北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》每课时教案汇编（含九个教案）

2.1认识一元二次方程（课时1）

一、核心素养目标

1.理解一元二次方程的概念，会判断一元二次方程；

2.能将一元二次方程化为它的一般形式以2+质+片（）（小b,c为常数，分0）,并能指出二次项

系数、一次项系数、常数项；

3.能根据具体问题的数量关系，建立简单的一元二次方程模型.

二、教学重点及难点

重点：掌握一元二次方程定义及其一般形式.

难点：能从实际情境抽象等量关系列方程、准确辨析各项及系数.

三、教学过程

【知识回顾】

教师提出：什么叫一元一次方程？什么叫二元一次方程？“元'”'次''分别表示什么含义？

教师引导学生进行回答.

在一个方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次），等号两边都是整式，这

样的方程叫作一元一次方程.

含有两个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的次数都是1（次），像这样的

方程叫作二元一次方程.

设计意图：复习整式方程中“元、次''概念，用己有一次方程知识类比迁移，为一元二次方程定

义学习做好铺垫，降低新知理解难度.

【新知导入】

幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地

毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？

填空：设所求的宽度为xm.那么地毯的长为m,宽为m,根据题意，可得方

程：.

学生自主思考，教师选取学生代表进行回答.

设计意图：借助生活实例列式，从实际问题提炼整式方程，对比旧知引出未知数最高次数为2

的方程，顺势生成一元二次方程雏形.

【探究新知】

观察下面等式：1()2+“2+122=3+14、

你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？

填空:如果设五个连续整数中的第一个数为X,那么后面四个数依次可表示为:,,

,.根据题意，可得方程：.

学生自主思考，教师选取学生代表进行回答，完成填空.

如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶

端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？

填空：由勾股定理得,滑动前梯子底端距墙—m,设底端滑动xm,那么滑动后底端距墙一m,

根据题意，可得方程：.

教师引导学生进行填空、列出方程.

设计意图：依托三个生活化实例列方程，得到三个整式方程，为归纳一元二次方程定义提供素

材，实现从实际问题到数学方程的建模.

教师提出：由上面三个问题，我们可以得到下面三个方程.这三个方程有什么共同特点？

(8-2x)(5-2x)=18；1)2+(X+2)2=(X+3)2+(X+4)2；(8-1)2+(X+6)2=102.

教师引导学生对方程进行化简、整理：2^-13^+11=0；教8x-20=0；f+12x-15=0.

学生.小组讨论1-2分钟，自由发言.形成共识后教师诜取学生代表讲行回答，教师根据回答讲行

归纳总结.

三个方程都可化为它+云+。=0的形式；等号两边都是整式；未知数唯一；次数均最高为2.

通过探究，发现一元二次方程的特点，归纳总结，学生做笔记.

只含有一个未知数戈的整式方程，并且都可以化成加+云+c=0(mb,c为常数，存0)的形

式，这样的方程叫作一元二次方程.

我们把b,。为常数，壮0)称为一元二次方程的一般形式.

二次项：加，一次项：hx；常数项：C;二次项系数：s一次项系数：b.

设计意图：依托实例化简得到方程，借助小组合作观察共性，由具体式子抽象出一元二次方程

概念与一般形式，落实从具象到抽象的概念生成，理清各项名称与系数.

教师提出：a~+云+c=0（〃，b,c为常数，存0）称为一元二次方程的一般形式，其中4。可

以为0吗？

学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，总结观点.

当4=0时，/zr+c=0,它不是一元二次方程.

当今0,时，or2+c=0,是一元二次方程的特殊形式.

当今0,c=0时，加+/?40,是一元二次方程的特殊形式.

当今0,Z?=c=O时，ar=0,是一元二次方程的特殊形式.

综上所述，加+加+。=0中，b,c,可以为0,c/和.

设计意图：通过探究系数取值，厘清一元二次方程多种恃殊形式，深化对一般形式的理解.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.一元二次方程的概念；

2.一元二次方程的一般形式.

六、板书设计

认识一元二次方程

只含有一个未知的整式方程，并且都可以化

迪至卜■成“加€=（）（%〃一为常数，启0的形式.

认♦♦•

识这样的方程叫作一。欠方程.

一

元

二

次我们把心♦加r=镇明儿，为常数，eS称为

方一元二纪5程的T觥式

程

二次项：心,一次项：自；常数项：r

二次项系数：U.一次项系数：人

2.1认识一元二次方程（课时2）

一、核心素养目标

1.理解方程解的概念；

2.经历一元二次方程解的探索过程并理解其意义；

3.会估算一元二次方程的解.

二、教学重点及难点

重点：理解一元二次方程解的含义，掌握估算方程近似解的方法.

难点：找准取值范围，逐步夹逼估算出一元二次方程的近似根.

三、教学过程

【知识回顾】

根据上节课所学进行填空.

只含有未知数x的方程，并且都可以化成m，b,c为常数，

存0）的形式，这样的方程叫作一元二次方程.

我们把_____________________（mb,。为常数，卬0）称为一元二次方程的一般形式.

二次项：—，一次项：—，常数项：—,二次项系数：―，一次项系数：—.

设计意图：回顾一元二次方程核心定义与一般形式、各项名称，夯实上节课基础，为本节课探

究方程的解做好铺垫.

【新知导入】

教师提出：下面哪些数是方程8=0的解？

-4,-3,-2,-1,0,I,2,3,4

教师引导学生列表进行计算.

X-4-3-2-101234

X2—21-81670-5-89-8-50

学生观察表格数据，自主发现答案.

-2,4是方程2-8=（）的解.

通过上述探究，教师总结一元二次方程的解的概念，学生做笔记.

像数-2,4使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又口L做根）.

设计意图：借助代入求值找匹配数值，直观引出一元二次方程解(根)的定义，用实操计算帮

助学生理解解的本质含义.

【探究新知】

幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地

毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？

8m

教师提出：通过上节课学习，我们知道四周未铺地毯部分的宽度尤满足方程(8-2x)(5-2i)=18.

你能设法估计出宽度工的值吗？

设计意图：结合实际情境中的方程，引导学生尝试估算未知数取值，自然引出夹值估算近似解

的方法，体会方程解的实际意义.

教师提问：方程(8-2x)(520=18中,x可能小于0吗?

学生思考并回答：x不可能小于0,因为宽度不能为负.

教师追问1：x可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由.

学生小组讨论1・2分钟，自由发言.教师对学生的问答进行反馈，总结观点.

x不可能大于4,(82K)表示地毯的长，所以有8-2Q0.

x不可能大于2.5,(5-2幻表示地毯的宽，所以有52>0.

教师追问2：你能确定x的大致范围吗？

学生通过上述探究进行回答：04<2.5

设计意图：结合实际意义缩小未知数取值区间，建立估算前的取值边界意识，为后续夹值法估

算方程近似解铺垫思路.

学生独立完成表格

X().511.52

(8-2.v)(5-2v)2818104

教师提问：通过表格你知道所求宽度Mm)是多少吗?

学生观察表格数据并回答.

由表格可知，当所求宽度是1m时，可使方程(8-2X)(5-2A)=18成立.

所以，所求宽度x是1m.

设计意图：借助列表代入计算，直观运用夹值验证法找到精确解，完整示范估算求解的操作步

骤，巩固方程解的判定方法.

在上一课中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程0+6)2+(8-1)2=102,也就是15=0.

小明认为底端也滑动了1m,池的说法正确吗？为什么？

教师选取学生代表进行回答，教师根据回答作出反馈.

不正确，因为x=l时不满足方程，所以底端不可能滑动1m.

教师提问：底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？

学生类比回答：不可能是2,因为m2时不满足方程.不可能是3,因为m3时不满足方程.

教师追问：你能猜出滑动距离R(m)的大致范围吗？

类比上面铺地毯的探究问题进行解答.

列表，学生独自计算，完成表格.

X123

r+12x-15-21330

通过表格猜测x的大致范围：1<JV<2.

设计意图：类比地毯例题的探究模式，迁移列表估值方法，让学生自主判断数值、锁定根的区

间，强化夹值估算的解题思路.

教师提出：对于方程f+12x-15=0,由14<2可知x的整数部分是1,那它的十分位是几？

下面是小亮的求解过程：

X0().511.52

K12X45-15-8.75-25.2513

通过表格数据，可知工取值的大致范围是多少？

学生回答：

进一步进行计算.

X1.11.21.31.4

AT+12X-15-0.590.842.293.76

通过表格数据，你知道X的十分位是几吗？

学生小组讨论1・2分钟，形成共识后教师选取学生代表进行回答.

通过表格数据，可知彳取值的大致范围是1.131.2,因此k整数部分是1,十分位部分是1.

教师提问：Ll<x<1.2,x整数部分是1,十分位部分是1.妇果要把x的小数部分精确到百分位，

应该怎么做呢？说说你的想法.

学生积极回答，教师对学生的回答进行反馈，给出正确答案.

若需精确到百分位，应在1.1与1.2之间,以0.01为步长取值(如1.11,1.12....),分别计算

『+1公-15的值，找到使代数式值符号发生变化的两个相邻数值，即可确定百分位数字.

设计意图：分层缩小取值区间，由整数到十分位再拓展到百分位，完整拆解夹值估算近似根的

操作逻辑，引导学生自主归纳逐步逼近的通用方法，深度掌握估算原理.

通过以上探究，使学生掌握用“两边夹”思想解一元二次方程的方法.归纳步骤，学生做笔记.

步骤：①在未知数/的取值范围内排除一部分取值；

②再次进行排除，取值范围确定在两个连续整数之间；

③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；

④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.

设计意图：梳理夹值估算的标准化步骤，提炼通用解题流程，把零散探究过程转化成可套用的

方法体系，方便学生记忆规范操作.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.一元二次方程的解的概念；

2.掌握“两边夹”的思想；

3.会估算一元二次方程的解.

六、板书设计

解一元二次方程（“两边夹”方法）

（［确定其解的大致范围;

列表、计算

^I进用,夹吧

求得近（以解

2.2求解一元二次方程（课时1）

一、核心素养目标

1.能根据平方根的意义解形如（戈+刈2=〃（尼0）的一元二次方程；

2.理解配方法的基本思路；

3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

二、教学重点及难点

重点：掌握直接开平方法解形如（X+〃7）2中（尼0）的一元二次方程，会用配方法解二次项系数为1

的一元二次方程.

难点：理解配方时配上一次项系数一半的平方这一变形原理.

三、教学过程

【知识回顾】

填空：1.如果x2%则X叫作。的.

2.如果f=a（aK））,贝ijx.

3.如果X2=16,则x=.

4.完全平方公式：cr+2ab+b2=；a2-2ab+b2=.

设计意图：回顾平方根定义与开平方运算、完全平方公式，为直接开平方法和配方变形铺垫必

备基础.

【新知导入】

在之前的梯子滑动问题中，梯子底端滑动的距离x满足方程f+12ul5=0.我们已经求出了x的

近似值：1.14<1.2

教师提出：你能设法求出它的精确值吗？

设计意图：用之前只估算出近似解的旧问题设疑，激发求知欲，引出寻找精确解法的需求，自

然导入配方法学习.

【探究新知】

尝试解下面这些特殊的一元二次方程.

(1)F=4；(2)/二0；(3)f+1=0.

选取三个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答.

作答完毕后，教师公布答案，并规范解题步骤.

解：(1)根据平方根的意义，得xi=2,X2=-2.

(2)根据平方根的意义，得为.2二0.

(3)移项，得『二-1.

•.♦负数没有平方根，原方程无解.

通过解具体方程，归纳直接开平方法的相关知识，学生做笔记.

一股的，对于可化为r=〃的方程：

〃的取值范围方程根的情况

〃>0两个不相等实数根为二，X2=-y/n

〃二0两个相等实数根W=X2=0

〃<()无实根

利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法.

设计意图：借助简单方程实操演练，依托平方根意义引出直接开平方法，分类归纳〃不同取值

下根的三种情况，夯实基础.

教师提出：你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？

(1)?=5；(2)2?+3=5；(3)(X+6)2+72=102；(4)f+2x+l=5.

选取四个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答.

作答完毕后，教师公布答案，并规范解题步骤.

解:(1)V(±75)2=5,

.•.根据平方根的意义，得%=$4=旧.

⑵2?+3=5,移项,得2?=2,

X\=\»X2=-1.

⑶移项，得(X+6)2=51.

两边开平方，得x+6二士内\

即x+6=V5T或x+6=—>/5T.

所以幻=7^1-6,X2=-5/51-6

(4)~+2x+l=5,配方得(工+1)2=5,开方得,x+\=±y[5,

・"+1=百或X+l=-V5

于是，原方程的两个根为王=-1+石，毛=-1-石.

通过解具体的一元二次方程，你知道解一个一元二次方程的实质吗？

学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，总结观点.

实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.

设计意图：层层递进设置不同形式方程，拓展直接开平方法适用题型，引出降次转化思想，为

后续配方法搭建认知桥梁.

问题：你能解方程『+121-15=0吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成x25的

形式吗？

教师提醒：f+12x-15=0,它的左边既不是单独的平方式，也不能直接化成平方式.

教师引导学生进行计算，规范解题步骤.

f+12x-15=0

移顶，得r+iZiis

两边都加62,得f+12X+62=15+62

BPU+6)2=51

两边开平方，得x+6=±同.

&=-6+近1,X2=-6-\[5l.

教师提醒：£=-6-同是负数，不符合原问题的要求.

通过以上探究，归纳解一元二次方程的基本思路，学生做笔记.

解一元二次方程的思路是将方程转化为a+〃z)2=〃(佗0)的形式.它的一边是一个完全平方式，另

一边是一个常数

一元二次方程|—卜代数式上常数［衽场］一元一次方程

一瞰一

设计意图：让学生感知直接开平方法无法求解该方程，形成认知冲突后，教师一步步示范配方

变形过程，推导出a+〃z)2=〃(后0)的通用形式，最后带领学生总结转化解题思路，渗透配方转化

思想.

填上适当的数，使下列等式成立：

.F+12x+=(x+6)2

?-4x+=(x--产

f+8户=(x+___)2

教师提出；观察上面等式的的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢？

学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，总结观点.学生做笔记.

二次项系数为1的完全平方式中，常数项是一次项系数一半的平方.

设计意图：借助填空练习直观感知凑完全平方式的填数规律，再通过小组合作观察对比、自主

探究常数项与一次项系数的数量关系，教师梳理总结核心结论，让学生自主理解配方关键要点,

为后续解方程配方打下基础，落实自主探究的学习方式.

例题练习：解方程：/十8.9=0.

解:可以把常数项移到方程的右边，得*+网=9.

两边都加上一次项系数8的一半的平方，得f+&E+42=：9+42,

即(x+4)2=25.

两边开平方，得工+4=±5,

即x+4=5,或工+4=-5.

所以Xl=l,X2=-9.

通过以上学习、探究，归纳总结配方法的相关知识，学生做笔记.

通过配成完全平方式的方法程到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.

配方法解方程的基本思路：

把一元二次方程化为。+川)2=〃的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解.

设计意图：以典型例题完整示范配方法解方程的完整流程，运用前面总结的配方规律实操演算,

清晰展示移项、配方、开平方、求解每一步操作，随后顺势给出配方法定义与降次转化的核心

思路，巩固新知并构建完整的解题方法体系.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.直接开平方法；

2.配方法；

3.月配方法求解一元二次方程的基本思路

六、板书设计

配方法解一元二次方程

用配

方法

赫

—元

二）欠

方程

2.2求解一元二次方程（课时2）

一、核心素养目标

1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；

2.掌握配方法解一元二次方程的步骤，能够熟练应用配方法解一元二次方程.

二、教学重点及难点

重点：能熟练应用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.

难点：掌握配方法解一元一次方程的步骤，规范完成配方变形并规避计算错误.

三、教学过程

【知识回顾】

回顽配方法的定义.

学生回答：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称

为配方法.

将下列各式填上适当的项，配成完全平方式.

(1+2x+=(x+—)2；(2)f-4x+=(x-—)2；

(3)?++36=Q+—)2；(4)f+1Ox+—=(%+—)2.

教师点拨：解题关键是常数项是一次项系数一半的平方.

学生独立完成填空.

设计意图：回顾配方法定义，借助填空练习巩固二次项系数为1时配方的核心规律，唤醒上节

课所学基础，为本节课处理二次项系数不为1的方程做好铺垫.

【新知导入】

观察比较下列两个一元二次方程，你发现了什么？

f+6x+8=0；3^+\^+24=0

学生思考并回答：一个二次项系数为1,一个二次项系数不为1.

教师提出：如何解二次项系数不为1的一元二次方程呢？

设计意图：对比两道结构相近、二次项系数不同的方程，制造新旧题型差异，顺势抛出本节课

核心问题，自然引出二次项系数不为1的配方法解法，激发学生探究思考.

【探究新知】

解方程3f+8心3=0.

选取两名学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答.作答完毕后，教师公布

答案，并规范解题步骤.

解：方程两边都除以3,得F+3工7=0.

3

移顶，得=1.

3

配方，得x+——=1+|—.

3

两边开平方，得工+3=±2

33

所以X=g,

根据解具体一元二次方程，归纳总结用配方法解一元二次方程的一般步骤.

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把方程化为一般形式：

②把方程的常数项通过移项移到方程的右边；

③方程两边同时除以二次项系数

④方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

⑤此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元

一次方程来解；

⑥定解.

设计意图：通过学生板演、全员练习的方式落实新知实操,依托二次项系数不为1的典型例题，

让学生亲身经历系数化1、移项、配方、开方求解的完整过程，再结合解题过程梳理归纳配方

法通用解题步骤，既检验学生课堂掌握情况、规范解题格式，又帮助学生构建系统化的配方法

解题知识框架，突破本节课重难点.

通过对配方法的学习，进行归纳，学生做笔记.

股地，如果•个•元二次方程通过配方转•化成(人+〃)。〃的形式，那么就有：

〃的取值范围方程根的情况

p>0两个不相等实数％=一〃一4，x2=-n+y[p

p=o两个相等实数根x\=X2=-n

p<0无实数根

设计意图：在配方解方程的基础上分类归纳〃不同取值对应的根的情况，让学生理解配方形式

下判别根的依据，完善配方法知识体系，帮助学生完整掌握一元二次方程实数根的三种情形并

做好笔记.

一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度/?(m)与时间f(s)满足关系：h=l5t-5t2.

小球何时能达到10m的高度？

学生在草稿纸上进行计算，教师进行巡视指导，观察学生的进度，在绝大多数学生完成后，公

布正确答案及解题步骤.

解：根据题意得15/-5/2=1().

方程两边都除以-5,得涔3=2

配方，得=-2+图,即U=；.

两边开平方，得L2=±L

22

所以工=2,弓=1•

教师提出：请分别描述一下，当和仁2时，小球到达10m所处的运动状态.

学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，并通过ppt进行动画演示，使

学生直观感受小球的运动状态.

设计意图：结合实际抛球情境建立一元二次方程模型，段炼学生列方程解决实际问题的能力,

实操巩固二次项系数不为1的配方法计算；再借助小组讨论与动画演示，解释两个时间对应的

上升、下落两种运动状态，让学生理解方程双解的实际意义，体会数学与物理运动的联系.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.月配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；

2.配方法解一元二次方程的步骤.

六、板书设计

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把方程化为一般形式；

②把方程的常数项通过移项移到方程的右边；

③方程两边同时除以二次项系数

④方程两边同时加上•次项系数•半的平方；

⑤此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元

一次方程来解；

⑥定解.

2.2求解一元二次方程（课时3）

一、核心素养目标

1.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式和根的判别式；

2.能熟练应用公式法解一元二次方程；

3.会用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况，并能根据根的情况，确定方程中

字母系数的取值范围.

二、教学重点及难点

重点：掌握一元二次方程求根公式与根的判别式，熟练运用公式法求解一元二次方程.

难点：理解求根公式的推导过程，灵活运用根的判别式求解含字母系数的取值范围问题.

三、教学过程

【知识回顾】

用配方法解方程：2X2-4X-6=0.

教师选取两个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答.作答完毕后，教师

公布答案.

解：方程两边都除以2,得P2r-3=0.

移顶，得/・2口3.

配方，得『2计1=3+1,即⑴1）2=4.

两边开平方，得=±2.

••X}=3,X2=-1.

设计意图：复习巩固上节课二次项系数不为1的配方法解题步骤，借助板演练习夯实配方运算

基础，为接下来推导一般形式一元二次方程的求根公式做好方法铺垫.

【新知导入】

教师阐述：我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的.因此，如果能用配方法

解一般形式的一元二次方程aF+bx+c=O.（存0）,得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程

时，就会方便简捷得多.

教师提出：你能用配方法解•元二次方程aF+ht+c=（）（〃和）吗？

设计意图：通过总结配方法解题步骤的通用性，顺势提出推导一般一元二次方程求根公式的问

题，实现由特殊到一般规律的过渡，激发学生探究新知的兴趣，自然导入本节课公式法的学习.

【探究新知】

任何一个一元二次方程都可以写成一般形式办2+公+c=(M(#o),请用配方法解此方程.

教师引导学生进行计算.

解：方程两边都除以小得丁+=£

aaa

教师点拨：这一步是为了使二次项系数化为1.

配方，^x2+-x+(—)2-(—)2+-=0

a2a2aa

bb2-4ac

即(x+五）2=0

4/

移灰，得*+2)2="一.。

2a4。~

教师提出：针对上式，你认为能直接开平方吗？

学生自由发言，活跃课堂.教师对学生的回答进行反馈，引导学生进一步学习公式法.

因为W0,所以4m>0.

当庐而吟。时’一是一个非负数’此时两边才可以开平方.

-b±\lb2-4ac

开方，得x=-------------

,即2〃

根据以上探究、学习，归纳总结公式法的相关知识，学生做笔记.

-b±\lb2-4ac

对于一元二次方程以2+云+(7=0(存0),当户4〃cN0时，它的根是：x=

2a

这个式子称为一元二次方程的求根公式用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.

【注意】用公式法解一元二次方程的前提是：

1.必须是一般形式的一元二次方程：加+6:+。=0(。，0)；

2.必须满足b2-4ac>0才能代入公式计算.

设计意图：通过引导学生对一元二次方程一般式进行配方推导，让学生亲历求根公式的形成过

程，完成从具体运算到抽象公式的思维升华，摆脱机械解题的固化模式，深度理解公式来源与

原理；通过设问能否直接开平方，启发学生自主发现被开方数的取值限制，自然引出公式适用

条件，顺势归纳公式法定义与解题前提，夯实本节课核心知识，培养学生代数推理、归纳概括

的数学核心素养，有效突破公式推导的教学难点.

【例题练习】

解方程：(l)f_7x-18=()；(2)4.r+I=4x

选取两个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答.

作答完毕后，教师公布答案，并规范解题步骤.

解：⑴这里b=-7,c=-18.

V/?2-4^C-(-7)2-4X1x(-l8)=121>0,

，广在晅=0=9…

2x12

(2)将原方程化为一般形式，得41-4犬+1=0.

这里〃=4,Z?=-4,c=l.

V/?2-4^C=(-4)2-4X4X1=0,

-(-4)±0_1g|J1

••X-----------------------—-，印A1-X2---

2x422

通过例题练习，归纳公式法解一元二次方程的步骤，学生做笔记.

公式法解一元二次方程的步骤：

1.变形：化己知方程为一般形式；

2.确定系数：用mb,c写出各项系数；

3.计算：△二/-4〃c的值；

4.判断：若ZA4〃CN0,则利用求根公式求出方程的根.

设计意图：通过学生板演、全员实操的方式，让学生熟练运用公式法解方程，兼顾判别式大于

0、等于0两种根的情况.教师规范解题步骤，引导学生归纳公式法解题流程，帮助学生固化规

范解题思路，深化对求根公式和根的判别式的运用.

教师提出：你能解一元二次方程f-2x+3=0吗？

教师引导学生进行分析.

,-a=1,b=-2,c=3,.e.Z?2-46zc=(-2)2-4x1x3=-8<0.

,•力2-4ac<0,.•.无法使用求根公式.

f-lr+3=0,配方，得(X-1)2=2,由于任何实数的平方都不能是负数，因此这个方程没有实数根.

教师追问：对于一元二次方程加+以+。=0(存0),当层名c<()时，它的根的情况是怎样的？

学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的发言进行反馈，引导学生验证猜想.

当加4“<。时，枭'勺修殳有意义

所以当"-4"＜（）时,此方程无根.

针对以上探究，归纳用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况的相关知识，学生

做笔记.

对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a/0y

当加-4〃c＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当庐-4〃c=0时，方程有两个相等的实数根；

当人-4〃c、＜时，方程没有实数根.

一元二次方程ar+bx+c-O（存0）根的情况可由b241c来判定.把人-4ac叫作一元二次方程的

根的判别式，通常用希腊字用来表示.

设计意图：通过设置无解的特殊方程，引导学生计算判别式、结合平方非负的性质分析方程无

实数根的原因，弥补此前只讨论判别式非负的知识空缺.借助小组讨论自主探究判别式小于0

时艰的情况，完整归纳三种判别结果对应的根的情形，完整构建根的判别式知识体系，让学生

全面掌握利用判别式判定根的情况的方法，完善公式法解题逻辑，突破本节课教学难点.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了那些知识？

1.公式法求解一元二次方程；

2.根的判别式△与方程的根的关系.

六、板书设计

公式法

-b±\b2-4ac

求根公式

公2a

式

A=»-4tf<,

法根的判别式

报的判别式,与方程的例的关系

2.2求解一元二次方程（课时4）

一、核心素养目标

1.理解用因式分解法解一元二次方程的依据；

2.会用因式分解法解一元二次方程；

3.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.

二、教学重点及难点

重点：掌握因式分解法解一元二次方程的方法与步骤，并能熟练求解对应方程.

难点：理解因式分解法的解题依据，能够根据方程特点灵活选择最优解法.

三、教学过程

【知识回顾】

教师提出：我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？

学生回答：直接开平方法，配方法，公式法.

教师提出：什么是因式分解？

学生回答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫作因式分解.

教师提出：因式分解有哪些方法？完成卜面的填空.

提公因式法:am-\-bm-\-cm=；公式法:cr-b1=,cr±2ab-\-b1=.

十字相乘法：.

学生自主完成填空，回顾因式分解的相关知识.

设计意图：回顾之前解一元二次方程的三种方法，再复习因式分解的定义与常用分解方法，夯

实旧知基础，搭建新旧知识桥梁，为学习因式分解法解方程做好铺垫.

【新知导入】

一个小球从地面以15m/s的初速度蜕直向上弹出，它在空中的高度〃（单位：m）与时间/（单位:

s）满足关系：/『15Z-5/2.小球从弹出到落回地面，经过了几秒？

教师提出：设小球经过/s落回地面，此时〃=0,可以得到怎样的一个方程？

学生回答：得到方程15，-5户=0.

教师提出：你知道如何解此方程吗？

设计意图：沿用熟悉的小球运动实际情境列出特殊一元二次方程，抛出求解问题制造思考点,

为后续学习做铺垫.

【探究新知】

教师通过ppt展示不同的解法，学生判断各方法的正误.

①：由方程1515尸=0,得5产-15U0.因此>=>±1225,九=。，/2=3,

教师提问：该方法正确吗？

学生回答：正确，用的是公式法，是通用的方法.

②由方程⑸-5尸=0,得5尸=15。同时约去53得

教师提问：该方法正确吗？

学生自由发言，教师对学生的发言进行反馈，总结观点.

该方法是错误的，约去，的时候必须保证件0,他的做法漏掉了根为0的情况.

③由方程15r-5?=0,得5尸-15仁0.即5r(7-3)=0.

于是/=0,或/-3=0.因此力=0,Z2=3.

教师提问：该方法正确吗？

学生回答：正确，而且比方法①更简单.

通过上述探究，引出因式分解法，归纳相关概念，学生做笔记.

因式分解法：当一元二次方程的一边是0,而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们

就可以用因式分解的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.

设计意图：对比三种不同解题思路，辨析直接约去因式的易错误区，在对比中凸显因式分解法

简便快捷的优势，顺势引出因式分解法的定义与适用前提，让学生清晰理解解法原理，规避常

见计算漏洞.

例题练习：解下列方程：(l)5f=4x；(2)x(x-2)=x-2.

选取两名学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答.作答完毕后，教师公布

答案，并规范解题步骤.

解：⑴原方程可变形为5『-4-0,

x(5x-4)=0,

x=0,或5x-4=().

八4

XI=0,X2=—.

5

(2)原方程可变形为Xx-2)-(x-2)=0,

(x-2)(x-l)=0.

x—2=0,或x-l=0.

XI=2,X2=l.

通过例题练习，归纳因式分解法解一元二次方程的步躲，学生做笔记

用因式分解法解一元二次方程的步骤：

1.移项：将方程的右边化为0；

2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；

3.转化：令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；

4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.

【注意】不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如Hx-1)中，若约去工，则会丢失尸0这

个根.

设计意图：安排学生板演实操两道典型习题，教师统一订正规范格式，依托解题过程梳理因式

分解法四步标准流程；特意强调切勿直接约去含未知数字式的易错点，让学生在实操中熟悉方

法、规避丢根失误，扎实掌握因式分解法的解题规范与核心要点.

教师归纳几种常见的用因式分解法求解的方程.学生做笔记.

(1)形如/+6=0的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0,则40或

x+b=0f即Xi=0,X2=-b.

(2)形如/-4=()的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为(x+〃)(x-a尸0,则x+a=0或

x-a=0,即x\=-a,X2=a.

(3)形如『±2以+/=0的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为(对〃)2=0,则

①x+〃=(),BPx\=X2=-a.(2)x-a=0，B|Jx\=X2=a.

(4)形如f+(a+h)x+必=()的一元二次方程，将其左边因式分解，则方程化为(X+〃)(.E+/?)=(),所

以x+〃=0或x+〃=0,即X2=-b.

设计意图：分类梳理四类适合因式分解法的典型方程模型，搭配对应的分解方式与结果，帮助

学生建立题型识别思路，快速匹配提公因式、平方差、完全平方、十字相乘等分解手段，形成

系统化解题模板，提升快速判断、简便运算的能力.

学生同桌之间进行合作，用不同的方法解下列方程：1-4=0,(x+1)2-25=0,『+2x40,『+6『

8=0.

教师提出：你用了哪些方法求解这些方程？

学生同桌之间进行讨论并回答：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法.

教师追问：回顾一元二次方程的各种解法，你对它们有什么理解？

学生小组讨论1・2分钟，自由发言.教师对学生的发言进行反馈，应用表格进行梳理归纳.

基本思路将二次方程化为一次方程，即降次

适用于部分一

解一直接开平方法用平方根的意义直接进行降次

元二次方程

元二

配方法先配方，再用直接开平方法降次适用于全部一

次方

公式法直接利用求根公式元二次方程

程的

先使方程一边化为两个一次氏式乘积的形式，另一适用于部分一

方法因式分解法

边为0,根据“若帅=0,则左0或。0”来解元二次方程

设计意图：通过同桌合作一题多解，让学生亲身实践四种解法，再以小组交流对比差异，借助

表格系统梳理各类解法的原理、适用范围与共性降次思路，引导学生学会根据方程形式灵活挑

选简便解法，打通多种解法之间的内在联系，完善一元二次方程解法知识体系.

四、随堂练习

通史课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.因式分解法求解一元二次方程；

2.一元二次方程不同解法的特点.

六、板书设计

因式分解法

当一元二次方程的一边是o,另一边能够分解成两个

一次因式的乘积时，我们就可以用因式分解的方法求

因解，这种解一。欠方程的方法称为因式分解法.

式

分

依据01如果丝那么竺，或竺2-

解

法

步骤I移项;2分解13转化］4求解

2.3一元二次方程的根与系数的关系

一、核心素养目标

1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系；

2.能够运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题.

二、教学重点及难点

重点：掌握一元二次方程根与系数的关系，并能直接运用其进行简单计算.

难点：灵活运用根与系数的关系解决变形求值、参数求解等综合性问题.

三、教学过程

【新知导入】

回顾方程cir+bx+c-O(存0)的求根公式.

学生回答：x=~b±-4aC(b2-4ac..0).

2a

教师提出：求根公式不仅表示可以由方程的系数。、b,c决定根的值，而且反映了根与系数之

间的联系.一元二次方程根与系数之间有什么关系呢？

设计意图：借助复习求根公式搭建知识桥梁，点明公式本身蕴含系数与根的内在关联，顺势抛

出探究问题，自然引出本节课的学习内容，激发学生的求知欲.

【探究新知】

教师提出：由前面的学习我们知道，如果一元二次方程公?+饭+片。(工-川)(112)(分0,犬1,X2是实

数)，那么一元二次方程aF+以+c=()必有两个实数根X=X2.

反过来，如果XI,X2是一元二次方程加+云+片。的两个实数根，那么aF+b工+c=a("Yi)(『X2)一

定成立吗？

设计意图：从因式分解形式入手设问，建立方程、因式、根三者的逻辑联系，引导学生逆向思

考等式成立性，为后续展开两根和、两根积的代数推导铺垫理论依据，铺垫韦达定理的推导根

基.

教师提出：2己31+1=()的两根为：x\=—,X2=l,那么ZvMx+l和2(x」)(/-l)相等吗？

22

学生通过计算进行比较并回答：2(1」)(41)=(2丫-1)(41)=2_¥2-21-犬+1=2/_3.计1,

2

所以泊-3户1和2(x」)a-l)相等.

2

教师追问1：f-2x+1=0的两根为：xi=l»X2=1,那么X2-2X+1=0和(x-l)(x-1)相等吗?

x2・5x+6=0的两根为:xi=2,X2=3,那么f-5x+6=0和(x-2)(x-3)相等吗?

学生类比上面的方法进行计算并回答.

(x-1)U-1)=X2-X-JV+1=x2-2.v+1=()»所以x2-Zr+1=0和(x-1)(x-1)相等.

U-2)(X-3)=^2-3X-2X+6=X2-5X+6.所以A2-5X+6=0和(x-2)(x-3)相等.

教师追问2：你认为加+原+6=〃(工5)。-⑼是否一定成立？与同伴进行交流.

学生同桌之间进行讨论，形成共识后教师选取学生代表进行回答，教师根据回答进行总结.

2

如果Xi、X2是一元二次方程加+历:+c=0(a#0)的两个实数根，那么ax+bx^c=a(<x-x\)(x-%2).

设计意图：先用三道具体方程实操演算，再通过同桌讨论从特殊实例归纳出一般恒等结论，

让学生直观验证加+法+。­/(工5)(上液)，为后续展开两根之和、两根之积的韦达定理推导筑牢

等式基础，降低抽象公式的理解难度.

教师提出：如果一元二次方程加+公+C有两个实数根K,X2,那么这两个实数根与该方程的系

数有怎样的关系呢？

教师引导学生进行计算，发现结论.

ajr+hx+c=a(x-xi)(x-X2)

因为6/(X-Xl)(X-X2)=6wr-«(XI-\-X2)X+clX\X2

11

所以ax+bx+c=ax-a(<x\xi)x-^ax\x2

_b

所以Li),于是…。

c=ax,x-,c

再占二一

a

归纳总结一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)，学生做笔记.

A「

如果方程。广+云+。=0(存0)的两个根为阳，X2,那么X1+X严——，xx=—.

a12~a

教师强调：满足上述关系的前提条件：层4〃CK).

设计意图：依托上一步得到的因式恒等式展开代数对比推导，通过等式两边同类项系数对应相

等，顺理推出两根和、两根积与一元二次方程的系数的关系式，完整呈现韦达定理的推导过程；

同步点明判别式非负的适用前提，让学生知其然更知其所以然，锻炼代数恒等变形与对比分析

能力，牢固建立根与系数的数量联系.

【例题练习】

利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：

(DF+ZE+GU。；(2)2r-3x-2=0.

教师引导学生进行分析.

⑴①找对应系数：a=l，b=q,c=6；②判断后4〃吟0；③确定方程根的情况；④根据根与系

数的关系求解.

⑵①找对应系数：斫2,b=-3,c=-2；②判断〃-4〃a0;③确定方程根的情况；④根据根与系

数的关系求解.

解：(1)这里b=7,c=6,A=/?2-4^C=72-4X1x6=25>0.

•••方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是用,X2,那么Xl+X2=・7,XLX2=6.

(2)这里。=2,b=-3,c--2,A=Z?2-4^C-(-3)2-4X2X(-2)=25>0,

.•.方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是XI，必那么Xl+X2=3,X/2=l.

2

设计意图：选取两道基础例题，示范运用韦达定理的标准解题四步骤，先核验判别式保证定理

适用，再准确匹配4、仄C代入公式计算；通过规范板书步骤，纠正符号易错问题，夯实学生

套用根与系数关系的基础运算能力，落实本节课核心应用要点.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.一元二次方程的根与系数的关系；

2.运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题.

六、板书设计

一元二次方程的根与系数的关系

如果方程〃f+bx+c=0(存0)的两个根为的，丈2,那么X]+x,=——，—.

a~a

2.4应用一元二次方程(课时1)

一、核心素养目标

1.利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题；

2.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的

股步骤.

二、教学重点及难点

重点：能建立一元二次方程模型求解行程与几何实际问题.

难点：能从实际情境抽象等量关系列方程，掌握列方程解应用题的通用步骤.

三、教学过程

【新知导入】

还记得本章开始时的梯子滑动问题吗？

如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶

端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？

设计意图：借用经典梯子滑动儿何情境导入，前后章节内容呼应衔接，依托直角三角形勾股定

理的旧知引出一元二次方程实际应用场景，快速调动学生己有知识储备，自然开启利用方程解

决几何长度变化问题的新课学习.

【探究新知】

教师提出：在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶

端卜滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？

选取两个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答.作答完毕后，教师公布

答案，并规范解题步骤.

解：设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米.

根据题意,有(8㈤2+(6+X)2=1(P,

整理，得『-2x=0.

解这个方程,得xi=0(舍),X2=2.

因此，梯子顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等.

教师追问：如果梯子长度是13m,梯子顶端与地面的垂直距离为12m,那么梯子顶端下滑的距

离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？

学生在草稿纸上进行作答，教师进行巡视指导，观察学生的作答进度,在绝大多数学生完成后，

公布正确答案，并规范解题步骤.

解：设梯子顶端下滑x米，底端滑动九米.

根据题意,得(12-X)2+(5+X)2=132,整理，得f-7x=0.

解这个方程,得加=0(舍),X2=7.

因此，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等时为7m.

设计意图：在原有梯子问题基础上增设等量滑动距离的设问，由浅入深递进探究；通过学生板

演、自主演算、教师巡辅订正的模式，让学生实操借助勾股定理建立一元二次方程模型，学会

检验并舍去不符合实际意义的根.两组数据对比练习，强化几何实际问题建模思路，规范完整

解题流程，提升学生提取等量关系、处理实际解取舍的能力.

如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200nmile处有一重要目标B,在B的正东方向

200nmile处有一重要目标C.小岛。位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛厂位于BC中

点.一艘军舰从A出发，经8到。匀速巡航，一艘补给船同时从。出发，沿南偏西方向匀速直

线航行，欲将一批物品送达军舰.

已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由8到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时

补给船航行了多少海里(结果精确到0.Inmile)?

学生根据题干回答以下问题：

(1)要求。E的长，需要如何设未知数？

(2)怎样建立含OE未知数的等量关系？

⑶利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？

(4)构造出RS。七尸后，三条边长。石，DF,EE分别是多少？

答案预设：(1)一般求什么设什么，可设。E的长为xnmile.

(2)根据己知条件，可考虑利用勾股定理建立等量关系.

(3)连接。F,由三角形中位线得4抑力F,从而。FJLEF,构造出RsOEE

(4)DF=100nmile,DE=A-nmile.EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)nm\\e.

根据以上分析，教师引导学生解题.

解：连接。F.

-AD=CD,BF=CF,

・•・£)/是ZVIBC的中位线.

3.DF--AB,

2

,-ABLBC>AB=BC=200nmile,

:.DFtBC,DF=100nmile,BF=100nmile.

设相遇时补给船航行了mmile,

那么DE=rnmile,AB+BE=2xnm\\e,EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)nm\\e.

在RtZkQE/中，根据勾股定理可得方程『=1OO2+(3OO-2J:)2.

整理，得3fT200x+100000=0,

解这个方程得玉=200-詈逝。U8.4,七=200+詈包(不合题意，舍去).

所以，相遇时补给船大约航行了118.4nmile.

设计意图：选取海军巡航的行程几何综合应用题，层层拆解设问引导学生分步分析题意；借助

三角形中位线性质搭建直角三角形，把行程速度路程关系与勾股定理结合构建一元二次方程模

型.通过分步提问降低复杂应月题的理解门槛，训练学生拆解复杂题干、转化几何线段、筛选符

合实际的方程根的综合解题能力，巩固用一元二次方程解决实际问题的完整流程.

通过以上探究学习，归纳运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤，学生做笔记.

运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：