相似三角形 同步分层作业（含解析）

4.3相似三角形同步分层作业

基础过关

I.已知△ABCsZXOERBC=6,EF=4,AC=9,则=（）

A.6B.4C.3D.2

2.如图，已知若A8=10,AC=8,AD=4,则AE的长是（）

A.3.2B.4C.5D.20

3.如图，在正方形网格中：ZkAAC、△E。/；的顶点都在正方形网格的格点上，AABCs^EDF,则

4.B'C且相彳以比为工，△八'B'CB"C”且相彳以比为三，则△人日。与4

33

4"B"C"的相似比为（）

A.AB.9C.9D.9或g

44949

5.如图，l\ABCsXCBD,AB=4,BD=6,则BC=

6.(1)如图1,△AOEs△若BC,对应边的比例式为

(2)如图2,AADESAABC,对应边的比例式为；

(3)如图3,AADE^AACB,对应边的比例式为.

DE

AA

图1图2图3

7.如图，E是4。上的一点，缸ABEsXAOB,且理=3,ZAE5=110°,/A=40°

DB5

(1)求/A6。与/。的度数，

(2)写出△ABE与AADB的对应边成比例的比例式，并求出相似比.

D

8.如图，△ABCsCQ.

(1)若胆=区，AO=4°〃，DC=6cm,求AC和BC的长;

AC4

(2)若NA=58°,NAOC=88°,求NB的度数.

(1)若N8=36°,ZD=117°,求N8AO的度数;

(2)若＞。=4血2BC=3AC,求A8的长.

1().如图，八0=40,BD=20,BC=50,N4=7()°,ZA8C=30°.

(1)求NAE7)和NAOE的大小；

(2)求。E的长；

(3)8c与。E的位置关系如何？试说明理由.

能力提升

11.如图，ZSABC中，点Z）在线段8c上，且△A8CSZ^O8A,则下列结论一定正确的是（）

A.AB2=BC*BDB.AB2=AC*CDC.AB・AD=BD,BCD.AB*AD=AD*CD

12.如图所不，若△DACS/UBC,则需满足（）

A.CD2=AD>DBB.Ad=BC・CDC.至典

CDBCD喘嘿

13.△ABC的三边长分别为，5，娓,2,△“：下的两边长分别为1和近，如果△/WCs^z）石F,

那么△OE尸的第三边长可能是下列数中的（）

A.V2B.亚C.返D.返

223

14.一个直角三角形两条直角边的长分别为4,8,另一个和它相似的直角三角形的一条直角边为12,

则另一条直角边的长为（）

A.6B.24C.6或24D.6衣或

15.已知△A8CSZ\AIBIC|SAA282Q,△A8C与△AIBCI的相似比为』，△ABC与△A282c2的相

5

似比为2,那么△A181。与AA282c2的相似比为

3-

16.如图，在△A8C中，D为AB边上一点、,XCBDsRACD,若AC=4,BD=6,则AO的长为.

CB

17.若一等腰三角形的底角平分线与底边围成的三角形与原图形相似，则等腰三角形顶角为一度.

18.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和

4及x,则x的值可以有一个.

19.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50。〃，60。〃,

80c〃z,三角形框架乙的一边长为2()c〃］，那么符合条件的三角形框架乙一共有种.

20.如图，己知△48尸，点C,。在边人8上，连接PC,PD,使NAOP=60°,^ACP^^PDB.

(1)请判定△PCO的形状，并说明理出；

(2)若4C=2,BD=3,求△AB尸的面积.

21.如图，已知AO,8c相交于点£且AAEBs△。石c,CD=2AB,延长。。到点G,使CG=2C7),

2

连接AG.(I)求证：四边形A8CG是平行四边形；

(2)若NGA£)=90°,AE=2,CG=3,求4G的长.

培优拔尖

22.将一张以A8为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条

直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似，剩下的是如图所示的四边形纸片A8CQ,

其中NA=90°,A8=9,BC=7,CQ=6,AO=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是()

—

LJ・J・1LX♦

244

23.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形.如果其中一个是等腰

三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，

如图，线段CO是△ABC的“和谐分割线”，△ACO为等腰三角形，/XCB。和△ABC相似，乙4

=46°,则N4CB的度数为()

ADB

A.113°B.92°C.113°或92°D.92°或134°

24.如图，点尸是正方形48CD边A8上一点(不与点A,8重合)，连接PD并将线段PD绕点P

顺时针方向旋转90°得到线段PE交边BC于煎F,连接3E,DF.

(1)若NA。尸=32°,求NFPB：

(2)若AP=6,求区£；

(3)若APEDsARFP,求空■.

AB

答案与解析

基础过关

1.已知8C=6,EF=4,AC=9,则。尸=()

A.6B.4C.3D.2

【点拨】直接根据相似三角形的对应边成比例解答即可.

【解析】解：'：△ABCSXDEF,BC=6,EF=4,AC=9,

•BC-AC即6―9

••丽一丽''7丽’

解得DF=6.

故选：A.

【点睛】本题考查的是相似三角形的

2.如图，已知若AB=10,AC=8,AD=4,则的长是（）

A.3.2B.4C.5D.20

【点拨】直接利用相似三角形的性质得出也=£Z,进而求出答案.

ACAB

【解析】解：

.AD=AE

**ACAB，

VAfi=10,AC=8,AD=4,

•.•—4-A,E■<

810

解得:AE=5,

故选：C.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的比是解题关键.

3.如图，在正方形网格中：△ABC、丛EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABCSXEDF,则

A.30°B.45°C.60°D.75°

【点拨】利用相似三角形的性质，证明NBAC=135°,可得结论.

【解析】解；,；AABCsgDF,

：.ZBAC=ZDEF=\35°,

/.ZABC+ZACB=\SO°-135°=45°,

故选：B.

【点睛】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题关键是证明N84C=I35°.

4.XXBCsX及B'C且相似比为小，△4'B'CsxzB"C"且相似比为岂，则△44。与4

33

A"B"C"的相似比为（）

A.AB.ac.AD.a或且

44949

【点拨】设△■/，，、XNBrC、△1'B"C"的边长分别为x、），、z,根据其相似比等于边长

的比即可解答.

【解析】解：设△4BC、小B'C'、△4"8〃C”的边长分别为x、y、z,

•・•△八8cs△人'夕c'且相似比为1,△/!'B'C's△八"R”c"且相似比为4,

33

.・.三=2，工=3,即x=2,Z=及，

y3z334

.•.三=_1,即△A4C与B"C"的相似比为2X&=2.

z9339

故选：C.

【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解.

5.如图，△ABC2CRD,AB=4,BD=6,贝UBC-_2^_.

【点拨】利用相似三角形的性质求解.

【解析】解：'：XABCsXCBD,

•・•'AB,=CB.

CBDB

：,CB1=ABBD=24,

VCZ?>0,

・・・CB=2近

故答案为：276.

【点睛】木题考瓷相似三佯形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边的比相等，都等于相

似比.

6.(I)如图1,对应边的比例J式为..DE；

-AB-AC_BC-

(2)如图2,△ADEs△人BC,对应边的比例式为妈=鲤=述.；

-AB-AC-BC-

(3)如图3,△AQES/\AC4,对应边的比例式为£。=延=典.

-AC_AB-BC-

【点拨】(1)利用相似三角形的性质得出答案;

(2)利用相似三角形的性质得出答案；

(3)利用相似三角形的性质得出答案.

【解析】解：(1)如图1./\ADE^/\ARC,

，对应边的比例式为：&=鲤=迈;

ABACBC

故答案为：延=延=典；

ABACBC

(2)如图2,•••△AOESAABC,

工对应边的比例式为：AD=AE=DE;

ABACBC

故答案为：AD=AE=DE;

ABACBC

(3)如图3,；△AOEsAACB,

・•・对应边的比例式为：AD=AE^DE.

ACABBC

故答案为：AD=AE=DE.

ACABBC

【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边是解题关键.

7.如图，E是A。上的一点，ZXABESZXAOB,且些=2,ZAEB=\\00,NA=40°

DB5

(1)求NAB。与/。的度数，

(2)写出AABE与AAOB的对应边成比例的比例式，并求出相似比.

D

【点拨】（1）山相似三角形的性质得出NA3O=NAE3=110°,再山三角形内角和定理求出/。

的度数即可；

（2）由相似三角形的性质即可得出答案.

【解析】解：（1）•••△A3ESA4Q3,

AZABD=ZAEB=\\（）<>,

AZD=I8O0-ZABD-2/1=180°-110°-40°=30°；

(2)V/^ABE^^ADB,

谓常嚼带相似比晦

【点睛】本题考查了相似三角形的性质；熟练掌握相似三角形的对应角相等、对应边成比例是解

题的关键.

8.如图，XABCs〉A3.

(1)若胆=±，AD=4cm,DC=6cm,求AC和8c的长;

AC4

(2)若NA=58°,NADC=88°,求N8的度数.

【点拨】（1）根据相似三角形对应边的比相等即可得到结论;

（2）根据相似三角形对应角相等即可得到结论.

【解析】解：（1）•••△ABCSAACQ,

・ABJC」BQ_5

一而RCD7'

**AD=4cm,DC=6cm,

，AC=5c〃？,BC=-^cm；

2

（2）:△ABCs△A。。，

AZACB=ZADC=^°,

•••NA=58°,

，NB=I8O°-Z4-ZACB=34°.

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比是解答此题的

关键.

9.如图，已知△A8CS/\OAC.

(1)若NB=36°,ZD=117°,求NBA。的度数;

(2)若AQ=4a〃，2BC=3AC,求AB的长.

【点拨】（1）由△ABCSAOAC,推出ND4C=N8=36°,ZBAC=ZD=\\7°,可得结论;

（2）利用相似三角形的性质求解即可.

【解析】解：（1）•••△A8Cs/\D4C,

・・.ND4C=N4=36°，ZiiAC=ZD=]\lt）,

/.ZBAD=ZDAC+ZBAC=36°+117°=153°：

（2）VAAfiC^ADAC,

・BC=AB

"ACDA'

\'2BC=3AC,

•••・BCI二3,

AC2

\'AD=4cm,

•••・AB,二3,

42

••AB—6cm.

【点睛】本题考查相似三先形的性质，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题，属于

中考常考题型.

10.如图，^ADE^/XABC,AD=40,8。=20,8C=50,NA=70°,ZABC=30°.

（1）求N4EQ和NAOE的大小；

（2）求OE的长；

（3）与7）石的位置关系如何？试说明理由.

【点拨】（1）由NA=70°,NABC=30°,即可求得/C的度数，然后由△AOES^ABC,根据

相似三角形的对应角相等，即可求得NAEO和NAQE的大小：

（2）由4。=40,BD=20,BC=50,根据相似三角形的对应边成比例，即可求

得DE的长;

(3)由△AOEs^ABC,根据相似三角形的对应角相等，即可得/AOE=NA8C,继而证得BC

//DE.

【解析】解：(1)VZA=70o,NA8c=30",

AZ6=180°-NA-NA8c=80°,

•/2Ao"XABC,

.••/AEO=/C=8(T,/AOE=/A6C=3(r;

(2)・・・4。=40,8。=20,

：.AB=AD+BD=60,

,?AWEs△ABC,

.40DE

••।二r

6050

解得：Z)E=独；

3

(3)BC//DE.

理由：VAADE^AABC,

，ZADE=NABC,

：.BC//DE.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想

能力提升

II.如图，△ABC中，点。在线段上，且则下列结论一定正确的是（）

C.AB*AD=BD・BCD.AB*AD=AD*CD

【点拨】根据相似三角形的性质进行计算即可得.

【解析】解：:△ABCs△084,

•••BID1=AB二AD・,

ABBCAC

2

•e-AB=BC«BD»AB*AD=BD*AC,

故选:A.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

12.如图所示，料丛DACs丛XB3则需满足（）

12

A.CD=AD*DBB.AC=BC-CDC.D.型=^£

CDBCDAAC

【点拨】根据相似三角形的判定定理依次判断即可.

【解析】解：由必二月。，。以可得CO：AD=BD：CD,由此得不出结论；

由=可得人C：RC-CDtAC,

•・・NC=/C,

•••△A8CS/\D4C,故3选项正确；

由£出得不出结论：

CDBC

由型=区■及N84C=NA/）C=90°可得结论，但题目中未提及.

DAAC

故选：B.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质和判定，熟知相关判定定理是解题关键.

13.△ABC的三边长分别为J5，瓜2,的两边长分别为1和“，如果△ABCSAOER

那么AOE厂的第三边长可能是下列数中的（）

A.V2B.亚C.返D.近

223

【点拨】本题可根据相似二角形的性质：相似三角形的对应边成比例，来求出△。石尸的第三边的

长.

【解析】解：设△DE尸的第三边长为x,

•・•AABCs4DEF,

且△A8C的三边长分别为、历，%,2,AOE/的其中的两边长分别为1和、反，

・1V3x

:.x=M，

即：△£）£b的第三边长为企：

故选；A.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等

14.一个直角三角形两条直角边的长分别为4,8,另一个和它相似的直角三角形的一条直角边为12,

则另一条直角边的长为（）

A.6B.24C.6或24D.6巫或

【点拨】设另一直角边为笛然后分两种情况利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解.

【解析】解：设另一直角边为羽

•・•两三角形相似，

・•.1=仝或工=包

128124

解得x=6或x=24.

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情

况讨论.

15.已知△48CSZ\A/IC|S/\A282c2,AABC与△AMICI的相似比为2，ZkABC与282c2的相

5

似比为2,那么AAi81a与4A282c2的相似比为

3-3-

【点拨】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出AiBi与A1B1的比值，也就是两三角

形的相似比.

【解析】解：•「△/WC与的相似比为』，与232c2的相似比为4

53

•»ABx481=1：5,AB：工282=2：3,

设AB=2x,则AI8I=10X,A2B2=3X,

4252=10：3,

:.与△A2/2C2的相似比为」上

3

故答案为：蛇.

3

【点睛】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出AIBI与A2及的比值，也就是两三角

形的相似比.

16.如图，在△A8C中，。为AB边上一点，△CBDSAACQ,若4。=4,BD=6,则A。的长为2

CB

【点拨】依据△CBDs/^ACO,可得NAC£>=NB,结合/A=NA,即可得出△ACOS^ABC,进

而得到A。2=4/)・人8,可得八。的长.

【解析】解：.:赳CBDs丛ACD,

/.ZACD=ZB,辿=或

ACAB

又•・,ZA=ZA,

:.△ACOS2M8C,

・AD=AC

**ACAB'

,KPAC2=AD*AB,

：,AC1=AD^(AD+BO),

V4C=4,BD=6,AB=AD+BD,

.\41=AD*(AQ+6),

解得AO=2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对

应边的比相等.

17.若一等腰三角形的底角平分线与底边围成的三角形与原图形相似，则等腰三角形顶角为度.

【点拨】根据△ABCS/\8C。，得到N4=N2,在△A8C中根据内角和定理得到等腰三角形顶角

为36度.

【解析】解：设Nl=x,

•：AB=AC

*,•N2=x,NC=2Y,

♦：AABCSABCD,

:./A=N2=x,

.,.2A+2V+,V-180O,解得x-36°,

，等腰三角形顶角为36°.

A

【点睛】本题考查相似三角形的性质以及三角形的内角和定理.

18.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和

4及x,则x的值可以有2个.

【点拨】由一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形的边长分别是

3和4及x,可得x可能是斜边或4是斜边，继而求得答案.

【解析】解：・・・一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形的边长分

别是3和4及x,

••・x可能是斜边或4是斜边，

.*.x=5或".

・・・x的值可以有2个.

故答案为：2.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质与勾股定理.此题难度不大，注意掌握相似三角形的对应

边成比例定理的应用.

19.要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架,已知三角形框架中的三边长分别为50mb60（7〃,

80c/zz,三角形框架乙的一边长为20c7〃，那么符合条件的三角形框架乙一共有3种.

【点拨】根据相似图形的定义，直接判断，求得正确结果.

【解析】解：三角形相似，那么它们边长的比相同,均为5：6：8,乙那个20cl的边可以当最短

边，最长边和中间大小的边.

故答案为：3.

【点睛】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，解题的关键是学会

用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

20.如图，已知AABP,点C,D在边A8上，连接PC,PD,使NAZ）尸=60°，且△ACPs△尸。艮

（1）请判定△尸CO的形状，并说明理由；

（2）若AC=2,BD=3,求△A8P的面积.

P

ACD°

【点拨】（1）根据三角形相似结合NA/JP=60。即可判断；

（2）根据三角形相似得出等式求出等边三角形边P。的长从而得出高，即可得出结果.

【解析】解：（1）△尸CO为等边三角形，理由如下：

^ACP^APDB,

，ZACP=ZPDB,

:・/PCD=NPDC,

・•・△PC。是等腰三角形,

又・・・乙4。尸=60°,

.••△PCO是等边三角形:

(2)•:△ACPsgDB,

・ACPC

••।,二r

PDBD

又・・・AC=2,BD=3,/XPCO的等边三角形,

•・•,2‘二PDr

PD3

:.PD=®(负值已舍)，

如图，过点P作P〃J_C。于H,

：.PH=^-PD=^2,,

22

・"△池•杷叩『鼻(2^6+3)X3^2,15^2+6^3

乙乙24

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

21.如图，已知A。，8C相交于点区且△4EBS/\OEC,CD=2AB,延长。。到点G,使CG=2CQ,

2

连接入G.(1)求证：四边形ABCG是平行四边形;

CG=3,求AG的长.

【点拨】(1)根据相似三角形的性质可得A8〃C。，再由CO=248,CG=1CD,可得A8=CG,

2

即可证明;

(2)由平行四边形的性质可得AG〃灰7,可得/A£8=9(T,再由CG=3可得48=3,利用勾股

定理可得8E,再由相似三角形的性质可得CE,从而得出4C,即可求解.

【解析】(i)证明：,:XAEBSXDEC,

:,NB=/BCD,

J.AB//CD,

即AB//CG,

\'CD=2AB,CG=2C7),

2

：.AB=CG,

・•・四边形ABCG是平行四边形；

（2）解：•・•四边形4BCG是平行四边形，AE=2,CG=3,

：.AG//BC,AG=BC,AB=CG=3,

VZGAD=90°,

••・NAE8=90°,

在Rl△人BE中，由勾股定理可得：

B£=VAB2-AE2*

即BE=yJ2^

•；AAEBsADEC,

・BE-AB=1

FCD~2

:.CE=2后

:.BC=BE+CE=3低,

：.AG=BC=3^/5.

【点睛】本题考查相似三先形的性质，勾股定理，平行匹边形的判定与性质，解题的关键是热练

掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质.

培优拔尖

22.将一张以A8为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条

直线剪掉•个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCQ,

其中NA=90°,A8=9,8C=7,CO=6,AO=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）

A・U・J・1\JL7・

244

【点拨】结合题意作出图形，分两种情况分析，利用相似求出相应的边长即可.

【解析】解：如图所示矩形ABE凡

,:△DEFs^BCE,

・DFEFDE

CFCB-BE

即三J_£x,

y72+x

'_27_

一旦

yT

：.DE=DC+CE=^-,故3不符题意;

4

••・BE=4Z)+Q/=透，故D不符题意;

4

如图所示矩形A8EF,

设尸C=x,DF=y,

，：ADEFSMBCE,

•・--F-C-=-D-C-=-D-F--

BEEFBF

即上

y+29x+7

.x=8

y=10

.\FD=10,故。不符题意；

BF=FC+BC=\5；

故选:A.

【点睛】本题考杳了矩形的性质的应用，三角形的相似的应用是解题关键.

23.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形.如果其中一个是等腰

三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，

如图，线段CO是△ABC的“和谐分割线”，ZVIC。为等腰三角形，△C8D和△ABC相似，NA

=46°,则N4C8的度数为()

C.113°或92°D.92°或134°

【