湖南省郴州市北湖区2025-2026学年九年级上学期期中学业水平调研数学试卷（解析版）

湖南省郴州市北湖区2025-2026学年九年级上学期期中学业水平调研数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.

1.下列方程为一元二次方程的是（）

A.x-2=0B.x2-2x-3C.x2-4x-1=0D.xy+1=0

【答案】C

【解析】【解答】解：4、工一2=0是一元一次方程，A选项不合题意；

B、%2一2%一3是代数式，不是方程，B选项不合题意；

C、工2一轨一1=0是一元二次方程，C选项符合题意；

0、xy+1=0含有两个未知数，不是一元二次方程，D选项不合题意；

故选：C.

【分析】一元二次方程：含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程，根据一元二次方程的定义依

次判断即可.

2.皮影戏是中国民间戏剧，也是国家非物质文化遗产.如图，用灯光照射兽皮或纸板做成的“人物”，屏幕上

便出现影子，则实物与其影子之间的变换是（）

A.平移变换B.轴对称变换C.位似变换D.旋转变换

【答案】C

【解析】【解答】解：A：实物与其影子之间的变换不是平移变化，A选项不符合；

B：实物与其影子之间的变换不是轴对称变化，B选项不符合；

C：实物与其影子之间的变换是位似变换，C选项符合；

D：实物与其影子之间的变换不是旋转变化，D选项符合

故选C.

【分析】平移变换：图形沿某一方向移动，对应点连线平行，不改变形状、大小，不符合皮影中实物与影子

的关系；

轴对称变换：图形关于某直线对称，对应点到对称轴距离相等，皮影中无“对称轴”类关系，不符合；

位似变换：是相似变换且对应点连线都经过同一位似中心.皮影戏中，灯光为位似中心，实物与影子相似，

旦实物各点与影子对应点的连线都经过灯光，符合位似变换的定义.

旋转变换：图形绕某点旋转，对应点到旋转中心距离相等，皮影中并非绕点旋转的关系，小符合；

根据以上定义依次判断即可.

第1页

3.一元二次方程》2一2%-3=0配方后可化为()

2

A.(x-1)2=3B.0+1)2=3C.(%-1)2=4D.(x+I)=4

【答案】C

【解析】【解答】解：・・“2-2X-3=0,

x2—2x=3,

Ax2-2x4-1=3+1,

・•・(％-1)2=4.

故选：C.

【分析】利用配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，第一步移项，第二步系数化1,此题已经化1,

跳过此步，第三步配方，第四步写成完全平方式即可.

4.已知某物体对地面的压力为1000N,而物体对地面的压强p与受力面积S之间的关系为P=嘤，则该

函数图象一定过点()

A.(10,100)B.(0,0)C.(20,-50)D.(-20,50)

【答案】A

【解析】【解答】解：TP二嘤，

A、当S=10时，2=当卷=100,・・・点(10,100)在图象上，故选项A符合题意；

B、当S=0时分母为零，P无意义，.,•点(0,())不在图象上，故选项B不符合题意；

C、当S=20时，P=与器=50装一50,・••点(20,-50)不在图象上，故选项C不符合题意；

D、因为受力面积S>0,所以点(-20,50)不在函数图象上，故选项D不符合题意.

故选：A.

【分析】根据反比例函数2=噌，将各顶点的横坐标代入S计算P值，与纵坐标比较是否一致，如一致,

就代表在函数图象上，不一致就代表不在函数图象上.

5.《感动中国2024年度人物颁奖盛典》节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到

228万次.设该节目播放量的R均增长率为x,则根据题意可列方程为()

A.135(1+%)2=228B.135(1-%)2=228

C.135(1+%2)=228D.135(1+2x)=228

【答案】A

【解析】【解答】解：设日均增长率为x,则第二天播放量为135(1+%),第三天播放量为135(1+>)(1+

x)=135(14-x)2,

由题意可得135(1+x)2=228.

故选：A.

第2页

【分析】根据日均增长率的定义，每天播放量是前一天的（1+久）倍，故从第一天到第三天的增长倍数为

（1十XI2,再乘第一天的初始播放量则等于第二天的播放量.

【解析】【解答】解：函数y=：的图象是位于第一、三象限的双曲线，大致是

【分析】反比例函数y=§当k>（）时，图像经过一二象限，当kV（）时，图像经过二四象限.

7.若关于x的一元二次方程%2+8%+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）

A.8B.-8C.16D.-16

【答案】C

【解析】【解答】解：•••方程d+8x+c=0有两个相等的实数根，

=b2-4ac=82—4xlxc=64-4c=0,

解得c=16.

故选：C.

【分析】一元二次方程有两个相等的实数根时，即判别式等于（），列出式子后，就可以求出c.

8.若一元二次方程式2=16的两根为石，X2（%1<则点P（X1，%2）位于平面直角坐标系中的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】【解答】解：X2=16,

第3页

解得x=±4,

Vxi<%2,

/.X]=-4,x2=4,

・••点P(-4,4),

♦・•横坐标一4<0,纵坐标4>0,

・••点P在第二象限，

故选：B.

【分析】先解一元一次方程得到两权，再根据已知两根的大小关系确定点P的坐标，最后根据象限点的符号

特征判断位置.

9.如图，在AABC中，0EII8C,若第=,，则盖的值为（）

Q3

5Af

【答案】C

【解析】【解答】解：

•:DE||BC,

△ADEABC,

.,AD_3

•诙=2'

.AD_3

,,丽=亍

••爱二瑞="三角形相似，对应边成比例）；

故选：C.

【分析】根据DE〃BC可证明再根据两个三角形相似，对应边成比例即线段之间的关系进

行求解即可.

10.若方程妙+巾为+几=。的两根满足"=2,则在下列关于m、几的等量关系式中，正确的是（）

2229

m=cm-nm-

A.B.2n9-D.2-

【答案】D

【解析】【解答】解：•・•方程％2+根*+九=0的两根为xi和必，

由根与系数的关系可得：Xi+x2=-m,xxx2=n,

第4页

又喝=2,

••—2%2»

2X2+x2=-zn,

3X2=­m,

.*.X]X2=2X2•M=n,

将亚=一竽代入：

A2(-y)2=n，

.m2

•o,2--=n»

・2m2

•--9-=n，

2m2=9n,

故选：D.

【分析】利用根与系数的关系，X1+X2=-^^工2=。根据已知条件可知Xl=2外，将其代入伟达公式

中，可推算出m与n的关系式.

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分.

门若齐金则丹=---------•

【答案】-2

【解析】【解答】解：由户氯设Q=2k,b=3k(/c^O),

[nila2k2ko

故答案为：-2.

【分析】根据已知的比例关系，可设a=2k,b=3k，再代入所求分式中可约分后得到答案.

12.如图，已知△ABCSADEF.贝叱C的度数为°

【答案】70

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【解析】【解答】解：〜△DE/，ZD=70°,

••・乙4=△。=70°,

•・4=40°,

:•乙C=180°一乙A—乙B=70°.

故答案是：70.

【分析】先根据相似三角形的性质，两三角形相似，对应角相等，可得出24=乙0=70。，再根据三角形内

角和定理可求出NC.

13.若点(区3)在反比例函数y=U的图象上，贝打的值是_______.

X

【答案】4

【解析】【解答】解：•・•点(a,3)在反比例函数y=工的图象上，

X

，解得

A3=—aa=4.

故答案为：4.

【分析】点在函数图象上，只需要将点坐标代入反比例函数解析式，就可以求出a的值.

14.如图，0、E分别是△A8C的边AC、上的点，请你添加一个条件，使△AOE与△ABC相似，你添加的

条件是.

【答案】^AED=^ACB^AADE=/力BC或兼=需

【解析】【解答】解：力=44,使△AOE与ZkABC相似，

・••增加一组角对应相等，或夹角A的一对边对应成比例，

乙AED=^ACB^ADE=44BC或差=器.

故答案为：/-AED=AACBS^ADE=4/IBC或靠=器.

【分析】根据三角形相似的判定进行作答即可.

15.若x=a是方程/-2x-3=0的一个根，则2a2-4a+5的道为

【答案】11

【解析】【解答】解：,・”=。是方程/一2》一3二0的一个根，

Aa2—2a—3=0»

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.*.a2—2a=3.

2a2-4a十5二2（a2—2a）+5=2x3+5=6+5=11.

故答案为：11.

【分析】x二a是一元二次方程的根，则只需要将其代入方程中得到a的关系式，再将所求的式子换成一样的

格式，用整体代入法计算即可.

16.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口8处立一根垂直于井口的木杆8D,从木

杆的顶端。观察井水水面C，视线0C与井口的宜径48交于点E,如果测得力8=2.4米，80=1.5米，BE=

【解析】【解答】解：:BD_L4B,ACLAB,

：.BD||AC,

；・△ACEBDE,

.AC_AE

••丽二配’

•••48=2.4,80=1.5,BE=0.6,

：.AE=AB-BE=1.8,

.AC_1.8_Q

••布一两一J'

：.AC=4.5（米），

故答案为：4.5.

【分析】BD和AC都垂直AB,则BD〃AC,可知△ACE〜再根据相似三角形的性质，对应边成比

例，列比例式求解即可.

17.若函数百的图象上存在点M,函数力的图象上存在点N,且M、N两点关于y轴对称，则称函数为和y2具

有“对立关系”，此时点M或点N的纵坐标称为“对立值”.

（1）满足题设条件的M、N两点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标；

（2）下列结论中，正确的是：.（写出所有正确结沦）

①函数%=2%+3与函数为=-%+1不具有“对立关系”；

（2）函数为=2%+3与函数为=-久+1的“对立值”为一1：

③若1是函数%=依+3与函数为=》勺"对立值”，则A=2.

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【答案】相等：②③

【解析】【解答】解：（1）已如M、N两点关于丫轴对称，即横坐标互为相反数，纵坐标相等；

故答案为：相等；

（2）①设这两个函数具有“对立关系”，

令函数=2%+3的x值为a,则函数为=一%+1的％值是一Q,

2d+3=—（―a）+1,

解得：Q=-2,

—a=2

••・%=丫2=-1，

・•・存在函数为=2工+3上的点（一2,—1）和函数丫2=-工+1图象上的点（2，—1）关于y轴对称，

即这两个函数图象上存在点关于y轴对称，即这两个函数具有“对立关系”，

故此项说法错误；

②由①函数为=2%+3与函数为=-x+1的“对立值”为-1,此时以函数上所对应的x值为-2,为函数上所

对应的x值为2,横坐标互为相反数，符合题意，故此项说法正确；

③令函数值为1,分别代入函数月=kt+3与函数为=工，

4X

得：%i=—,右=1，

根据函数是“对立关系”可得：

2

6+1=0，

解得：k=2,

故此项正确；

故答案为：®@.

【分析】（1）由新定义和点关于y轴对称可知，这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即可；

（2）①设这两个函数具有“对立关系”，则当两个函数的x值互为相反数时，对应的y值相等，令函数为=

2x+3的x值为a,则函数丫2=-％+1是-。，将x值代入，通过y值相等建立等式，解出a的值，从而可判

断出结果；

②由①联立的结果可知，此项正确；

③先把1分别代入两个函数的解析式中，求出两个x的值后，通过新定义两个横坐标互为相反数，即可求出

k的值；

三、解答题：本题共8小题，共66分.

18.解方程：

第8页

(1)2x2=8：

(2)x?+4x-12-0.

【答案】(1)解：2x2=8,Ax2=4,

解得：=-2,X2=2

(2)解：无2+4=-12=0,

(%+6)(%—2)=0,

x+6=0或％—2=0,

JW得：Xi=-6,x2=2

【解析】【分析】(1)利用直接开平方法解答，即可求解.

(2)通过配方法中的十字相乘法将方程化为：(%4-6)(%-2)=0,即可求解.

⑴解：2x2=8,

Ax2=4,

解得：%i=-2,X2=2.

(2)解：%2+4x-12=0,

A(x+6)(x-2)=0,

.*.x4-6=0或x—2=0,

解得:皿=-6,%2=2.

19.如图,在12x12的正方形网格中,△048的顶点分别为0(00),4(1,2),5(2,-1).

(1)作图：以点0(0,0)为位似中心，在位似中心右侧将△OAB放大到原来的3倍，得到△048'；

(2)写出/、8’的坐标：A(—，—)、B(—，一).

【答案】(1)解：如下图，△。力'B，即为所求；

第9页

(2)解：由图可知，/(3,6)，8‘(6,—3).

故答案为：3,6：6,-3

【解析】【分析】(1)以原点0为位似中心，把这个三角形向右侧放大为原来的3倍，即将48两点的横纵

坐标均乘以3得到点/、8’的横纵坐标，然后将点0,4,夕顺次连接即可；

(2)4的横坐标、纵坐标是A的三倍，即4(3,6)，8’的横坐标，纵坐标是B的三倍，即8'(6「3).

(1)解：如下图，△O/l'B'即为所求；

(2)解：由图可知，/(3,6)，

故答案为：3,6；6,-3.

20.如图,4D,8C相交于点。,乙4=".

(1)求证：△/lOBCOD；

(2)己知40=2,CO=3,△HOB的面积为8,求△C。。的面积.

【答案】(1)证明：•・•”=〃，4408="。。，

：.LA0B八COD(SSS)

(2)•：4AOBs^cOD,且力。=2,CO=3,

第10页

・.・器=需=罂=多即两个三角形的相似比为多

・S〉AOB_/2：_4

,•尊一⑺"9

•••△40B的面积为8,

•♦,SACOD=x8=18

【解析】【分析】(1)根据“两角分别相等的两个三角形相似“，即可证明结论；

(2)两个三角形相似，对应边成比例，面积比等于相似比的平方，根据题意可知相似比为多从而可算出面

积比.

(1)证明：:乙4二/C,乙AOB=LCOD,

△AOBCOD；

(2):△AOBCOO,且4。=2,CO=3,

・.•器=需=罂=等即两个三角形的相似比为与

・S"OB_/2\2_4

-9

「△AOB的面积为8,

99

--

44x8=18.

21.已知关于工的一元二次方程一匕+上一1=0.

(1)当k取最小的正整数时，求方程的解；

(2)求证：无论k取任何实数，此方程总有两个实数根.

【答案】(1)解：・・・k取最小的正整数，

:・k=1,

・•・一元二次方程/一％=0,

x(x-1)=0,

解得：%1=0,X2=1

(2)证明：•；a=i,b=-k,c=k-l,

.*.△=h2—4QC=k2-4(k—1)=[k—2)2,

V(Ar-2)2>0,

/.△>0,

・•・无论k取任何实数，此方程总有两个实数根

【解析】【分析】(1)最小的正整数是I,将k=l代入方程，再根据因式分解的方法求解即可；

(2)万程息有两个实数根，则表明判别式恒K),将系数代入后，通过一个数平方的非负性可求证；

(1)解：・・・k取最小的正整数，

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：・k=1,

，一元二次方程/-x-0,

x(x-1)=0,

解得：X]=0,%2=1；

(2)证明：•；a=1,b=—k,c=k—1,

.*.△=b2—4ac=k2-4(fc-1)=(k—2)2,

V(/c-2)2>0,

/.△>0,

・•・无论k取任何实数，此方程总有两个实数根.

22.如图2,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电

筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度4G=1.2m,手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的

边缘点F,落在墙上的点E处，点F到地面的高度C尸=1.8m,灯泡到木板的水平距离AC=6m,木板到墙

光的反射定律

图1图2

(I)求48的长；

(2)求点E到地面的高度DE.

【答案】(1)解：由题意可知，乙ABG=LCBF,乙FCB=LGAB,

：.△FCBfGAB(AA),

•・・毋=篇(两三角形相似，对应边成比例)，

日AC-AB

即而=ARf

・1.8_6-AB

^T2=~AB~

.“12

••AB--p-»

J

即48的氏为2.4m

(2)解：由(1)知，AB=2.4m,

:・BC=AC-AB=6-2A=3.6m,

由题意知，CFIIDE,

第12页

，△BEDs&BFC,

.CF_BC_BC

''~ED=~BD=DC+BC'

・18_3.6

：.DE=3.8,

即点E到地面的高度DE为3.8m

【解析】【分析】(1)通过41BG=“BF,乙FCB=/.GAB,可证明△FCB八GAB,根据相似三角形的性

质，对应边成比例，得出黑=器，再根据线段之间的等量关系代入数据求出的长即可、

(2)由题意知CFIIOE,得出aBED〜△BFC,由相似三角形的性质，对应边成比例得出篇=第=

益密，代入数值求解即可.

L/C-TOC

(1)解：由题意可知，乙ABG=LCBF,乙FCB=LGAB,

；・△FCBGAB»

.FC_BC

••而一而‘

日n尸CAC-AB

即而=T，

・1.8_6-AB

-'-AB=3

即48的长为2.4m；

(2)解：由(1)知，AB=2.4m,

:.BC=AC-AB=6-2A=3.6m,

由题意知，CF||DE,

△BED5&BFC,

.CF_BC_BC

，'ED~BD~DC+BC1

・18_3.6

''DE~4+T6

：.DE=3.8,

即点E到地面的高度DE为3.8m.

23.湖南郴州东江鱼以其鲜嫩、甜美的口感和独特的制作工艺而闻名于世，且它承载了当地深厚的地方文化

和历史内涵.某学习小组为了研究东江角的最优销售单价，特到某农副特产专卖店了解到湖南郴州东江角成

本为30元/千克，并且发现该店在营业期间，通过不断调整销售单价，对东江鱼的销售量统计如下表所示：

东江鱼销•・•3540455055・・・

第13页

售单价X

（元/千

克）

每天销售

数量y（千...9080706050•••

克）

（1）根据表中信息可知：销售数量y与销售单价》什么函数关系，请你求出这个函数关系式（不要求写出

销售单价x的取值范围）；

（2）现专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，则销售单

价应定为多少？

【答案】（1）解：•・•销售单价每增加5元，销售数量减小10千克，

・♦•销总数量y是销售单价x的一次函数，

设销售单价x与销售数量y的函数关系式为y=kx+b（k,b为常数，k工0）.

当为=35时，y=90；当x=40时，y=80,代入函数关系式可得：

[35/c+b=90

Uo/c+b=80'

解得忆言•

所以，y与X的函数关系式为y=-2x+160

（2）解：设销售单价应定为x元/千克.根据利润公式，（x-30）（-2x4-160）=1200,

整理得：（%-50）（%-60）=0,

解得：x=50或％=60.

•・•让顾客感觉到实惠，

.*.%=50,

所以专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，则销售单价应

定为每千克50元

【解析】【分析】（1）因为销售单价每增加5元，销售数量减小10千克，可得销售数量y与销售单价x成一次

函数关系，所以设y=kx+b,选取表格中两组数据代入，通过解方程组求出k和b的值，从而得到函数关

系式.

（2）先根据每天销售利润达到1200元，结合利润公式：（售价-成本价）x销量，列出一元二次方程，得到两

个解，再结合题意需要让顾客感觉到实惠，所以取价格低的那个数.

（1）解：•・,销售单价每增加5元,销售数量减小10千克,

・♦•销售数量y是销售单价x的一次函数，

第14页

设销售单价X与销售数量y的函数关系式为、=人工+6(k,b为常数，kH0).

当工=35时，y=90；当x=40时，y=80,代入函数关系式可得：

+b=90

+b=80'

e解得乃=7、

5=160

所以，y与x的函数关系式为y=-2%+160.

(2)解:设销售单价应定为x元/千克.

根据利润公式，(x-30)(-2x+160)=1200,

整理得：(%一50)0-60)=0,

解得：x=50或X=60.

•・•让顾客感觉到实惠，

.*.x=50,

所以专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，则销售单价应

定为每千克50元.

24.如图1,在直角边长为4的等腰直角三角形48c中，乙4c8=90。，点D、E分别是边AC、A8Hl勺中点,

(1)如图1,求出4E的长；

(2)如图2,在旋转过程中，试求出翳的值；

(3)如图3,当△ADE绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上时，求线段CE的长.

【答案】(1)解：•••△A8C为直角边长为4的等腰直角三角形，且乙478=90。，

：.AC=BC=4,

•'•AB=y/AC2+BC2=V42+42=472,

•・,点D、E分别是边AC、48上的中点,

：-AE=AB=2V2

<2)•,,点D、E分别是边AC、AB上的中点,

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.AD_AE

，9AC=AB=2f

.AD_AC

••亚二宿

=4DAE,

：.LCAD+Z.DAB=Z-DAB+Z.BAE,

：.^.CAD=/-BAE,

T7••AD_AC

乂・丽=而'

/.△CAD—△BAE,

・BEAB4/2q

(3)解：如图1,

图1

根据题意可知，△48C为直角边长为4的等腰直角三角形，/4CB=90。，点D、E分别是边AC、上的中

则40=^AC=2,DE=；CB=2,DE||CB,

：,Z.ADE=^ACB=90°,

若△ADE绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上，可分两种情况讨论,

①当点。在C,E之间时，如下图，

此时乙AOC=180°-/-ADE=90°,

**•CD-yjAC2—AD2-V42-22=2V5,

・"E二CO+OE=28+2;

②当点E在C,。之间时，如下图，

第16页

此时4AOC=/-ADE=90°,

­-CD=>JAC2-AD2=V42-22=2V3,

:.CE=CD-DE=2\f3-2.

综上所述，线段CE的长为2遮+2或28-2

【解析】【分析】（I）先通过勾股定算出力8的值，AE是AB的一半，即可获得答案；

（2）因为兼=需=去将这个式子进行变形，就可以得到冬二步，再通过角度之间的等量关系可推算出

Z.CAD=^BAE,进而通过夹角相等，对应边成比例可证明AGID〜△B4E,再通过相似三角形的性质对应边

成比例即可获得答案；

（3）首先结合图1确定40,0E的值以及乙ADE=90。，再分点。在C,E之间和点E在C,0之间两种情况讨

论，结合勾股定理解得CO的长度，然后计算线段CE的长即可.

（1）解：为直角边长为4的等腰直角三角形，且44cB=90。，

：.AC=BC=4,

•»AB-7AC2+BC?=V424-42=4\/2»

•・•点D、E分别是边AC、4B上的中点，

­\AEAB=2A/2:

（2）;点D、E分别是边力。、AB上的中点，

.AD_AE_1

,,k而=2'

.AD_AC

••南一宿

•・,乙CA8=乙DAE,

：.Z.CAD+Z.DAB=Z.DAB+乙BAE,

：.^CAD=乙BAE,

T7••AD_AC

乂•丽=而'

/.△CADBAE>

.BEAB472后

，，CD=AC=~=y/2；

（3）解：如图1,

第17页

根据题意可知，△A8C为直角边长为4的等腰直角三角形，/力CB=90。，点D、E分别是边4C、48上的中

则40=^AC=2,DE=^CB=2,DE||CB,

：.^ADE=Z-ACB=90°,

若△/1!)£•绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上，可分两种情况讨论,

①当点。在C,E之间时，如下图，

iW^ADC=180°-Z,ADE=90°,

••CD=yjAC2-AD2=V42-22=2百,

ACF=CD+DF=2V3+2;

②当点E在C,。之间时，如下图，

此时乙AOC=Z.ADE=90°,

•**CD=yjAC2—AD2=V42-22=2A/3»

:.CE=CD-DE=2百一2.

综上所述，线段CE的长为2V5+2或2V3-2.

25.如图，直线y=2x+l与反比例函数y=K(kH0)的图象交于4B(m,-2)两点,过点4作力CJ.x轴于点

C,过点B作80_Lx轴于点D.

第18页

（2）若在线段AB上存在点E,使得SABDE=2SUCE，请求出点E的坐标；

（3）若点尸（-3,n）在反比例函数图象上，G是第一象限反比例函数图象上一动点，连接4G分别与x轴，y

轴交于点M,P,连接FG分别与x轴，y轴交于点N,Q,判断MN•PQ的值是否为定值？若是定值，求出该定

值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）解：把点8（叫一2）代入直线y=2%+1中,

可得：2m+1=—2,

解得：m=—

・••点B的坐标是—2）,

把.••点B的坐标（一|,一2）代入比例函数y=级工0）中,

可得：k=-2x（-=3,

・•.反比例函数的解析式是y=3

（2）解：如下图所示,

y=2x+1

解方程组,y=l

_3

勺=_%俨2=1

可得:[y=r

X=-22

•・•点B的坐标是（一,,一2）,点A的坐标是（1,3）,

•••BD=2,AC=3>

第19页

设点E的坐标是（x,2x+1）,

WijABDE中80边上的高是无+3，△4CE中4c边上的高是1-x,

1x+13i3

S^BDE=2x2x=x+mSAACE=2X3X(1—X)=2(1一%)，

S^BDE—2sMCE，

33

•••2x-(1-x)=x+^>

Zi乙

QQ7

解得：%=«♦2x+l=2x石+1=五，

oo4-

.•,点E的坐标是GS)

(3)解:MN・PQ的值为定值16,

♦・•点F（-3M在反比例函数图象上，

可得：-3〃=3,

解得：n=—1,

•••点F（—3,几）的坐标是（-3,—1）,

•••G是第一象限反比例函数图象上一动点，

设点G的坐标是（a,力，

设直线AG的解析式为y=krx+b&*0）,

（附+比=3

可得：I心3，

（曲+/?!=-

解得：［1一3一"，

尿4+3

•••直线AG的解析式为y=一（%+\+3,

当x=0时，可得：y=—？％+°+3=3+3,

aaa

•••点P的坐标是（0,|十3），

第20页

当y=o时，可得：一3久+3+3=0，

aa

解得：x=a+1»

.,•点M的坐标是(a+1,0),

设直线"G的解析式是y=k2x4-b2(k2工0),

(―3七+W=-1

可得：“上〃_3，

S2=1l

二直线5G的解析式是y=i%+1-l,

当％=0时，可得：丫二1汇+?-1=3-1,

•・•点Q的坐标是(。1一1),

当y=0时，可得：+1=0.

解得：%=a-3>

二点N的坐标是(a—3,0),

MN=|a-3-(Q+1)|=4,PQ=||-1-Q+3)|=4,

•••MN・PQ=4x4=16

【解析】【分析】(1)两个函数均过B点，只需要将点8(m,—2)代入直线y=2x+l中，求出点8坐标中的m

值，再把求出的点B的坐标代入y=K(kwO)求出k值，从而可知反比例函数的解析式；

(2)通过将两个函数联立方程组，可求出两个函数相交点的坐标，可算出BD=2,AC=3,E点的坐标不确定，

但E点在一次函数图象上，故设点E的坐标是(x,2x+1),则ZkBDE中8D边上的高是x+2,△ACE中AC边上

的高是17,根据三角形的面积公式可得：2x沁-％)=%+,,解方程求出工的值，即可得到点E的坐