上海市2026年中考数学试题（解析版）

上海市2026年中考数学真题

1.下列选项中是无理数的是（）

A.1B.4C.V2D.V9

【答案】C

【解析】【解答】解：选项A,擀是分数，属于有理数，

选项B,4是整数，属于有理数，

选项C,四是无限不循环小数，是无理数，

选项D,炳=3,3是整数，属于有理数.

故答案为：C.

【分析】根据无理数是无限不循环小数解答即可.

2.下列选项中，与2ab2c是同类项的是（）

A.a2bcB.ab2cC.abcD.2ab2c

【答案】B

【解析】【解答】解：A、2a2於与aMc中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意;

B、符合同类项的定义，故选项符合题意；

C、2a2儿与2abe中字母a的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意：

D、2a2加与2ab2c中字母火力的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意.

故答案为：B.

【分析】所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，据此判断即可.

3.下列方程无实数根的是（）

A.X2_2X=0B.X2-2=0C.X2+2X=0D.x2+2^0

【答案】D

【解析】【解答】解：对于一元二次方程。/+.+。=09h0）,判别式为4=/一4ac.

选项A：方程为/一2x=0,Q=l,b=—2,c=0,

••・4=（-2）2-4xlx0=4>0,方程有两个不相等的实数根.

选项B：方程为d—2=0,丁Q=1,b=0,c=-2,

21=02-4x1x（-2）=8>0,方程有两个不相等的实数根.

选项C：方程为%2+2X=0,a=l,b=2,c=0,

4=22-4x1x0=4>0,方程有两个不相等的实数根.

选项D：方程为d+2=0,a=1,b=0,c=2,

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.・.4=。2_4x1x2=-8V0,方程没有实数根.

故答案为：D.

【分析】对于一元二次方程a/+W+c=0（QH0）,判别式/二川-4在<0时，方程没有实数根，求出各

选项方程根的判别式的值判断即可.

4.OA半径为3,OB半径为7,AB=2,则两圆的位置关系是（）

A.内含B.相交C.相切D.相离

【答案】A

【解析】【解答】解：设OA的半径r=3,。8的半径/?=7,两圆圆心距4=48=2,

.••R-r=7—3=4,

vd=2<4=/?—r,

二。4与OB的位置关系是内含.

故答案为：A.

【分析】根据“两圆半径分别为R,r（R>r）,圆心距为d,当d<R—r时，两圆内含”解答即可.

5.周一至周五某同学的运动时间为34、28、40、36、32,为了一周7天活动时间的平均数达到40分钟，下

列选项中可以的是（）

A.50,50B.45,60C.50,60D.55,60

【答案】C

【解析】【解答】解：・・・7天平均运动时间为40分钟，

：,7天总运动时间为40x7=280分钟，

•・•周一到周五的总运动时间为34+28+40+36+32=170分钟，

・・・周六和周日的总运动时间为280-170=110分钟,

对比各选项，只有C选项中50+60=110,符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据平均数的定义，求出7天需要的总运动时间，然后减去前5天的总运动时间，求出周六周口的

总运动时间，逐项检验解答即可.

6.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点（不与A、B重合），过点E作EM〃BD,交AD于点M,作

E、M关于BD的对称点F、G,联结EF、MG交BD于点P、H,下列说法正确的是（）

①四边形EFGM周长是定值；②四边形EPHM周长是定值;

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A.①、②均正确B.①正确②错误

C.②正确①错误D.①、②均错误

【答案】B

【解析】【解答】解：依题意，AM=AE,MD=DG,BF=BE,CF=CG,

设4M=Q,则MO=1-a,

△AME是等腰直角三角形，则=△MOG是等腰直角三角形，MG=V2(l—a)»△M”O是等腰直角

三角形，则MH=¥(l—a)

同理可得EF=MG=V2(l-a),FG=EM=&a，

・•・四边形EFGM的周长=2(EM+EF)=2\[2a+2&一2&Q=2或

四边形EPHM的周长=2(EM+MH)=2\[2a+V2-V2a=V2a4-V2

故①正确，②错误，

故答案为：B.

【分析】设4M=a,则MD=l—a,根据勾股定理和正方形的性质求出EM、MG和MH的值，求出四边形

EFGM、EPHM的周长解答即可.

7.解答：(m4『=

【答案】m8

【解析】【解答】解：(m4)2_^2x4—m8.

故答案为：iM.

【分析】根据恭的乘方：底数不变，指数相乘解答即可.

8.在1,-2,-3,4,5这5个数中选一个数，选出一个正数的概率是.

【答案】|

【解析】【解答】解：根据题意，总共有5个数，所有等可能的结果总数几=5,其中正数为1,4,5,满足条

件的结果数m=3.

根据概率公式P=手可得选出的数是正数的概率为P=|.

3

-

5

【分析】根据概率公式计算即可.

9.J13x_1=5,x--

【答案】2

【解析】【解答】解：V13x-1=5

A13x-1=25

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解得：x=2,经检验x=2是原方程的解.

故答案为：2.

【分析】先两边同时平方化为一元一次方程，解方程求出x的值并检验解答即可.

10.在△ABC中，ZC=90°,AB=10,AC=6,则tanB=.

【答案】I

【解析】【解答】解：在RM4BC中,Z-C=90°,AB=10,AC=6,

由勾股定理得BC=yjAB2-AC2=V102-62=8，

根据正切的定义，亡加8=盖=3=5.

故答案为：*

【分析】利用勾股定理求出BC长，再根据锐正切的定义解答即可.

11.等腰三角形ABC中，ZA/ZB,ZA=80°,NB=.

【答案】50。或20°

【解析】【解答】已知等腰△A8C中，4A=80。，且乙乙8.

若是顶角，则乙8=乙。，所以乙B=2(180°—80°)=50。，符合41工48；

若乙A是底角，当28是顶角时，Z.C=/.A=80°,所以48=180。一80。-80。=20。，符合2/1H48；

当，。是顶角时，48=乙4=80。，与乙4H矛盾，故舍去.

综上，乙B的度数为20。或50。.

故答案为：20。或50。.

【分析】分为是顶角，乙4是底角两种情况，结合等腰三角形的两底角相等，三角形内角和定理解答即

可.

12.点A(m,n)与点B(3,4)在同一条反比例函数y=-±若0VmV3,则n的取值范围

X?

是.

【答案】n>4

【解析】【解答】解：•・•点3(3,4)在反比例函数y=«的图象上,

X

k=3x4=12,

.••反比例函数解析式为y=工，

X

•••/c=12>0,

二反比例函数y=茎在第一象限内，y随x的增大而减小，

•••点做加,九)在该反比例函数图象上,且0VmV3,

当％=3时，y=4,

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:，n>4.

故答案为：n>4.

【分析】把点B的坐标代入反比例函数解析式求出k的值，求出反比例函数解析式，根据反比例函数的增减

性得到九的取值范围即可.

13.如图，正六边形ABCDEF中，丽=9,丽=6,则同=

【答案】2a4-2d

【解析】【解答】解：如图，设正六边形的中点为0,连接而，前,

在正六边形中，ABIIF0.AF||B0,且4B=F0、AF=B0,

••・四边形48。尸是平行四边形，

根据向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线向量等于两邻边向量之和：A0=AF-VAB=a+b，

TTTTTT

AD=2A0=2(a+b)=2Q+2b,

故答案为：2；+26

【分析】根据平行四边形法则可得方=而+而，再根据正六边形的性质得到而=2而解答即可.

14.某市2024年进出口集装箱5.15x107个，2025年进出口集装箱5.5x1()7个，则2025年较2024年集装箱

的进出口数量增加了.(用科学记数法表示)

【答案】3.5X106

【解析】【解答】解：根据题意列算式计算得：5.5x107-5.15x107=(5.5-5.15)x107=0.35x107=

3.5x106.

故答案为:3.5x106.

【分析】用2025年进出口集装箱数量与2024年的数量求差，并将结果运用科学记数法记数即可.

15.某区抽查300名学生每周做家务的次数，如下表所不，据此推测全区9000名学生每周做家务大于5次

的有人.

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【答案】3000

【解析】【解答】解：9000「的端乂2

100

K000X须

=300。（人），

故答案为：3000.

【分析】根据条形统计图得到每周作家务大于5小时人数的占比，然后乘以全区学生数解答即可.

16.如图，梯形ABCD中，ABZ/CD,EF是梯形的中位线，如果BC=2AD,SAPMN=1,则梯形ABCD的

面积为.

【答案】12

【解析】【解答】解：设梯形力8C0的高为儿

•••EF是梯形力的中位线，

EFIIAD||BCfEF=hAD+BC),EF与BC之间的距离为，

•••BC=2AD,

13

•••EF=在40+240)=

在中，E为AB中点，EM||BP,

EM=鼻P同理可得FN=",

313131

：•MN=EF-EM-FN=制0-"BP+PC)=^AD-BC=^AD-AD=掾40,

・•,S»MN-；,MN,当=1'

4,•h=1,

1,乙

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AD•h=8,

.••梯形4BCD的面积为/(AO+BC)h=jx3ADxh=1x8=12.

乙乙乙

故答案为：12.

【分析】设梯形的高为人根据梯形的中位线可知EM=28P,FN=；PC,即可表示出MN的长度，然后根

据^PMN的买那儿求出求出40・/1=8,然后根据梯形的面积公式计算即可.

17.如图，△ABC为等边三角形，AD_LBC交BC于点D。将△ABC绕点D旋转(a0<0°Va<90°),使得

AB的对应边AB垂直于AC.设A'B交AD于点P,则需=A.

【答案】V3-1

【解析】【解答】解：如图,

♦.•△A8C是等边三角形，。是8c的中点，

•••AD1BC,乙B=Z.BAC=60°,Z.DAC=^Z-BAC=30%

•••A'B'IAC,

^-Rt△APE（设4'B’交AC于点E）中，

匕APE=90°-^DAC=60°

由旋转的性质可知△A'B'C=△ABC,

乙B'=Z.B=60°,DBf=DB,

在△B'PO中，LB'PD=60°,LPB'D=60°,

.•.△B'PD是等边三角形,

PD=。夕，

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：•PD=DB,

在Z-ADB=90°,cB=60°,

:.AD=BD-tan600=>/3BD

/.AP=AD-PD=V3BD-BD=(V5-1)BO,

・•丽=BD=8-1・

故答案为：V3-1.

【分析】根据等边三角形的性质可得4。IBC,^DAC=30",根据直角三角形的两锐角互余求出乙夕PD二

60°,根据旋转的性质可得上e=60。,DB1=DB,即可得到△8'P。为等边三角形，即可得到尸0=08,再

在RCZM8D中根据正切的定义求出4。与BD的数量关系，根据线段的和差求出AP长，求出比值即可.

18.计算：(―.)+1V3—1|—V48+

【答案】原式=」+8—4g+不=—3g+4(\+1)

=-3百+2百+2=2一百

【解析】【分析】先运算零次豪、绝对值和分母有理化，然后合并同类二次根式解答即可.

(y2-2x=7,

19.解方程组：1

x-y=4

【答案】解：由②：x=y+4③，将③代入①中:

即y2-2(y+4)=7

y2-2y-8-7=0

：.y2-2y-15=0

••.(y_5)(y+3)=0

•••%=5,y2=-3,

将y】=5代入③:x1=9

将丫2=-3代入③)：亚=1

...卜K或卜2=1

=-3

bi=5(y2

【解析】【分析】由②变形的x=y+4③，然后代人①得到关十y的二次方程，利用因式分解法求出y的值,

然后再代入③求出x的值解方程组即可.

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20.如图，小明正在确认大楼是否安全，规定JVt即为安全。

A

（1）当d=IOO米时，h至少小于多少米？

（2）若测AB长为a,BC长为b,仰角为0,求J（用含有a、b、h的代数式表示）

【答案】（1）解：由题可知，当d=100米时，忐＜春解得力＜12.5,

・・・/i至少需要小于12.5米；

（2）解：如图所示，过点B作建筑物的垂线，垂足为点D,贝UBZ）=d,CD=h-a,

建

筑

物

观测场

在RtZiBCO中，sind==-y-»cos。=黑=/

/i=a+bsinO»d=bcosO，

・h_a+bsinO

''d=bcosO'

【解析】【分析】（1）将d=100代入$V看中，求出h的取值范围即可；

a8

（2）过点B作建筑物的垂线，垂足为点。，即可得到80=d,CD=h-a,在心△BCD中，解直角三角形求

出/i=a+bsi九。,ci=bcosO,然后年计算比值即可.

21.景区有一个观景台，可以通过扶梯前往，8：10：00第一位游客站上扶梯，8：10：51第一位游客到达

观景台；之后的游客有序排队入场，此后每位游客到达时间的间隔为0.8秒。

（1）设登上观景台上的游客数为x（第x位游客），时间为y（从8：10：00开始解答单位为秒），请填写

表格，并列出y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；

X16

y

（2）8：10：00到8：12：00有多少名游客登上观景台?8：12：（X）到8：14：00有多少名游客登上观景

台？

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【答案】（1）解：表格如下:

Xi6

y5155

y=0.8:<+50.2

51=k+b@k=0.8

y=kx+b(k/0).将(1,51)、(6,55)代入

55=6k+b@,b=50.2.

.*.y=0.8x+50.2

（2）W：①从8点10分0秒整到8点12分0秒整，总计时y=120秒.

令0.8%+50.2<120

解得力£87.25%为正整数,因此最大力=87.

答：一共有87位游客到达观景台.

②从8点10分0秒整到8点14分。秒整，总计时y=240秒.

令0.8X+50.2<240

解得工工237.25%为正整数，

因此到8点14分0秒整最多有237位游客到达.

该时间段游客数为237-87=150.

答：一共有150位游客到达观景台.

【解析】【分析】（1）先根据题意填写表格，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；

（2）先计算出每个时间段的时间y的值，然后列不等式求出x的最大整数解解答即可.

22.如图，在四边形ACBD中，AB_LCD且AB平分CD,NBCD=NDAE。在CD上取一点F,使CF=

2AF.

（1）求证：E是BD的中点.

（2）若NCAF的平分线AG交BC于点G,交CB于点H,求证：BDAH=AGAF.

【答案】（1）证明：•••四边形48co为菱形，

Z.DAC=Z.DCA=乙CAB=Z.BCAfAB=DC,

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Z.FBC=乙CAB,

乙FBC—乙GCA»

:.FB=FC,

•••4尸=2BF,

:•AF=2CF,

•：AB||DC,

:.Z.CEF=Z-ABF,

v乙EFC=/AFB,

AFBCFE,

AFAB日H4BC

CF=CEf即在=2，

-AB=DCf

.•若二2,即。C=2CE

故CE=DE.

(2)证明：•・・据(1)可知乙/8。=乙8。4,

...乙BFA=Z-FBC+4BCA=2乙FBC,

Z-FBC=Z.CAB,

:.Z.BFA=2乙CAB,

•••ADAC=^DCA=乙CAB=^BCA,乙BAH=^DAC+"AB,

•••/.BAH=2乙CAB,

...乙BFA=乙BAH,

•••B4平分乙

...乙ABH=乙GBF,

BFGBAH,

BF_BG

,•丽=丽’

•••BA=CD,

BF_BG

'而二丽’

:.CD-BG=BH•BF.

【解析】【分析】(1)利用菱形根据菱形的性质得到乙/8c=48&4,再根据等角对等边得到尸5=/T,即可

得到四=2CF,然后根据平行线得到“"=乙48F,即可得到乙"C=^AFB,根据两角相等证明△AFB〜

ACFE,根据对应边成比求出力。=2。?，证明结论即可：

(2)先根据三角形的外角和角的和差得到M凡4=4BAH,利用角平分线可得乙=/GBF,进而得到4

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BFGfBAH,根据对应边成比例证明即可.

23.有抛物线y=axZ+bx+c,其对称轴交x釉十A。将A向右平移1个单位得点B。点C与点B的横坐标相

同，且点C的纵坐标为2a,则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”。

(1)若抛物线的解析式为y=2x2-c(c为常数)，求其派生直线的表达式；

(2)已知抛物线的派生点为点C,抛物线与其派生直线.y=2x-6的公共点为P(1,m),点Q(7,n)

为其派生直线上一点，求益的值，并判断点Q是否在该抛物线上。

【答案】⑴解：已知函数y=2/+3,可得Q=2,b=0,二次函数对称轴为％=一4=0,对称轴与％轴

交点力坐标为(0,0)，

将力向右平移1个单位得到8,

B的横坐标为0+1=1,

根据定义，C横坐标为1,纵坐标为2a=4.即C(l,4),

设派生直线力C解析式为y=kx,

代入C(l,4)得k=4.

因此该函数的派生直线解析式为y=4x.

(2)解：由题意，4是派生直线y=2%-6与x轴的交点，4纵坐标为0,

将y=0代入y=2x—6得0=2%—□,

解得x=3,因此A(3,0),

根据定义，B横坐标为3+1=4,因此C横坐标为4,

将％=4代入y=2%—6得y=2.

因此C(4,2),

将代入y=2x-6得

m=-4,即P(l,-4),

将Q(7,n)代入y=2/-6得n=8,即Q(7,8),

APC=J(4-1)2+(2—(-4))2=3V5,CQ=J(7—4)2+(8-2尸=3圾,

PC3后।

由定义，抛物线对称轴为x=3,

C纵坐标为2a=2,得

Q=1,

设抛物线解析式为y=(%-3)2+k.

•・・p(l,-4)在抛物线上，代入得一4=(1-3)2+k,

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解得％=-8,

;抛物线解析式为y=（尤一3/一8二/一人+1,

・,•将x=7代入抛物线解析式得y=72-6x7+1=8,与Q的纵坐标相等，

因此点、在抛物线上.

【解析】【分析】（1）先根据新定义得到抛物线的派生点C的坐标，然后利用待定系数法求出派生直线解析

式即可；

（2）先根据新定义得到宜线与x轴交点A的坐标，然后派生点的额定义求出点C的坐标，然后求出点P,Q

的坐标，即可根据两点间距离公式求出PC、CQ长，计算比值即可：然后求出抛物线的解析式，把点Q的横

坐标代入，求出纵坐标判断即可.

24.如图，在。O中，AE为直径，弦AB=CD,点D在弧AB上，AB、CD交于点P。

（1）连接OP,

①求证：乙APO=LCPO.

②连接OB交PC于H。若.PB=1,AE=4,OP=OH,求PH的长。

（2）连接AC、PE交于Q,满足PQ=EQ0点F再线段AP上，且.PF=4AF。ZPFE=/PQA,求能

【答案】（1）①证明：如图，作于G,。2_1,。0于2,连接0C,

图1

・"G=，B,CZ=^CD,

*：AB=CD,

•'.AG=CZ,

'：0A=OC,^AGO=Z-CZO=90°,

：.RtLOAG=RtAOCZ(HL),

：.0G=OZ,

'：LPGO=/.PZO=90°,OP=OP,

：.Rt△OPG=/?t△OPZ(HL),

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・••乙4P。=乙CPO；

（2）*/PO=HO,

:.乙OPH=乙OHP,

由（1）可知，Z.OPC=Z.APO,

：.Z.APO=乙OHP,

♦:乙BPO=180°-Z.APO,Z-BHP=180°-乙OHP,

・"BPO=乙BHP,

在△HP”和△BOP中,Z.BPO=Z.BHPfZ.PBH=Z-OBP,

：.2BPH"BOP,

.BP_BH_PH

，，OB='BP=OP，

*：AQ=4,

：.OB=2,

":BP=1,

.BP_1_BH_PH

,,9=2=丁=丽’

・・・BH