八年级数学上册全等三角形的证明及计算专练30道（附答案解析）

一.解答题（共30小题）

1.(黄州区校级模拟)如图，ZBAD=ZCAE=903,AB=AD,AE=AC,AF1CB,垂足为F.

（1）求证：△ABCgAADE；

（2）求NFAE的度数；

（3）求证:CD=2BF+DE.

c

2.（忠县期末）在AABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F.

（1）如图①，设/A=60',BE、CD分别平分NABC、ZACB,证明：DF=EF.

（2）如图②，设BE_LAC,CD_LAB,点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若NG=N6,BD=CD,证明:

3.（路北区期中）如图，在四边形ABCD中，AD=BC=4,AB=CD,BD=6,点E从D点出发，以每秒1个

单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C-B-C作匀速移动，点G

从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动.

(1)证明：AD〃BC.

（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有4DEG与4BFG全等的情况出现，请你探

究当点G的运动速度取哪些值时，会出现4DEG与4BFG全等的情况.

4.（北陪区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC,EB为其对角线，EA=ED.

(1)如图1,若NA=60°,ZCDE=120°,且CD+AB=BC.求证：CE平分/BCD：

(2)如图2,NA与ND互补，ZDEA=2ZCEB,若凸五边形ABCDE面积为30,fiCD=|AB=4.求点E

至UBC的距离.

5.（宜兴市期中）如图，在△ABC中，已知NABC=45°,过点C作CD_LAB于点D,过点B作BMJ_AC于

点M,CD与BM相交于点E,且点E是CD的中点，连接MD,过点D作DN_LMD,交BM于点N.

（1）求证：△DBN丝△DCM；

（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论.

6.（淅川县期末）如图L4ABC的边BC在直线I上，AC±BC,且AC=BC：△EFP的边FP也在直线I上，

边EF与边AC重合，且EF=FP.

（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系.

答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是、.

（2）将4EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接AP,BQ.请你观察、测量，猜想

并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系.答:BQ与AP的数量关系和位置关系分别是、.

（3）将4EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP、BQ.你认

为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

A(E)

7.(渝中区校级期中)如图，直线AB交x轴正半轴于点A(a,0),交y轴正半轴于点B(0.b),且a、b

满足Ja—4+|4-b|=0.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)D为OA的中点，连接BD,过点。作OE_LBD于F,交AB于E,求证：ZBDO=ZEDA；

(3)如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰RtZXPBM,其中PB=PM,直线MA交y轴于

点Q,当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值

8.(崇川区校级期末)如图1,点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分/ACB与y轴交于

D点,ZCAO=90°-ZBDO.

(1)求证：AC=BC；

(2)在(1)中点C的坐标为(4,0),点E为AC上一点，且NDEA=NDBO,如图2,求BC+EC的长;

(3)在(1)中，过D作DF1.AC于F点，点H为FC上一动点，点G为。(：上一动点，(如图3),当点

H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足NGDH=NGDO+/FDH,试判断FH、GH、OG这二者

之间的数量关系，写出你的结论并加以证明.

图1图2图3

9.(莆田期中)如图1,0A=2,0B=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt^ABC,

(1)求C点的坐标;

(2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰

RtAAPD,过D作DEJ_x轴于E点，求OP-DE的值;

-2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作RtAFGH,始终保

持NGFH=90°,FG与y轴负半轴交于点G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0),当G点在y

轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m-n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确

的，请找出正确的结论，并求出其值.

10.(南岗区校级月考)在aABC中，AB=AC,BDJLAC于点D,BE平分/ABD,点F在BD上，ZBEF=45°

(1)如图1,求证:BF=CE：

(2)如图2,作EM_LBE,交BC的延长线于点M,连接AM,交BE的延长线于点N,若NBAC=30。，请

探究线段EF与MN的数量关系，并加以证明.

图1图2

11.(运城期末)综合与探究

如图，在AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,CE的延长线交BD于点F.

(1)求证：ZXACEgaABD.

(2)若NBAC=NDAE=50°,请直接写出/BFC的度数.

(3)过点A作AH_LBD于点H,求证：EF+DH=HF.

12.［松桃县期末)如图①：AABC中，AC=BC,延长AC到E,过点E作EF_LAB交AB的延长线于点F,延

长CB到G,过点G作GH_LAB交AB的延长线于H,且EF=GH.

(1)求证：4AEF空△BGH；

(2)如图②，连接EG与FH相交于点D,若AB=4,求DH的长.

13.(两江新区期末)在RtZ\ABC中，NABC=90。，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连

接DE.AC=DE,BC=BE.

(1)求证：AB=BD；

(2)BF平分NABC交AC于点F,点G是线段FB延长线上一点，连接DG,点H是线段DG上一点，连接

AH交BD于点K,连接KG.当KB平分NAKG时，求证：AK=DG+KG.

14.（济南期末）如图1,ZiABE是等腰三角形，AB=AE,NBAE=45°,过点B作BC1AE于点C,在BC

上截取CD=CE,连接AD、DE并延长AD交BE于点P；

(1)求证:AD=BE；

（2）试说明AD平分/BAE；

（3）如图2,将aCDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由.

15.（渭滨区期末）如图，在四边形ABCD中，AD=BC=4,AB=CD,BD=6,点E从D点出发，以每秒1

个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C-B-C做匀速移动，点

G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有•个点到达终点时，其余两点也随之停止运动.

（1）试证明：AD〃BC.

（2）在移动过程中，小明发现兰点G的运动速度取某个值时，有4DEG与4BFG全等的情况出现，请你探

究当点G的运动速度取哪些值时，4DEG与4BFG全等.

16.（宁津县期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1,已知：

在aABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线I经过点A,BD1直线I,CE_L直线I,垂足分别为点D、E.证

明：DE=BD+CE.

（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条件改为：在4ABC

中，AB=AC,D、A、E三点都在直线I上，并且有NBDA=NAEC=/BAC=Q,其中a为任意锐角或钝角.请

问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过aABC的边AB、

AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高，延长HA交EG于点L求证：I是EG的中点.

IG

Cc

DAE1DAEI

BHC

图1图2图3

17.（富县期中）如图，在AABC中，NACB=60。D为△ABC边AC上一点，BC=CD,点M在BC的延

长线上，CE平分NACM,且AC=CE.连接BE交AC于点F,G为边CE上一点，满足CG=CF,连接DG

交BE于点H.

（1）求NDHF的度数；

（2）若EB平分NDEC,则BE平分NABC吗？请说明理由.

Ac

B匕----------------------------------M

18.（台安县月考）如图所示，BD、CE是AABC的高,点P在BD的延长线上，CA=BP,点Q在CE上，QC

=AB.

（1）探究PA与AQ之间的关系；

（2）若把（1）中的AABC改为钝角三角形，AOAB,NA是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画

出图形并证明你的结论.

一

19.（浦东新区期末）如图，在aABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°.

（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD,CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；

（2）将图①中的4ADE绕点A顺时针旋转a（0°<a<90°）,如图②，线段BD,CE有怎样的数量关系

和位置关系？请说明理由.

20.（吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

A

A\

B\:DC

E

图1图2

如图1,Z\ABC中,若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到

了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考:

（1）由已知和作图能得到△ADCz/\EDB的理由是

A.SSSB.SASC.AASD.HL

（2）求得AD的取值范围是

A.6<AD<8B.6WADW8C.1<AD<7D.1WADW7

（3）如图2,AD是aABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证：AC=BF.

21.（立山区期中）如图，已知aABC中，AB=AC=9cm,BC=6cm,点D为AB的中点.

（1）如果点P在边BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在边CA上由点C向点A运动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，4BPD与ACQP是否全等，请说明理由;

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，经过t秒后，4BPD与aCQP全等，求此时点Q的运动速度

与运动时间t.

（2）若点Q以②中的运动速度从点（：出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿AABC三

边运动，则经过,秒后，点P与点Q第一次在AABC的边上相遇？（在横线上直接写出答案,

不必书写解题过程）

D

Q

C

22.(太康县期末)如图，已知RtAABCgRtAADE,NABC=NADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD、

BE.

(1)请你找出图中其他的全等三角形；

(2)试证明CF=EF.

23.(潮安区期末)如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,E为CD的中点，连接AE、BE,BE1AE,延长AE

交BC的延长线于点F.已知AD=2cm,BC=5cm.

(1)求证：FC=AD；

24.1黄石期末)已知AABC和4DEF为等腰三角形，AB=AC,DE=DF,NBAC=NEDF,点E在AB上，点

F在射线AC上.

(1)如图1,若/BAC=60°,点F与点C重合，求证：AF=AE+AD：

(2)如图2,若AD=AB,求证：AF=AE+BC.

A

D

D

BL--------------—^C（F）\\/

图1图2）

25.（济南期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作NMDN,交边

AC、BC于M、N.

（1）若NACD=30°,ZMDN=60°,当/MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数

量关系？证明你的结论；

（2）当NACD+NMDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；

（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3,其余条件不变，则AM、

MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

①②③

26.（城关区校级期末）如图1,0P是NMON的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全

等三角形，并将添加的全等条件标注在图上.

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图2,在ZXABC中，NACB是直角，NB=60°，AD、CE分别是NBAC和NBCA的平分线，AD、

CE相交于点F,求/EFA的度数；

（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3,在AABC中，如果NACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否

仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

B

27.（长寿区期末）如图，ZXABC中，AOAB,D是BA延长线上一点，点E是NCAD平分线上一点，bB=

EC过点E作EFLAC于F,EG_LAD于G.

（1）请你在不添加辅助线的情况下找出一对你认为全等的三角形，并加以证明；

（2）若AB=3,AC=5,求AF的长.

28.（呼和浩特期中）如图：AE1AB,AF1AC,AE=AB,AF=AC,

（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论.

（2）连接AM,求证：MA平分NEMF.

29.（句容市校级月考）把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE,AD,

AD的延长线交BE于点F.说明：AF±BE.

B

D

o

30.(雅安期末)如图，在AABC中，AC=BC,NACB=90°,点D为aABC内一点，且BD=AD.

(1)求证：CD1AB；

(2)NCAD=15°,E为AD延长线上的一点，且CE=CA.

①求证：DE平分NBDC；

②若点M在DE上，且DC=DM,请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；

③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，宜接写出/CNE的度数.

一、解答题(共30小题)

1.(黄州区校级模拟)如图，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF±

CB,垂足为F

(1)求证：△ABC0Z\ADE；兴二

(2)求NFAE的度数；F\\

(3)求证：CD=2BF+DE.\

AE

证明：(1)VZBAD=ZCAE=90°,

，NBAC+NCAD=90°,ZCAD+ZDAE=90°,AZBAC=ZDAE,

在ABAC和ADAE中，

AB=AD

zBAC=zDAE,

AC=AE

/.△BAC^ADAE(SAS)；

(2)VZCAE=90°,AC=AE,.\ZE=45°,

由⑴知△BACg△DAE,

・・・NBCA=NE=45°

VAF±BC,，NCFA=90°,/.ZCAF=45°

/.ZFAE=ZFAC+ZCAE=45°+90°=135°

⑶延长BF到G,使得FG=FB,

VAF±BG,/.ZAFG=ZAFB=90°

在4AFB和4AFG中，

(BF=GF

ZAFB=ZAFG,

(AF=AF

/-△AFB^AAFG(SAS),/.AB=AG,ZABF=ZG,

VABAC^ADAE,/.AB=AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED,

/-AG=AD,ZABF=ZCDA,/-ZG=ZCDA,

VZGCA=ZDCA=45°

在4CGA和4CDA中，

(ZGCA=NDCA

jZCGA=NCDA，

VAG=AD

/■△CGA^ACDA(AAS)0'■CG=CD,

CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,/-CD=2BF+DE

2.(忠县期末)在aABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交

于点F.

(1)如图①，设NA=60°,BE、CD分别平分NABC、ZACB,证明：DF=EF

⑵如图②，设BEJ_AC,CD_LAB,点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若

在4BFD和△BFM中,

(BD=BM

Nl=N2,

(BF=BF

/-△BFD^ABFM(SAS),

・・・NBFM=NBFD=60°,DF=MF,/.ZCFM=120°-60°=60°,

VZCFE=ZBFD=60°,AZCFM=ZCFE,

〈CD平分NACB,AZ3=Z4,又CF=分,

在aECF和AMCF中，

(ZCFE=ZCFM

<FC=FC

(Z3=Z4

/.△ECF^AMCF(ASA)AEF=MF,

ADF=EF

(2)VBEXAC,CD±AB,/.ZBDF=ZCDA=90°,

.\Z1+ZBFD=90°,Z3+ZCFE=90°,ZBFD=ZCFE,

.\Z1=Z3,

VBD=CD,在aRDF和ACDA中

(ZBDF=ZCDA

<BD=CD

=N3

/.△BDF^ACDA(ASA),/.DF=DA,

VZADF=90°,/.Z6=45°,

VZG=Z6,.'.Z5=45°

.■・NG=N5,""•GD=DA,

/.GD=DF

3.(路北区期中)如图,在四边形ABCD中，AD=BC=4,AB=CD,BD=6,点E从

D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发,

以每秒3个单位的速度沿CTBTC作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点

D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之

停止运动.

(1)证明：AD〃BC.

(2)在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有4DEG与

△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，会出现

△DEG与△BFG全等的情况.

备用图2

⑴证明：在AABD和4CDB中

(AD=BC

AB=CD

(BD=DB

.'.△ABD^ACDB(SSS),AZADB=ZCBD,

/.AD/7BC；

⑵解：设运动时间为t,点G的运动速度为v,

当OVt＜时，

^△DEG^ABGF,则｛需二器，

.ft=4-3t.Ct=1

"l6-BG=BG,"LBG=3

v=3；

若△DEGgMGF,贝喘MH

ft=BG

(6—BG=4—3t'

MBG：-I（舍去）；

当Kt工制，

若△DEGgZkBFG,则｛嚣:案,

.Ct=3t-4.rt=2

"l6-BG=BG,"IBG=3,

・3

・・v=5；

若△DEGg/kBGF,则｛覆器,

.(t=BG.f1=1

"l6-BG=3t-4,"IBG=I1

综上，当点G的速度为3或1.5或1时，会出现4DEG与4BFG全等的情况

4.（北藉区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC,EB为其对角线，

EA=ED.

(1)如图1,若NA=60°,ZCDE=120°,且CD+AB=BC,求证：CE平分

ZBCD；

⑵如图2,NA与ND互补，NDEA=2NCEB,若凸五边形ABCDE面积为30,

且CD=9\B=4.求点E到BC的距离.

图1图2

（1）证明：延长CD到T,使得DT=BA,连接ET

VZCDE=120°,/.ZEDT=180°-120。=60°

VZA=60°,AZA=ZEDT,

在4EAB和aEDT中，

(AE=DE

NA=ZEDT,

(AB=DT

/.△EAB^AEDT(SAS),AEB=ET

・・・CB=CD+BA=CD+DT=CT,图i

在4ECB和中,

(EC=EC

EB=ET,

(CB=CT

/.△ECB^AECT(SSS),

・・・NECB=NECD,

ACE平分NBCD.

(2)解：延长CD到Q,使得NQED=NAEB,过点E作EH_LBC于H.

VZA+ZCDE=180°,ZCDE+ZEDQ=180°,

・・・NA=NEDQ,

在4AEB和中,

NAEB=NDEQ

EA=ED

ZA=ZEDQ

/.△AEB^ADEQ(ASA),/.EB=EQ,

ZAED=2ZBEC,/.ZAEB+ZCED=ZBEC,

・•・ZCED+ZDEQ=ZBEC,/.ZCEB=ZCEQ,

在4CEB和ACEQ中，

(EB=EQ

IZBEC=NCEQ,

(EC=EC

.'.△ECB^AECQ(SAS),

VS五边开2ABODE=S四边形EBCQ=2SAEBG=30,-'.SAEBC=15,

VCD=|2AB=4,AAB=6,CD=4,

ABC=CD+QD=CD+AB=1O,

A-x10XEH=15,/.EH=3,

29'

，点E到BC的距离为3

5.(宜兴市期中)如图，在AABC中，已知NABC=45。，过点C作CDJ_AB于

点D,过点B作BMJ_AC于点M,CD与BM相交于点E,且点E是CD的中点,

连接MD,过点D作DNLMD,交BM于点N

(1)求证：△DBN0△DCM；

(2)请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系,

证明你的结论

(1)证明：■/ZABC=45°,CD±AB,

・・・NABC=NDCB=45°,/-BD=DC,

VZBDC=ZMDN=90°,/.ZBDN=ZCDM

VCD±AB,BM±AC,

/.ZABM=90°-ZA=ZACD,

在△DBN和aDCM中，

(ZBDN=ZCDM

<BD=DC

(ZDBN=ZDCM

/.△DBN^ADCM.

(2)结论：NE-ME=CM

证明：由⑴△DBNgZkDCM可得DM=DN,作DFLMN于点F,又ND±MD9

.'.DF=FN,

在aDEF和aCEM中，

(ZDEF=ZCEM

jZDFE=NCME，

(DE=EC

/.△DEF^ACEM,/.ME=EF,CM=DF,

/.CM=DF=FN=NE-FE=NE-ME.

6.(淅川县期末)如图1,△ABC的边BC在直线I上，AC±BC,且AC二BC；

△EFP的边FP也在直线I上，边EF与边AC重合，且EF二FP

(1)示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数

量关系和位置关系.

答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是想乱B、答~LAP

(2)将4EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接

AP,BQ,请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置

关系，答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是驻AE、BQLAP

(3)将4EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延

长线于点Q,连接AP、BQ.你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和

位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

解:(1)AB=AP,AB±AP；

Q

(2)BQ=AP,BQ±AP；

(3)成立

证明：如图，・・・NEPF=45。

/.ZCPQ=45°.

,/AC±BC,/.ZCQP=ZCPQ,

CQ=CP

在RtZkBCQ和RtZ\ACP中，

(BC=AC

\ZBCQ=ZACP

(CQ=CP

/.RtABCQ^RtAACP(SAS)/.BQ=AP；

延长QB交AP于点N,

ZPBN=ZCBQ.

,/RtABCQ^RtAACP,ZBQC=ZAPC.

在RtZ^BCQ中，ZBQC+ZCBQ=90°,

NAPC+NPBN=90°

/.ZPNB=90°,/.QB±AP.

7.(渝中区校级期中)如图，直线AB交x轴正半轴于点A(a,0),交y轴正

半轴于点B(0,b),且a、b满足—4+|4-b|=0,

(1)求A、B两点的坐标；

(2)D为0A的中点，连接BD,过点0作0ELBD于F,交AB于E,求证：

ZBD0=ZEDA；

(3)如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰RtZ^PBM,其

中PB=PM,直线MA交y轴于点Q,当点P在x轴上运动时，线段OQ的长

是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段0Q的取值范围.

解：①'''Vs~4+14-b|=0

・・.a=4,b=4,/.A(4,0),B(0,4)；

(2)证明：作NAOB的角平分线，交BD于G,

ZB0G=Z0AE=45°,OB=OA,

Z0BG=ZA0E=90°-ZBOF,

/.△BOG^AOAE,/.OG=AE

•/ZG0D=ZEAD=45°,OD=AD,

.,.△GOD^AEDA..・.NGDO=NADE.

(3)过M作MNJ_x轴，垂足为N.

'/ZBPM=90°,/.ZBP0+ZMPN=90°.

'/ZA0B=ZMNP=90°,ZBP0=ZPMN,ZPB0=ZMPN,

'/BP=MP,/.APBO^AMPN(AAS),

MN=OP,PN=AO=BO,

OP=OA+AP=PN+AP=AN,

・・.MN=AN,NMAN=45。.

,/ZBA0=45°ZBA0+Z0AQ=90°

.'.△BAQ是等腰直角三角形.

0B=0Q=4.

・.・无论P点怎么动0Q的长不变.

8.(崇川区校级期末)如图1,点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x

轴上，CD平分NACB与y轴交于D点，ZCA0=90°-ZBDO.

(1)求证：AC=BC；

(2)在(1)中点C的坐标为(4,0),点E为AC上一点，且NDEA=N

DB0,如图2,求BC+EC的长;

(3)在(1)中，过D作DFLAC于F点，点H为FC上一动点，点G为0C

上一动点，(如图3),当点H在FC上移动、点G在0C上移动时，始终满足

ZGDH=ZGD0+ZFDH,试判断FH、GH、0G这三者之间的数量关系，写出你

的结论并加以证明

(1)证明：・・・NCA0=90°-ZBD0,/.ZCA0=ZCBD.

在aACD和4BCD中

(ZACD=ZBCD

jZCAO=ZCBD5

VCD=CD

/.△ACD^ABCD(AAS),/.AC=BC

(2)角平：由(1)知NCAD=NDEA=NDBO,

・・.BD=AD=DE,过D作DNJLAC于N点，如右图所示：

'/ZACD=ZBCD,/.DO=DN,

在RtABDO和RtAEDN中

(BD=DE

IDO=DN'

/.RtABDO^RtAEDN(HL),.'.BO=EN.

在△DOC和aDNC中，

[ZDOC=ZDNC=90°

)ZOCD=ZNCD

VDC=DC

.'.△DOC^ADNC(AAS),

可知：OC=NC；.・・BC+EC=B0+0C+NC-NE=20C=8.

(3)GH=FH+OG.

证明：由（1）知：DF=DO,

在x轴的负半轴上取OM=FH,连接DM,如右图所示：在△DFH和aDOM中

(DF=DO

NDFH=ZDOM=90°,

(OM=FH

.'.△DFH^ADOM(SAS),/.DH=DM,Z1=Z0DM.

・・.ZGDH=Z1+Z2=Z0DM+Z2=ZGDM.

在AFIDG和△MDG中

(DH=DM

ZGDH=ZGDM,

DG=DG

••.△HDG0△MDG(SAS),/.MG=GH,

・・.GH=OM+OG=FH+OG.

9.（莆田期中）如图1,0A=2,0B=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作

等腰RtAABC,

⑴求C点的坐标

（2）如图2,P为y轴负半轴上一个动点,

当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点

PA为腰作等腰RtZkAPD,过D作DEJ_x轴于E点，求OP-DE的值；

(3)如图3,已知点F坐标为(-2,-2),当G」:l

在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt^FGH,二^^匚二

始终保持NGFH=90°,FG与y轴负半轴交于点

G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0),当G多图、

点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m-n为定值；②

m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其

值.

解：(D过C作CMLx轴于M点，如图1,

•/CM±OA,AC±AB,/.ZMAC+Z0AB=90°

Z0AB+Z0BA=90°

则NMAC=N0BA,在aMAC和AOBA中，

(ZCMA=ZAOB=90°

)ZMAC=NOBA

VAC=BA

则△MAC之△OBA(AAS)

则CM=0A=2,MA=0B=4,则点C的坐标为(-6,-2)；

(2)过D作DQ_LOP于Q点，如图2,贝l]OP-DE=PQ,ZAP0+ZQPD=90°

ZAP0+Z0AP=90°,则NQPD=N0AP,在ZkAOP和△PDQ中,

[ZAOP=ZPQD=90°

jZQPD=ZOAP

VAP=PD

则aAOP之△PDQ(AAS)

/.0P-DE=PQ=0A=2；

(3)结论②是正确的，m+n=-4,

如图3,过点F分别作FS_Lx轴于S点,FT，y轴于T点，则FS=FT=2,

NFHS=NHFT=NFGT,

在AFSH和aFTG中,

ZFSH=ZFTG=90°

ZFHS=ZFGT

FS=FT

则△FSHgZkFTG(AAS)则GT=HS,

又TG(0,m),H(n,0),点F坐标为(-2,-2)4

MfO

・・・0T=0S=2,0G=|m|=-m,0H=n,~一

.'.GT=0G-0T=-m-2,HS=0H+0S=n+2,

则一2-m=n+2,贝I]m+n=-4图i]

10.(南岗区校级月考)在aABC中，AB=AC,BD_LAC于点D,BE平分NABD,

点F在BD上，NBEF=45°

(1)如图1,求证：BF=CE；

(2)如图2,作EMLBE,交BC的延长线于点M,连接AM,交BE的延长线

于点N,潜NBAC=30°k请探究线段EF与MN的数量关系，并加以证明

(1)证明：如图，在AB上截取BG=BF,连接EG

TBE平分NABD,/.ZGBE=ZFBE,

•/BG=BF,BE=BE,/.ABGE^ABFE(SAS),

ZGEB=ZFEB=45°,D

B

设NEBG=NEBF=a,NDBC=B,

・・・NAGE=NGBE+NGEB=450+a,

AB=AC,/.NC=ZABC=2a+p,

■/ZBDC=90°,ZDBC+ZC=90°,即2a+B+B=90。,

a+(3=90°,「・NABC=2a+0=45°+a,

/.NABC=ZAGE,

・・・GE〃BC,・・.NAEG=NC=NABC=NAGE,

.'■AG=AE,AAB-AG=AC-AE,即BG=CE,

'/BF=BG,・・.BF=CE；

(2)解：数量关系为：MN=2EF,理由如下：

•/ZBAC=30°,AB=AC,ZABC=ZACB=75°,

'/BD±AC,/.ZDBC=90°-75°=15°,

ZABD=75°-15°=60。,

「BE平分NABD,/.ZABE=ZEBD=30°,

・•・NBAC=NABE=30。,/.AE=BE,

/.ZBED=ZBAC+ZABE=75°,ZEMC=45°,

■/ZEBM=ZEBD+ZDBC=45°,/.ZEMC=ZEBM=45°,

・・・BE=EM,・・.EM=AE,\

/.ZEAM=ZEMA=|zCEM=15°,/\\A

ZAMC=ZEMC+ZAME=60°=ZBEC,/

如图，连接NC,・・.E、N、M、C四点共圆，

ZNCM=ZNEM=90°,

在RtZkNMC中，ZNMC=60°,

ZCNM=30°,/.CM=|MN,

•・・BE=EM,ZEBF=ZCEM=30°,BF=CE,

.'.△BEF^AEMC(SAS),/.EF=MC,

・・・MN=2EF

11.(运城期末)综合与探究

如图，在△ABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,CE的延长

线交BD于点F.

(1)求证：Z\ACE0Z\ABD.

(2)若NBAC=NDAE=50。，请直接写出NBFC的度数.

(3)过点A作AH_LBD于点H,求证：EF+DH=HF.

【分析】(1)可利用SAS证明结论；

(2)由全等三角形的性质可得NAEC=NADB,结合平角的定义可得N

DAE+ZDFE=180°,根据NBFC+NDFE=180。,可求得NBFC=NDAE,

即可求解；

(3)连接AF,过点A作AJLCF于点J.结合全等三角形的性质利用HL

证明RtaAFJ%RtZ^AFH,RtZ\AJE也Rt^AHD可得FJ=FH,EJ=DH,进而

可证明结论.

【解答】(1)证明：・・・NBAC=NDAE.

・・・NCAE=NBAD.

在aACE和4ABD中，

(AC=AB

ZCAE=ZBAD,

AE=AD

/.△ACE^AABD(SAS)；

(2)解：'/AACE^AABD,

/.ZAEC=ZADB,

/.ZAEF+ZAEC=ZAEF+ZADB=180°.

ZDAE+ZDFE=180°,

VZBFC+ZDFE=180°,

・・・NBFC=NDAE=NBAC=50。；

(3)证明：如图，连接AF,过点A作AJ_LCF于点J.

,/△ACE^AABD,

•'•SAACE=S^ABD,CE=BD,

'/AJ±CE,AH±BD.

11

・・・5CE・AJ=]BD・AH,

・・.AJ=AH.

在RtZ\AFJ和RtAAFH中,

AF=AF

A]=AH9

/.RtAAFJ^RtAAFH(HL),

/.FJ=FH.

在RtZ^AJE和RtZ\AHD中,

AE=AD

AJ=AH，

/.RtAAJE^RtAAHD(HL),

・・.EJ=DH,

・・.EF+DH=EF+EJ=FJ=FH.

12.（松桃县期末）如图①：ZiABC中，AC=BC,延长AC到E,过点E

作EFLAB交AB的延长线于点F,延长CB到G,过点G作GHLAB交AB

的延长线于H,且EF=GH.

（1）求证：△AEFgZxBGH；

（2）如图②，连接EG与FH相交于点D,若AB=4,求DH的长.

【分析】（1）利用AAS即可证明4AEFg△BGH；

（2）结合（1）证明4EFD丝Z^GHD,即可解决问题.

【解答】（1）证明：.・.AC=BC,

ZA=ZABC.

\'ZABC=ZGBH,

・・・NA=NGBH.

\'EF±AB,GH±AB,

.'.ZAFE=ZBHG.

在4ADG和ACDF中,

[NA=ZGBH

jZAFE=NBHG，

(EF=GH

/.△AEF^ABGH(AAS).

(2)解：VAAEF^ABGH,

/.AF=BH,

・・.AB=FH=4.

'.'EF±AB,GH±AB,

AZEFD=ZGHD.

在AEFD和AGHD中，

(ZEFD=ZGHD

jZEDF=ZGDH

(EF=GH

••.△EFD0△GHD(AAS),

1i

/.DH=DF=-FH=-AB=2.

22

13.(两江新区期末)在RtZ\ABC中，NABC=90°,点D是CB延长线上

一点，点E是线段AB上一点，连接DE.AC=DE,BC=BE.

(1)求证：AB=BD；

(2)BF平分NABC交AC于点F,点G是线段FB延长线上一点，连接DG,

点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K,连接KG.当KB平分NAKG

时，求证：AK=DG+KG.

【分析】(1)证明RtZ\ACB0RtZWEB即可解决问题；

(2)作BM平分NABD交AK于点M,证明△BMKgZ\BGK,AABM^ADBG,

即可解决问题.

【解答】证明：(1)在Rt^ACB和RtZ\DEB中，

(AC=DE

IBC=BE'

/■RtAACB^RtADEB(HL),

AB=BD,

(2)如图：作BM平分NABD交AK于点M,

「BM平分NABD,KB平分NAKG,

/.ZABM=ZMBD=45°,ZAKB=ZBKG,

,/ZABF=ZDB