广东省惠州某中学校2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷（解析版）

广东省惠州五中教育集团2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.在图形旋转中，下列说法错误的是()

A.在图形上的每一点到旋转中心的距离相等

B.图形上每一点移动的角度相同

C.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等

D.图形上可能存在不动的点

【答案】A

【解析】【解答】解：A、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，原说法错误，符合题意；

B、图形上每一点移动的角度相同，都等于旋转角，原说法正确；

C、图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等，原说法正确；

D、图形上可能存在不动的，原说法正确.

故答案为：A

【分析】根据旋转的性质(图形上每个点绕旋转中心旋转后，其对应点到旋转中心的距离与原距离相等，但

原图形上不同点到旋转中心的距离可能不同)结合题意对选项逐一判断即可求解。

2.已知关于x的一元二次方程为x?+px+q=0的根为x1=-2,x?=4.则关于x的一元二次不等式x2+px+q>0的

解集为()

A.xV-2或x>4B.-2<x<4C.x<-2D.x>4

【答案】A

【解析】【解答】解：••・关于x的一元二次方程%2+2%+9=0的根为与=一2,勺=4,

•••不等式/+p%+q>0可化为(x+2)(%-4)>0,

解得％V—2或x>4,

，关于K的一元二次不等式/+p%+q〉O的解集为xV—2或％44.

故答案为：A

【分析】根据一元二次方程的根将不等式化为(％+2)(%-4)>0,进而解不等式，从而即可求解。

3.如图，aDBE是由△ABC绕点B按逆时针方向旋转50。得到的.若AB_LDE,则/A的度数为()

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D

A

\//E\

BC

A.50°B.45°C.40°D.30°

【答案】C

【解析】【解答】解：:△OBE是由A48C绕点8按逆时针方向旋转50。得到的，

•••△DBE珏ABC/DBA=乙CBE=50°,

:.Z.A=匕D,

vAB1DEf

•••乙DBA+ZD=90°,

二^A=^D=90°-50°=40°,

故答案为：C

【分析】先根据旋转的性质得到^DBE=△ABC,^DBA=乙CBE=50。，再根据三角形全等的性质得到〃=

乙D,进而根据垂直进行角的运算即可求解。

4.将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90。至^AOB'的位置，点B的横坐标

为2,则点A'的坐标为()

A.(1,1)B.(V2,V2)C.(-1,1)D.(-V2,V2)

【答案】C

【解析】【解答】解：•・•在Rt/MOB中,OB=2,ZAOB=45°,

厅

-0A=0B-COS4/0B=2-=V2-

由旋转得OH=&.

过大作A'C1y轴于点C,如图所示：

第2页

•・•在RWOC,NAOC=45°,04’二企,

:-A'C=A'OsinziA'OC=&•*=1・

/.OC=AfC=1.

•・,点A在第二象限，

；・点片的坐标为(—1,1).

故答案为：C

【分析】先根据题意解直角三角形得到04=0B.COSN40B=2,¥=或，再根据旋转的性质得到。%=

立,过小作ACly轴于点C,进而解直角三角形结合题意得到OC=4C=1,再根据第二象限的点的坐标特

征即可求解。

5.如图，在平面直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O,交坐标轴于点E,F,0E=8,0F=6,则圆的直径

长为()

A.12B.10C.14D.15

【答案】B

【解析】【解答】解：连接EF,如图所示:

•・•ZEOF=90°,

・・・EF是直径,

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由勾股定理得EF=V62+82=10，

故答案为：B

【分析】连接EF,根据圆周角定理得到EF是直径，进而根据勾股定理即可求解。

6.若m,n为方程x2+2023x-l=0的两根,则(m2+2024m-l)(n2+2O24n-l)的值是()

A.1B.-1C.-4043D.4043

【答案】B

【解析】【解答】解：九为方程％2+2023%-1=0的两根，

.,.in2+2023m—1=0,n2+2023n—1=0,mn=-1,

(m2+2024m—l)(n2+2024n—1)

=(in2+2023m-1+m)(n2+2023n-1+n)

=(0+m)(0+n)

=mn

=-1.

故答案为：B

【分析】根据一元二次方程的根结合题意代入得到m2+2023m-1=0,n2+2023n-1=0,mn=-1,

进而根据整式的混合运算得到

(TH2+20247几—1)(n24-2024n—1)=(m2+2023m—1+m)(n2+2023n—1+拉)，从而化简即可求解。

7.已知点P(a+1,-f+1)关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是

【解析】【解答】解：TP(Q+1,-号+1)关于原点对称的点在第四象限，

・・・P点在第二象限，：.a+l<0,-3+1>0，

解得：QV-1,

则a的取值范围在数轴上表示正确的是二1_i_5.

-2^101

故答案为：C.

【分析】根据关于原点对称的点在第四象限可得点P在第二象限，第二象限点的坐标特征为(-,+),即可

得到关于a的两个小等式，联立求解即可得到a的范围，进一步在数轴上表不出来即可.

8.某产品进货单价为9()元，按10()元一件出售时能售出50()件.若每件涨价1元，则销售量就减少1()

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件.则该产品能获得的最大利润为()

A.5000元B.8000元C.9000元D.10000元

【答案】C

【解析】【解答】解：设单价定为X,总利润为W,

则可得销量为:500-10(x-100),单件利润为：(x-90),

由题意得,W=(x-90)[500-10(x-100)]=-10x2+2400x-135000=-10(x-120)2+9000,

故可得当x=120时，W取得最大，为9000元，

故答案为：C.

【分析】每件的利润x件数=总利润，把方程化成一般形式后配方即可。因为小于0,所以当x=120时,

W取得最大，为9000元。

9.如图，AB是。O的一条弦，直径CD_LAB,垂足为E,下列结论不一定成立的是()

A.AE=BEB.A。_吕。C.AC=BCD.OE=CE

【答案】D

【解析】【解答】解：•••直径CO_L48,

：.AE=BEfAD=TO,AC=

:.AD—BD,AC-BC,

••・A、B、C结论成立，不符合题意；

因为0E与CE的关系不能确定，故选项D的结论不一定成立，符合题意；

故答案为：D

【分析】先根据垂径定理得到AE=BE,AD=BO,AC=BC,则A。=BD,AC=BC,进而即可判断选项

ABC,从而即可求解。

10.如图，在平面直角坐标系中，0P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被。P截

得的弦AB的长为4&，则a的值是()

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C.3V2D.3+百

【解析】【解答】解：作PCJ_x轴于C,交AB于D,作PE_LAB于E,连结PB,如图，

•・,0P的圆心坐标是（3,a）,

AOC=3,PC=a,

把x=3代入y=x得y=3,

・・・D点坐标为（3,3）,

/.CD=3,

/.△OCD为等腰直角三角形，

・•・△PED也为等腰直角三角形，

VPE1AB,

AAE=BE=1AB=2V2,

乙

在RSPBE中，PB=3,

APE=7P52-BE2=J32-（2V2）2=1*

.\PD=y/2PE=V2,

•'•a=PD+DC=3+^2,

故答案为：B.

【分析】作PC_Lx轴于C,交AB于D,作PE_LAB于E,连接PB,由圆心坐标可得003,PC=a,把x=3

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代入尸得y=3,则D(3,3),CD=3,推出△OCD、△PED为等腰直角三角形，得至ljAE=BE4AB=2VL

在RSPBE中，应用勾股定理求出PE,进而得到PD,最后根据a=PD+DC进行计算.

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.若函数y=mx2-2x+l的最大值是5,则m=.

【答案】

4

【解析】【解答］解：y=mx2-2x+l的最大值是5,

,22

；・m<0,yMr=4ac—>=4m-(-2)=5,

4a47n

解得：m=-l

故答案为：-/

,22

【分析】根据二次函数顶点坐标的表达式结合二次函数的性质得到mvo,Y依火=4ac—b(-2)=5,进

4a4m

而即可求解。

12.如图，四边形ABCD内接于QO,它的一个外角NCBE=7O。,则NADC的度数为.

【答案】70°

【解析】【解答】解：,,,乙CBE=70°,

:,乙CBA=110°,

•・•四边形/1BCZ）内接于。。，

：.Z.CBA+Z-ADC=180°,

：./-ADC=180°-110°=70°.

故答案为：70°

【分析】根据补角结合题意得到乙CBA=110%进而根据圆内接四边形的性质得到十^ADC=180%

从而即可求解。

13.如图，CD是圆O的弦，直径AB_LCD于点E,AB=10,CD=8,则线段AC的长为.

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A

【答案】4遍或2遮

【解析】【解答】解：分两种情况讨论,

①如图,连接0C，

'：AB=10,CD=8,AB1CD,

-'-OC=^AB=5,CE=^CD=4,

在RtZkOCE中，OE=y/CO2-CE2=V52-42=3»

・ME=4O+OE=5+3=8,

在Rt△4CE中，AC=y/AE2+CE2=V82+42=4西;

②如图，连接OC,

*：AB=10,CD=8,AB1CD,

：-OC==5,CE=^CD=4,

在RMOCE中，OE=yJCO2-CE2=V52-42=3,

：,AE=AO-OE=5-3=2,

在/?£△ACE中，AC=\/AE2+CE2=<22+42=2信

综上，线段"的长为4遮或2底

故答案为：4\年或2方

【分析】根据题意画出图形，进而分类讨论，再根据垂径定理和勾股定理求出。E的长，进而得到4E,从而

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结合勾股定理即可求出AC的长。

14.在平面直角坐标系中，点尸(4,-6)与点(2(-4,m+1)关于原点对祢，那么m=.

【答案】5

【解析】【解答】关于原点对称的点坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，

则-6+m+1=0,

解得m=5,

故答案为：5.

【分析】先根据关于原点对称的点坐标规律可得一个关于m的一元一次方程，再解方程即可得.

15.如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3,0),点P(1,2)在正方形

铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90。，第一次旋转至图①位置，第二次旋转

至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为.

'第一次第二次

「B

O\力①@A

【答案】(6053,2)

【解析】【解答】解：第一次Pi(5,2),第二次P2(8,1),第三次P3(10,1),第四次P』(13,1),第五

次P5(17,2),...

・••点P的位置4次一个循环，

72017^4=504……1,

P2017的纵坐标与Pi相同为2,横坐标为5+3x2016=6053,

.\P2oi7(6053,2),

故答案为：(6053,2).

【分析】根据题意得到第一次P(5,2),第二次P2(8,1),笫三次P3(10,1),第四次P4(13,1),第

五次Ps(17,2),进而即可得到点P的位置4次一个循环，从而即可得到P2017的纵坐标与P相同为

2,横坐标为5+3x2016=6053.

三、解答题：本题共8小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.己知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求该抛物线的顶点坐标.

【答案】(1)解：设这个抛物线的解析式为y=ax?+bx+c；

由已知，抛物线过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点，

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(4a-2b+c=0

得］Q+b+c=0,；

Ua+2匕+c=8

解方程组,得a=2,b=2,c=-4；

・••所求抛物线的解析式为y=2x2+2x-4.

(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+i)2-^,

・••该抛物线的顶点坐标为(弓，-?),

【解析】【分析】(1)根据题意运用待定系数法即可求解；

(2)根据题意将二次函数的解析式化为顶点式，进而即可得到其顶点坐标。

17.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆0,交BC于点D,交AC于点E.

(1)求证：BD=DE，

(2)若晶的度数为50。，求NC的度数.

【答案】(1)连接AD,如图，

VAB=AC,

Z.ZBAD=ZCAD,

,•BD=DE

(2)解：:房1的度数为50。，且物)=腌,

・•・弗的度数为50。，

・•.9E的度数为10。。，

•*-AC=^X100°=50°f

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*：AB=AC.

・"C=1x(180°-50°)=65°

【解析】【分析】(1)连接AD,根据圆周角定理的推论结合题意得到NADB=90。，即ADJ_BC,进而根据等

腰三角形的性质(等边对等角)得到NBAD=NCAD,从而根据圆周角与弧的关系即可求解；

(2)根据弧长结合题意得到用的度数为100。，则乙84C=4乂100。=50。，再根据等腰三角形的性质结合

三角形内角和定理即可求解。

18.阅读下面的材料：

我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a?-2a+5的最小值.方法如下：

*.*a:-2a+5=a2-2a+1+4=(a-1)2+4,由(a-1)2>0,得(a-1)2+4>4；

・•・代数式a2-2a+5的最小值是4.

(1)仿照上述方法求代数式x2+10x+7的最小值；

(2)代数式4-8a+16有最大值还是最小值？请川配方法求出这个最值.

【答案】(1)解：Vx2+1Ox+7=x2+1Ox+25-18=(x+5)2-18,由(x+5)2>0,

得(x+5)2-18>-18；

・•・代数式x2+10x+7的最小值是-18

(2)-a2-8a+16=-a2-8a-16+32=-(a+4)2+32,

V-(a+4)2<0,

・・-(a+4)2+32<32,

・•・代数式-a2-8a+16有最大值，最大值为32.

【解析】【分析】(1)根据题意运用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，进而艰据非负性即可

求解；

(2)根据题意运用配方法把原式进行变形，进而根据非负性结合题意即可求解。

19.人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：

“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0,因此应如下检验：将整

式方程的解代入琼简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个

解不是原分式方程的解.”

请你根据对这段话的理解，解决下面问题：

已知关于x的方程/高=0无解，方程x2+kx+6=0的一个根是m.

(1)求m和k的值；

(2)求方程x2+kx+6=0的另一个根.

【答案】(1)解：分式方程去分母得：m-l-x=0,

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由题意将,x=l代入得：m-1-1=0,即m=2,

将m=2代入方程得：4+2k+6=0,即k=-5

（2）设方程另一根为a,根据根与系数的关系：则有2a=6,即a=3.

【解析】【分析】（1）根据题意先将分式方程去分母，根据分式方程无解将x=l代入整式方程，进而即可得到

m的值，将m的值代入已知方程，从而即可得到k；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求解。

20.如图，AB_LOB于B,圆心O在AC上，ZA=30°,D为品的中点.求证：

(1)AB=BC；

(2)四边形BOCD是菱形.

【答案】(1)VAB1OB于B,

・•・ZOBA=90°,

.\ZAOB=90o-30o=60°.

VOB=OC,

AZOBC=ZOCB,ZOCB=30°=ZA,

・・・AB=BC

(2)连接OD交BC于点M,

•・・D是蓝的中点,

；・OD垂直平分BC.

在RtAOMC中,

VZOCM=3()°,

.\OC=2OM=OD,

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・・・OM=MD,

・•・四边形BOCD为菱形

【解析】【分析】（1）先根据垂直得到Z0B4=90。，再根据等腰三角形的性质（等边对等角）结合三角形外

角得到4OCB的度数，从而即可得到乙力=4OCB=30。，再根据等腰三角形的判定即可求解；

（2）连接。。交8C于点M,根据垂径定理得到。。垂直平分BC,再结合题意根据含30。角的直角三角形的性

（1）在图（1）中画出△ABC关于y轴对称的△AiBCi,并写出点B的对应点Bi的坐标；

（2）在图（2）中画出△ABC绕点A按顺时针旋转90。后的△AB2c2,并写出点C的对应点C2的坐标.

图⑴

（2）如图（2）所示，ZkAB2c2即为所求，C2的坐标为（1,2）.

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图（2）

【解析】【分析】（I）根据作图-轴对称画图，进而直接读出点的坐标即可求解;

（2）根据作图旋转进行画图，进而直接读出点的坐标即可求解。

22.已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE.

（1）如图1,连接BG、DE.猜想：BGDE（填＞、=、＜）,并证明.

（2）如图2,如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG〃BD,BG=BD.

①求NBDE的度数；

②若正方形ABCD的边长是鱼，请求出△BCG的面积.

【答案】（1）=

（2）解：①如图，连接BE,

由（1）可知8G=DE,

•••CG||BD,

Z.DCG=乙BDC=45°,

Z.BCG=乙BCD+Z.DCG

=90°+45°

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=135°,

V乙GCE=90°,

:.iBCE=360°-乙BCG-Z.GCE

=360°-135°-90°

=135°,

:.乙BCG=乙BCE，

在和aBCE中，

BC=BC

乙BCG=4BCE,

CG=CE

.*.△BCG三△BCE(S4S),

:.BG=BE>

BG=BD=DEf

BD=BE=DE,

•••△8DE为等边三角形，

.・.乙BDE=60°；

②如图，延长EC交BO于点H,过点G作GNJ.8C交BC的延长线于点N,

在△BCE和△OCE中，

(BE=DE

BC=DC,

(CE=CE

BCE=△DCE(SSS),

:.乙BEC=乙DEC,

•••EH1BD,BH=gBD,

vBC=CD=y/2,BD=y/2BC=2

BE=BD=2,BH=1,

CH=1,

在Rt△BHE中,EH=y/BE2-BH2=V22-l2=痘

:・CE=痘一'

•••乙BCG=135°,

Z.GCN=45°,

.•.△G&V是等腰直角三角形，

•••GN=^CG=*CE=¥(8一1)，

乙乙乙

第15页

1

S^BCG=XGN

1L坛「

=2xV2x(V3-1)

>/3-l

=^-

【解析】【解答】证明：(1)・・,四边形ABC。和四边形CEFG都是正方形,

BC=DC,CG=CE,LBCD=^GCE=90°,

乙BCD+Z-DCG=Z-GCE+乙DCG,

艮|J4BCG=4DCE,

在ABCG和△OCE中，

BC=DC

乙BCG=乙DCE

CG=CE

•••△BCG三△OCE(SAS),

BG=DE•

故答案为：=

【分析】(1)先根据正方形的性质等等BC=DC,CG=CE,/.BCD=^GCE=90°,再根据三角形全等的判

定与性质S4S证明△BCG=△DCE即可求解；

(2)①连接8E,根据平行线的性质得到ZOCG=△8OC=45。，进而即可得到48CG=々8CE,根据三角形

全等的判定与性质SAS证明△BCG-△8CE得到8G=BE,从而等量代换根据等边三角形的判定即可求解；

②延长EC交B。于点〃，过点G作GNJ.BC交BC的延长线于点N,根据三角形全等的判定与性质SSS证明△

BCE三△DCE得至।叱8EC=NOEC,从而即可得到£77180,BH昊BD，再根据勾股定理求出EH的值，得

到CE