱长为1，为线段，上的动点，过点的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的是（）A.当且时，S为等腰梯形B.当,分别为，的中点时，几何体的体积为C.当M为中点且时，S为五边形D.当M为中点且时，S与的交点为R，满足【答案】AB【解析】【分析】利用空间直线的位置关系，作辅助线，以及柱体锥体的体积表面积公式进行计算，对选项逐一分析，利用命题真假进行判断即可．【详解】解：对于A，如图所示，

，

当且时，由面面平行的性质定理可得，

交线，且，

所以截面S为等腰梯形，A正确；

对于B，如图所示，

，

面，面，故几何体的体积等于几何体的体积又几何体的体积等于，所以几何体的体积为正确，B正确；对于C，如图所示，当，即点重合时，此时截面S为四边形，不是五边形，C错误；对于D，如图所示，当时，延长交与点，连结交于点，，，D错误；

故选AB．本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为__________________．【答案】【解析】【详解】向量在方向上的投影向量的坐标为：.13.在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____【答案】【解析】【分析】由空间向量的平行六面体法则可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求.【详解】如下图所示：由空间向量数量积的定义可知，，，由空间向量的平行六面体法则可知，所以，故，即体对角线的长度为.14.在中，内角的对边分别为，已知，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理得到，利用基本不等式得到，通过计算得解.【详解】因为，所以，又，则，当时取等号，故的最小值为.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知，，是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且，求；（2）若，且，求与所成夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】由，得，得，即，所以；【小问2详解】由，得，即，又因为，，所以，解得，则与所成夹角的余弦值为．16.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面.【答案】（1）证明：平行六面体中，，，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面（2）证明：因为底面是正方形，为的中点，所以．在和中，，，，所以，所以，又为的中点，所以．又，平面，，所以平面【解析】【分析】（1）通过证明，结合线面平行的判定定理证得平面；（2）通过证明、，结合线面垂直的判定定理证得平面.【小问1详解】略【小问2详解】略17.已知的内角，，的对边分别为，，，，．（1）求；（2）若为线段的中点，的面积为，求线段的长．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）结合正弦定理化边为角后，可求得；（2）由余弦定理和正弦定理可得出关系，从而判断出是直角三角形，然后由三角形面积求得边长，再结合直角三角形的性质得结论.【小问1详解】因为，由正弦定理得．又，，则，．又，所以．【小问2详解】由（1）知，则由余弦定理，即．又，由正弦定理，则，所以．所以，即是直角三角形．则的面积，所以所以．18.某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取人，将其成绩（百分制）分成、、、六组，得到频率分布直方图（如图），请完成下列问题：（1）求频率分布直方图中的值，并估计众数；（2）已知落在区间的样本平均分是，方差是；落在区间的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差．【答案】（1），众数为（2），【解析】【分析】（1）利用面积和为计算可得,根据频率分布直方图可知众数为的中点值;（2）先计算成绩在、内的人数，求出平均值，再由方差的计算可得.【小问1详解】由题意可得，解得.根据频率分布直方图可知众数为的中点值.【小问2详解】成绩在内的人数为，成绩在内的人数分别为，所以．设学生成绩在区间内的数据记为、、、，学生成绩在内的数据记为、、、，所以.19.如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后．（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的正切值．【答案】（1）在四边形中，因为，所以折叠后有，．又，平面，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）．【解析】【分