山东省烟台市2026年中考数学试题（解析版）

山东省烟台市2026年中考数学真题

L斗的相反数是（

【答案】B

【解析】【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“，号，求解即可。

【解答】；的相反数是：（犷主

故选B.

【点评】本题要求熟练掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上号：一个正数的相反数

是负数，一个负数的相反数是正数，。的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆。

2.一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图.下列

一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】D

【解析】【解答】解：A、沿对应直线折叠后，直线两侧部分可完全重合，属于轴对称图形；绕图形中心旋转

180。后无法与原图形重合，不属于中心对称图形，不符合题意：

B、绕中心旋转18（）。后与原图形完全重合，属于中心对称图形；不存在能使折叠后两侧重合的对称轴，不属

于轴对称图形，不符合题意；

C、沿对称轴折叠后两侧部分重合，属于轴对称图形；旋转180。后与原图形不重合，不属于中心对称图形，

不符合题意；

D、既存在对称轴使折叠后两侧完全重合，绕中心旋转180。后也能与原图形完全重合，同时满足两类图形的

定义，符合题意。

故答案为：D

【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定，解题时分别依据两类图形的判定规则,对每个选项进

行双向验证，先判断是否满足轴对称的折叠重合要求，再判断是否满足中心对称的旋转180。重合要求，最终

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筛选出同时符合条件的选项，熟练掌握两类图形的判定标准是解题的核心。

3.2026年1月，百度发布并上线原生全模态大模型文心5.（）正式版，该模型参数达24千亿，实现原生的

全模态统一理解与生成，多项权威评测稳居全球第一梯队.24千亿用科学记数法表示为（）

A.24x10"B.2.4x10"C.2.4x102D.0.24x1012

【答案】C

【解析】【解答】解：；1亿=108»1千亿=1000x108=IO”，

•••24-72£=24x1011

将其化为科学记数法的标准形式ax10〃（满足1W回＜10）,

可得24x1011=2.4x1012

故答案为：C

【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题时先将“千亿”单位转化为以10为底的幕的形式，再根据科学

记数法的规范要求调整系数，使其满足1到10的取值范围，同时对应调整指数得到最终结果，掌握科学记

数法的格式要求与大数单位换算规律是解题的重点。

4.如图是一个双耳罐器具，它的左视图是（）

从正而看

【答案】A

【解析】【解答】解：该双耳罐的两个把手分布在罐身左右两侧，从左侧观察时，双耳沿左右方向投影重叠，

会在视图顶部中间呈现两条平行竖线，解身整体保持容器的侧面轮廓，与选项A的特征一致；选项B呈现两

侧带耳的形态，对应主视图；选项C包含同心圆与横向轮廓线，对应俯视图；选项D未体现双耳结构，不符

合实际观察结果。

故答案为：A

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【分析】本题考查几何体三视图的判断，解题时先明确左视图的观察方向，再结合双耳罐的结构特征，分析

从左侧观察时双耳、罐身的投影形态，同时区分主视图、俯视图的不同投影特点，逐一排除错误选项，准确

理解三视图的观察角度与投影规律是解题的关键。

5.下列运算结果为m5的算式是()

A.m?-m2B.m54-mC.(m2)3D.m3+m2

【答案】A

【解析】【解答】解：A、m3-m2=m3+2=ms,符合要求：

B、m5^m=m5-1=m4,不符合要求；

C、(m2)3=m2x3=m6,不符合要求；

D、巾3与巾2所含字母的指数不同，不属于同类项，无法合并计算，不符合要求

故答案为：A

【分析】本题考查辕的四则运算法则，解题时分别依据同底数累乘除、鼎的乘方的运算规则计算各选项，同

时注意同类项才能合并的原则，逐一验证结果是否符合要求，熟练掌握各类幕运算的指数变化规律，是避免

运算错误的核心。

6.如图，某行李箱的齿轮密码是三位数，每一位数都是()-9中的一个数字，开箱时发现忘记密码的最后一

位，则一次成功打开该行李箱的概率是()

A-1B-Ic-iD.存

【答案】D

【解析】【解答】解：密码最后一位的可选数字为。到9,共10种等可能的结果，其中正确的密码仅有1种

结果。

根据概率公式，一次打开的概率「=告

故答案为：D

【分析】本题考查概率公式，解题时先确定最后一位数字的所有可能情况总数，再明确正确结果的数量，代

入概率公式即可求解，准确判断所有等可能结果的数量是解题的基础，注意。到9共包含10个数字，避免

漏数或多数。

7.如图，在折纸活动中,将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为AR.CD.若AR〃CE,

ZCAB=36°,则NCDB的度数为()

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C.18°D.20°

•••AB||CE,

"CE="4B=36°（两直线平行，同位角相等）。

由折叠的对称性可知，CO平分4FCE,

•••Z.FCD=Z.ECD=葭FCE=18°。

又•.•纸带对边互相平行，AB||CE,

：.XDB=乙FCD=18°（两直线平行，内错角相等）。

故答案为：C

【分析】本题考查平行线的性质与折叠的性质，解题时先通过作辅助线构造同位角，利用平行线的性质得到

乙FCE=KCAB=36°,再根据折叠的性质得到/FCD=乙ECD=\^FCE=18°,最后根据两直线平行，内错

角相等即可求解。

8.若整数m使关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于y的分式方程2-

普=呼华的解为非负数，则符合条件的所有整数m的和为（）

1—yy—i

A.0B.-1C.-2D.-3

【答案】B

【解析】【解答】解：先求解一元一次不等式组：

解不等式无+3>0,得%>-3；

解不等式4x-3<7H>得X<驾3。

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.••不等式组的解集为一3<x<手。

•••不等式组有且只有3个整数解，即整数解为

...o<竽<1,解得一3<m<1.

再求解分式方程：

方程两边同乘最简公分母y-1,得2（y-1）+3m=y+4m,

整理得y=m+2。

•・•分式方程的解为非负数，且分母y-l工0（避免增根），

.•・｛叱公？，解得m>-2S.mH-1。

Im+2Hl

综合两个条件，ni的取值范围为一2<m<1且m丰一1。

•••m为整数，符合条件的m为一2,0,1,

所有整数m的和为一2+0+1=-1»

故答案为：B

【分析】本题综合考查一元一次不等式组的整数解问题与分式方程的解的限制条件，解题时先分别求解不等

式组和分式方程，根据整数解的个数确定不等式组中参数的范围，再根据分式方程解为非负数且分母不为零

的限制进一步缩小参数范围，最后筛选出范围内的整数并求和，解题过程中需特别注意分式方程的增根情

况，避免遗漏分母不为零的限制条件。

9.如图，直线y=2x+2与x轴，y轴交于A,B两点，与反比冽函数y=1的图象交于C,D两点，CElx

轴，垂足为E,连接DE.若OA=2OE,则aCDE的面积是（）

A.8B.12C.16D.24

【答案】B

【解析】【解答】解：将y=0代入y=：x+2,

.-0=i%4-2,解得％=-4,

1-4(-4,0),04=4。

•：OA=2OE,/.OE=2,即£(2,0)。

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•••CElx轴，.•.点C的横坐标与点E相同，为2。

将％=2代入一次困数解析式，得y=；x2+2=3,

••"(2,3)。

将C(2,3)代入y=5,得k=2x3=6,

・♦.反比例函数解析式为y=1。

联立一次函数与反比例函数解析式：

y=8+2

6'

y=x

解需：强仁二

**•£)(—6,-1)o

利用割补法计算/CDE的面积，将其拆分为ZL4DE与ZL4CE的面积即,

4E=04+0E=4+2=6,

11

S^CDE=^AADE+S^ACE=々，力后，匕力1+］，"E,"cl

1

=2X6x1+x6x3=3+9=12o

故答案为：B

【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题时先通过一次函数求出点A坐标，结合线段长度

关系得到点E坐标，进而求出点C坐标并确定反比例函数解析式，再联立两个函数解析式求出交点D的坐

标，最后利用割补法将三角形拆分为两个同底的三角形，结合坐标计算面积，掌握函数交点的求解方法与割

补法求面积的技巧是解题的关键。

10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A(1,0),与y轴的交点C位于(0,-2)和

(0,-3)之间，顶点为P,对称轴为直线x=2.下列说法：®abc<0；②4a+b=()；(3)-l<a<-?；④设抛物

线与X轴的另一交点为B,当NCPB=90。时，a=_?.其中正确的是()

C.②④D.①③④

【答案】A

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【解析】【解答】解：①由抛物线开口向下，得QVO；

对称轴为x=_W=2>0,则b=-4a>0；

2a

抛物线与y轴交点在y轴负半轴，得c<0；

:.abc>0,故①错误。

②•••对称轴为％=-义=2,

整理得力=-4%即4Q+6=0,故②正确。

③将4(1,0)代入解析式，得Q+6+C=0,

将b=—4a代入，得Q—4Q+C=0,即C=3Q。

•・・点C在(0,-3)与(0,-2)之间，

-3<cV—2,即—3<3ciV_2>

解得一1<Q〈T，故③正确。

④由勉物线对称性，对称轴为％=2,4(1,0),则另一交点8(3,0)。

由c=3a得C(0,3(z)；将x=2代入解析式，

得y=4Q+2b+c=4Q—8Q+3Q=-Q,即顶点P(2,—Q)。

山勾股定理分别表示三条线段的平方：

PC2=(2-0)2+(-Q-3ay=44-16a2,

PB2=(3-2/+(o+Q)2=i+Q2,

BC2=(3-0)2+(0-3a¥=9+9a2.

2

•••乙CPB=90°,由勾股定理逆定理得PC?+PB?=BC,

代入得4+16a2+i+=9+9Q2,

整理得8a2=4,解得Q=±§。

•••Q<0,Q=_乎，故④正确。

综上，②③④正确。

故答案为：A

【分析】本题考查二次函数的图象与性质综合，解题时先根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点

位置判断系数符号，验证结论①；再利用对称轴公式变形验证结论②；接着结合函数过点A的条件，用a

表示c.结合c的范围解不等式验证结论③；最后利用抛物线对称性得到点B坐标，结合勾股定理与直角条

件列方程求解a的值，验证结论④,熟练掌握二次函数系数与图像的对应关系，以及勾股定理在坐标系中的

应用是解题的核心。

X

11.若质方在实数范围内有意义，则实数X的取值范围是.

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【答案】

【解析】【解答】解：・.・后二T位于分母位置，

2x—1>0,

解得x*。

故答案为:x>i

【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，解题时需注意，当二次根式位于分母位置时，被开方数不

仅要非负，还不能为零，因此需列严格大于零的不等式求解，准确区分一次根式在分子和分母时的不同限制

是避免出错的关键。

12.计算5一1）。+（一苏3+6石的结果为

【答案】-3

【解析】【解答】解：零指数累：非零数的o次事为1,故（乃一1）0=1；

/1、-311Q

负整数指数抽（一2）守=胃=；

算术平方根：6石=4。

将各项结果相加:1+（-8）+4=-3.

故答案为：-3

【分析】木题考查实数的混合运算，涉及零指数幕、负整数指数基与算术平方根三个知识点，解题时分别根

据对应运算法则计算每一项的值，再按照有理数加减法则求和，准确掌握负整数指数箱的运算规则，避免符

号计算错误是解题的重点。

13.路上一群马车行，车车坐人都相等.五人同车三车空，四人同车九步行.问车有多少辆，共有多少人？设

有x辆车、y个人，根据题意，可列关于x、y的方程组为.

【解析】【解答】解：“五人同车三车空”，即实际载人的车有％-3辆，每辆坐5人，总人数可表示为y=

5（x-3）：

“四人同车九步行”，即每车坐4人,剩余9人未乘车，总人数可表示为y=4T+9c

联立可得方程组：

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(y=5(x—3)

Iy=4%4-9

故答案为：F;受六)

【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题时分别分析两种乘车场景下总人数的表达形式，

以总人数为等量关系列出两个方程，联立得到方程组，准确理解“三车空”"九步行''的实际含义，正确表示总

人数是解题的核心。

14.如图，正五边形ABCDE的边长为10,连接AC,以AB为直径作。O,与AC交于点F,与CB的延长

线交于点G,则阴影部分扇形GOF的面积为.

【答案】竽7r

【解析】【解答】解：连接4G,

•••五边形48CDE是正五边形，

••・AB=BC=10,内角和为(5-2)x180°=540°,

每个内角4=半=108°。

在ZL4BC中，AB=BC,

n.180—108o/。

：•乙BAACr=ZLACB=----------------=36v

♦••AB是。。的直径，

.•.乙4GB=90°(直径所对的圆周角为直角)。

在RMAGC中，/.GAF=90°-Z-ACB=90°-36°=54°。

根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，

•••圆心角4GOF=2/.GAF=2X540=108°。

。。的半径==>3=5,

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代入扇形面积公式得:

S_H7TZ-2_1087TX52_15

'扇形TGOF~——360―—下小

故答案为：竽7r

【分析】木题综合考查正多边形的性质、圆周角定理与扇形面积计算，解题时连接AG,先利用正五边形的内

角公式得到乙A8C=应=108°，再结合直径所对圆周角为直角的性质结合题意得到乙G/F=90°-乙1CB=

90°-36°=54°,通过圆周角定理得到乙G。尸=2AGAF=2X54,=108°,最后代入扇形面积公式即可求

解。

15.如图，以原点O为顶点作边长为2的菱形OAiA2A3,点A3在x轴上，=60。,将点A3向右A3平移

2个单位得到点A4,以A4为顶点作与菱形OAiA2A3全等的菱形.A4A5A6A%,点A?在x轴上；再将点A7向右

平移2个单位得到点A&,以As为顶点作与菱形，OAiA2A3全等的菱形AxAoAioAu,点人口在x轴上；…；

•••OH=041•cos60°=1,A1H=OAX-sin60°=V3»

即%(1,V5),依次推导可得同2(3,甸,4(2,0)。

由平移与作图规律可知，每8个点为一个循环周期，每个周期整体向右平移8个单位长度。

•••126=8x15+6,

••・&26的位置与第一个周期内的4位置规律一致。

同理求得第一个周期内力6(5,—V3)，

观察规律可得，第九个周期的对应点横坐标为5+8(n-l),纵坐标保持不变。

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当n二16时，横坐标为5+8x15=125,纵坐标为一百，

即为26（125,一⑥。

故答案为：（125,-百）

【分析】本题考查图形规律探究与菱形的性质，解题时先根据菱形的边长和角度结合题意解直角三角形求出

4（1,心），依次推导可得4（3,遮），&（2,0），进而即可得到每8个点为一个循环、每个循环向右平移8个单

位的规律，再通过带余除法确定&26在循环中的位置，结合坐标变化规律求出最终坐标即可。

16.如图1,点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A-BTC-D的方向运动至点D停止，连接AP,Q为

AP的中点，连接BQ.设点P的运动路程为x,线段BQ的长为y,图2表示点P从A运动到C的过程中y与

x的函数关系.当点P运动到CD中点时\BQ的长度为.

【答案】畔

乙

【解析】【解答】解：由函数图象可知，当点P与点B重合时，BQ取得最小值3,

此时Q为AB中点，8Q=3,即48=6。

当点P运动到点C时，BQ=5,

此时Q为AC中点，在矩形中乙1BC=90°,

由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得BQ=；/1C=5,即/C=10。

在RC4A8C中，由勾股定理得：

BC=>/AC2-AB2=V102-62=8，

二矩形中CD=AB=6,AD=BC=8。

当P为CD中点时，延长BQ交CD的延长线于点E,

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BC

P

AD

E

-AB||CD,:♦乙ABQ=(E,乙BAQ=LEPQ,

又YQ为AP中点，AQ=PQ,

AABQ=APEQ(AAS),

:.BQ=EQ,PE=AB=6O

•••P是CD5点，"=±CD=3,

CE=CP+PE=3+6=9。

在Rt/BCE中，BE=y1BC2+CE2=V82+92=^<145»

“1

•••BQ="匕=--2—。

故答案为：萃

【分析】本题考查动点问题的函数图象与矩形的性质，解题时先从函数图象的特殊点入手，根据题意得到当

点P与点B重合时，8Q取得最小值3,此时Q为AB中点，BQ=^AB=3,即48=6,当点P运动到点C

时，BQ=5,进而结合题意根据直角三角形斜边上的中线的性质得到BQ=^AC=5,即4c=10,从而根据

勾股定理即可得到BC的长，再根据矩形的性质结合题意得到CD=48=6,AD=BC=8-,当P为CD中点

时，延长BQ交CD的延长线于点E,根据三角形全等的判定与性质结合题意证明ZL4BQ会“EQ(AAS)得

到BQ=EQ,PE=AB=6,再结合勾股定理求出BE,从而即可求解。

17.先化简、再求值：/U+FJ-1，其中冈二1.

X2-2X+1以-2

■小田、x2+xx1x(x+l)2(x-l)12(x+l)12x+2x-12x+2-x+lx+3

【答案】解：-1=—~^T=^-1=^I>

I"

•»x=±1,

当X=1时，原式无意义；

当为=—1时，原式==马=—1

—1—1-Z

【解析】【分析】本题考查分式的混合运算与分式有意义的条件，先将分式除法转化为乘法运算，对各分式的

分子、分母进行因式分解，通过约分化简第一项，再与1通分计算，完成整个式子的化简；根据绝对值的性

质得到X的两个可能取值，结合分式分母不为零的限制，排除使原式无意义的取值，将剩余的X值代入化简

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后的式子计算最终结果。

18.为庆祝长征胜利9（）周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品.已如某款文创产品的成本价是每件2（）

元，日销售量y（件）与每件售价x（元）的函数关系如图所示.

（1）求y与x的函数表达式；

（2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每

件的售价为多少元.

【答案】（1）解：设y与％的函数表达式为y=kx+b,

将点（30,40）和点（40,30）的代入得：糕觉?：然，

IU—DU

解得：e：葭，

•••y与》的函数表达式为y=-x+70；

（2）解：根据题意得。一20）（-％+70）=525,

整理得：x2-90%4-1925=0,

解得；Xi=35,也=55,

•••尽可能的让利于顾客，

♦*,x=35,

即该款文创产品每件的售价为35元.

【解析】【分析】本题考查一次函数与一元二次方程的实际应用。

（1）设一次函数的一般式，将图像上两个已知点的坐标代入，通过解二元一次方程组求出系数，即可得到

函数表达式；

（2）根据“总利润=单件利润x销售量”的等量关系，用含x的式子表示单件利润与销售量，列一元二次方程

求解，再结合“让利于顾客”的要求选择较小的售价作为最终结果，

19.【综合与实践】

活

动测算矩形广告牌的面积

主

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题

测

量

皮尺、无人机、计时器、计算器等

工

具

测

如图，矩形广告牌ABCD的边CD为11米，BC与水平地面垂直.支柱EF长6.4米，旦

量

垂直于地面.无人机从N点起飞，以,3米/秒的速度竖直向上飞行8秒到达M点，此时测

过

得C点的俯角为67.4。，D点的俯角为36.9。（图中各点均在同一平面内）.

程

水平线G------------------

-----♦-7人M

9

Z,1

活模✓./

Zt*

Z9

Z■/1

动型.■，/,

_____•____

C:

I

过建1

1

r1

程构1

AE

F:N

参

考sin67.4°=0.92,cos67.4°M.38,tan67.4°~2.40,sin36.9°=0.60,cos36.9°^0.80,

数tan36.9°~0.75.

据

问题解

求矩形广告牌ABCD的面积（结果精确到1平方米）.

决

【答案】解：如图，过点GB分别作MN的垂线，垂足分别为H,P,贝I」四边形CBPH,EFNP是矩形,

依题意，MN=3x8=24,乙GMO=36.9。,ZGMC=67.4。，GM||CD,DC=11,PN=EF=6.4

：.LMDH=乙GMD=36.9°,ZMCH=乙GMC=67.4°

设MH=x,则km4MDH=备=tan36.9°«0.75,tan^MCH=告=tan67A°«2.4

xX

：.DC=DH-CH=^-^=U

第14页

解得：x=12

：.MII=12

：.CB=HP=MN-MH-PN=24-12-6.4=5.6

的面积=BCxDC=5.6x11=61.6=62

答：矩形广告牌4BCD的面积约为62平方米

【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题时过点C,B分别作MN的垂线，垂足分别为H,P,

则四边形C8P”，EFNP是矩形，法而根据题意得到MN=3x8=24,乙GMD=36.9。,4GMC=67.4°,

GM||CD,DC=11,PN=EF=6,4,则乙M。"=JGM。=36.9°,=4GMC=67.4°,设M”=X,则

YY____

tanZ-MDH=丽=tan36.9°«0.75.tanz.MCH=丽=tan67.4°«2.4,进而即可求出MH,再根据矩形的面

积结合题意即可求解。

20.AI技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧AI自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助

教模型''两种模型供学生使用.使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查(每份问卷涉及

两种模型，评分均为0〜10的整数，单位：分)，并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得

到如图图表：

O

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

类别平均数/分中位数/分众数/分

数字人模型ab7

AI助教模型88U

请根据上述信息解答下列问题：

(I)填空：a=,b=,c=,m=；

(2)运营商准备对“AI助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女

生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男

生的概率.

【答案】(1)7.2；7：8；3()

(2)解：

开始

男1男2女

/\/\Z\

男2女男1女男1男2

共有六种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况由2种，

・・・P(抽到2名男生)=H

【解析】【解答】(1)解：元=5x6+8x7/5x8+2x9=72

••a=7.2；

一共20个数据从小到大排列，第10和11个数据的平均数是中位数,

由柱状图知第10和11个数据都是7.

・••中位数为7,

即b=7；

由扇形统计图可知%/助教模型''中8分出现次数最多，

c=8；

•・♦扇形统计图中8分占百分比为：掷x100%=40%,

/.1-5%-15%-10%-40%=30%,

即m=30；

【分析】本题考查统计量的计算与古典概型的概率求解。

(1)计算平均数a时，根据条形统计图中各分数的对应人数，用加权平均数公式计算；求中位数b时，将

20个数据从小到大排序，取第10和第11个数据的平均数；求众数c时，根据扇形统计图判断出现次数最多

的分数；求m时，先计算8分对应的圆心角占比，再用1减去其他各分数的占比得到结果；

(2)先通过列表或画树状图列出所有等可能的抽取结果，再统计恰好抽到2名男生的结果数，代入概率公

式计算对应概率。

21.如图，矩形ABCD中，AC是对角线，请解决下列问题：

(1)将△ABC绕点A旋转后，点B的对应点为点E,点C的对应点为点F,且点E在线段AC上，请用

尺规作出旋转后的图形(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在(1)的条件下，若AB=2,BC=4,EF与AD交于点G,求FG的长.

第16页

【答案】（1）图形如图所示:

：,Z-ABC=20=90°,

由（1）知△力EF"ABC,

：.AE=AB=2,EF=CB=4,Z-AEF=zZ?=90°,

VzC/lD=^.EAG^AEG=乙D

/.△AEGs〉ADC,

.AE_EG

••而=砧'

.2_EG

,，4=^-,

：.EG=1,

：.FG=4-1=3.

【解析】【分析】本题考查图形的旋转作图与相似三角形的判定及性质。

（1）作图时以A为圆心、AB长为半径画弧，与AC的交点即为点E,再以A为网心、AC长为半径画弧，

结合旋转角相等的特点确定点F的位置，连接EF即可得到旋转后的三角形；

（2）先根据旋转的性质得到对应边、对应角相等，结合矩形的内角特征证明/4EG与ZL4DC相似，利用相似

三角形对应边成比例求出EG的长度，再由EF与BC相等，通过线段差求出FG的长。

22.如图，△ABC中，ZC=90°,。是边AB上一点，以OB为半径作。O,分别与BC,AB交于D,E两

点，与AC相切于点F,连接EF、BF.

第17页

D

(1)求证：介=@；

(2)试用等式表示线段BE,BD,CD之间的数量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)证明：如图，连接OF,

〈AC是O。的切线，

.*.Z1+Z2=90°

VzC=90°,

・"4+/2=90°

."1=Z4

又「OF=OB

Az.1=z3

，乙3=44

:脚=孙

(2)BE=BD+2CD,

证明：如图，连接FD,过点尸作FG_LBE于点G,

E\Gb

：zFGB=Z.C=90°

由(1)可得上FBC=Z.FBE

第18页

又•：FB=FB

・•・△”"SAFBG{AAS)

：.FC=FG.BC=BG,

•••即=相)

：.FD=FE,

:,RtAEFG三RtdDFC(HL)

:・CD=EG

：.BE=BGEG=BC+CD=BD+2CD,即BE=BD+2CD

【解析】【分析】本题考查圆的切线性质、弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质。

(1)先连接OF,根据切线的性质得到OF与AC垂直，结合NC为直角推出OF与BC平行，得到内错角相

等；再结合半径相等推出角相等，等量代换得到两个圆心角相等，进而证明对应的弧相等;

(2)先过点F作AB的垂线，结合角平分线的性质和三角形全等的判定与性质证明△F8CWAFBG(44S)得

到FC=FG,BC=BG,再由等弧对等弦得到F。=FE,i正明Rt△EFG=/?tA。尸C(HL)得至ljCD与EG相

等，最后通过线段和差推导得出三条线段的数量关系。

23.图1

如图1,△ABC^AADE,缥=2.当点D,E分别在边AB和AC上时，空的值是,

(2)【变式探究】

如图2,将(1)中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE,BD,AC

与BD交于点0,CE与BD的延长线交于点F.

第19页

①求弟的值；

②写出NBAC和NBFC的数量关系并证明.

（3）【联系拓广】

如图3,矩形ABCD中，AB=3,BC=6,点E在边BC上且BE=2,连接AE.F是直线BC上的动点，作

△AFG^AABE,连接CG,EG.

①当点F在线段CB的延长线上，且EG=EA时，求EF的长；

②当CG的长度最小时，直接写出此时BF的长.

【答案】（1）?

（2）解：①'•△ABC〜,

・.嗡=强LBAC=LDAE'

：,LBAC4-Z.CAD=Z.DAE+Z.CAD,器=器=：,

：.^BAD=2LCAE,

△BADCAE,

.BD_AB_2

，aCE=AC=3;

②NBAC二NBFC,证明如下：

连接AF,

由①得△BAD^ACAE,

:.ZABD=ZACE,即ZABF=ZACF,

・••点A、B、C、F四点共圆，

AZBAC=ZBFC

(3)解：①•・•四边形/BCD为矩形，

・••乙48c=90。，

：-AE=7AB2+BE2=VT5，

9：^AFG-△ABE,

：.LAFG=乙ABC=90°,Z.FAG=乙BAE,LAGF=^AEB,

第20页

•・•点尸在线段C8的延长线上,

：.^AGF=<LAEF，

・••点A、尸、G、E四点共圆,

：.^AFG+^AEG=180°,

：.Z-AEG=90°,

;EG=EA=V13,

•­AG=y/AE2+EG2=届,

'：LFAG=Z.BAE,

BE_2

Atanz.FAG=tanz.BAE=AB=3f

FG_2

tanZ-FAG=

而二S

设/G=2x,则4/=3x,

由勾股定理得+FG2=4G2,

__2

(3x)2+(2x)2=(V^)'

・,・％=企(负值不符合题意，舍去;，

••AF=3x=3A/2»

:.BF=\AF2-AB?=3，

：.EF=BF+BE=5；

②爵

【解析】【解答］解：(1);△ABC,

.AD_AB_2

^AE=AC=T

：-AD=^AE，AB==zAC，

•・•点。,E分别在边4B和4c上,

：.BD=AB-AD,CE=AC-AE,

:.BD_AB-AD__弘_l(AC-AE)_2.

'~CE=AC-AE='AC-AE=*AC-AE=丁

(3)②•「主动点F在直线BC上，

・•・从动点G必须在某一直线上，

•・•当点尸在点8时，点G在点E的位置，

・••点G在直线EG上运动，

第21页

当CGJEGH'hCG的长度最小，为CGi，此时点尸在Fi处,

由①得4AEG=90°,

:•乙AEB+乙BEG=4AEB+乙BAE=90°,

/.Z.BEG=Z.BAE»

ZBEG=乙CEG2

Z.BAE=Z.CEG1>

2

tan/.CEG=tanZ-BAE—司,

1J

.££i,2

,•西一4'

设EG；=,,则EG】=3Q,

由勾股定理得CG/+EG/=CE2,

A(2a)2+(3a)2=(6-2)2,

解得。=零(负值不符合题意舍去)，

•斤「212/n”98713

••cG1=3cz=-后一，CG1=Za=]3，

作G】M_L8C于M,

VSACG]F=/Gi•CG1="CE-G1M

X

，GiM=EG1CG1__TS~~TS~_24,

-CE--4-13

•；UBFi=zARGi==90°,

，乙AF[B=90。一乙G[F[M=L£GIM,

:AF$F[G]M>

・F1G1_GIM

J1G—2

,~AF\~y

・3.32436

..5F1=2^iM=2Xn=n

综上所述，当CG的长度最小时，此时B尸的长为驾.

JLO

【分析】本题综合考查相似三角形的判定与性质、图形旋转的性质、四点共圆的判定与性质、矩形的性质以

第22页

及动点轨迹下的线段最值问题，属于几何探究类综合题。

⑴利用相似三角形对应边成比例的性侦，由//BCsZUDEW直接得到第二兼=全即4。=|心

AB=\AC,再结合线段和差关系8D=48-40、CE=AC-AE,将4。与48的表达式代入比值中，提取公

因式后约分即可得到空的结果，过程中仅需运用相似三角形的基本比例性质与线段的和差运算。

LC

（2）①旋转后图形的相似性保持不变，先由ZL4BC〜A4DE推出瑞=靠且"4。=^DAE,在等式两边同

时加上乙。4。，可推导出NBA。="4E,结合两边对应成比例且夹角相等的判定定理，可证明〜

ACAE,再根据相似三角形对应边成比例，直接得到弟=缥=全

CEAC3

②由①中〜1G4E可得对应角〃80=乙4CE,即=乙4CF,根据同侧共底边的两个三角形顶角

相等则四点共圆的判定规则，可推出A、B、C、F四点共圆，再依据同弧所对的圆周角相等的性质，即可得

到MAC与相等的数量关系。

（3）①先结合矩形的直角性质，在RMA8E中由勾股定理求出4E的长度；再由4AFG〜448E得到对应角相

等，结合点F的位置推出〃G尸与2EF相等，满足四点共圆的判定条件，得至UA、F、G、E四点共圆，利用

圆内接四边形对角互补的性质推出N4EG=90°；结合EG=E4可判断44EG为等腰直角三角形，由勾股定理

求出4G的长度；再由相似三角形对应角相等得到乙凡4G的正切值与乙B4E一致，设出FG与河的长度，结合勾

股定理求出的长，最后在广中用勾股定理算出BF,加上8E的长度即可得到E尸的长。

②本题属于主动点-从动点的轨迹最值问题，由主动点尸在直线8C上运动，结合相似关系可判断从动点G的运

动轨迹为一条定直线，根据垂线段最短的原理，当CG垂直于该定直线时，CG的长度最小；再通过角度的正

切关系推导对应边的比例，结合勾股定理、等面积法求出相关线段的长度，最后利用相似三角形的对应边比

例关系，计算出此时BF的长度。

24.如图，直线y=-x-6与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=QM+bx+c经过A,C两点，与x轴

的另一个交点为B.抛物线的对称轴为直线％=

备用图

（I）求抛物线的表达式;

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(2)点D在抛物线上，横坐标为I,若点D到直线AC的距离为楙鱼，求出所有满足条件的I的值;

(3)若H为抛物线的顶点，P为对称轴上一点，请直接写出p“