海南儋州市2025-2026学年高一年级下册7月期末期末学业质量监测数学试题（试卷+解析）

脩州市2026年春季学期高一期末学业质量监测试题

数学

考生注意：

1.本试卷共150分，考试时间120分钟.

2.作答时，请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）

1.己知复数z满足（l+i）z=|2-2i|（其中i为虚数单位），则z的共枕复数彳=（）

A.2-2iB.2+2iC.亚+、区D.丘-亚

2.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100

人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的

人数为（）

A.30B.25C.20D.15

3.已知向量2=（2x-l,x）,b=（1,1）»若G上B,贝山3,-2刃=（）

A.2B.2y/2C.3D.何

4.已知加，〃是两条直线，夕是一个平面，下列命题正确的是：）

A.若〃//a,则〃?//〃B.若〃zJ_a,mJ.n,则〃//a

C.若阳_La,〃ua,则ni±nD.若加//a,加JL〃，则〃_La

5.己知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为4兀，则此圆锥的体积为（）

A.8岛B.千兀C.1671D.—71

6.在△力吕。中，已知/C=5,43=3,8C=7,<O是4c边上的中线，则4。=（）

1571915

A.—RD.

42T

7.将函数/（x）=sinox+W（。>0）的图象向左平移兀：个单位长度后，得到的函数图象关于直线

13166

x=—对称，则①的最小值是（）

6

8.如图，在直角梯形45CQ中，ABLAD,AB\\DC,AD=DC=2yAB=4f以四条边为直径向外作四

个半圆，点"是这四个半圆弧上的一个动点，则初•方的最大值是（）

D.12+4企

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，有选错的

得0分.共18分.）

9.一组样本数据如下：47,48,49,50,51,52,53,则（）

A,该组数据的平均数为50B.该组数据的中位数为50

C.该组数据的方差为3D.该组数据的第80百分位数为5L5

10.已知平面向量值=(l,cos8)4=(-2,sin6),则()

A.A6wR,肩1不垂直

B.3<9GR,使得23共线

7T一

C.当。=—时，a+b=3

1一

D.当6=0时，彳在B方向上的投影向量为-不6

II.已知棱长为2的正方体-点户是4C的中点，点。在线段C。上，满足

C0=/ICD（O</1<1）,则下列表述正确的是（）

A,尤二工时，PQ//平面力BQi

2

B.不存在4£[0』],使得40_L平面44n

C.任意4£[0,1],三棱锥尸-力圈。的体积为定值

D.过点4/,。的平面分别交8图。2于E],则的+O/的范围是[1,2]

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.已知复数4二-2+i/2=3+2i,则复数4—Z?在复平面内对应的点位于第象限.

2兀

13.在△/BC中，角4、8、C所对的边分别为。、b、c,若力=——，h+c=6,sinC=2sin8,则

3

14.三棱锥P—48C的顶点都在球。的球面上，且AB=26,AC=道,/ABC=巴,若三棱锥

6

P-/I8C的体积最大值为主叵，则球。的表面积为

2----

四、解答题（本题共5小题，共77分.）

15.如图，在正方体48C。—4与G，中，E是棱CG上一点，且CE：EG=1：2.

（1）试画出过A,4£三点的平面截正方体ABCD-44G。所得截面a；

（2）证明：平面与平面力BCO相交，并指出它们的交线.

16.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者,

更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办「'创建文明城市“知识竞

赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于4。分的整

数）分成六段：［40,50）,［50,60）,…，［90,100］得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中。的值及样本成绩的第80百分位数；

（2）求样本成绩的平均数，中位数和众数：

（3）已知落在［50,60）的平均成绩是55,方差是7,落在［60,70）的平均成绩为67,方差是4,求两组成

绩合并后的平均数1和方差/

17.已知。分别是锐角△48C三个内角48,。的对边，且JJasinC=c（l+cos力），asinB二

（1）求4b的值;

（2）求a/BC面积的取值范围.

其中已知函数的图象关于点

18.设函数/(x)=sinj-bsinlcox-^-,0<o<3,/(x)y,0

\\2/\6

成中心对称.

（1）求3;

（2）当xw［0,可时，求函数/（工）的单调递增区间;

心「兀］八「3兀，且半，sin（4一a）=等，求用的值.

（3）若,n»Bw7t,

19.如图，在四棱锥P—43CQ中，AD//BC,ADLDC,BC=CD=-AD=1,E为棱/。的中

2

点，P4上平面力BCD.

p

(1)求证：4B//平面PCE；

(2)求证：平面尸平面P9。；

(3)若二面角P-C。-4的大小为45'，求直线尸力与平面PB。所成角的正弦值.

僧州市2026年春季学期高一期末学业质量监测试题

数学

考生注意：

1.本试卷共150分，考试时间120分钟.

2.作答时，请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.)

1.己知复数z满足(l+i)z=|2-2i|(其中i为虚数单位)，则z的共枕复数彳=()

A.2-2iB.2+2iC.应十5D.近-亚

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的除法运算法则，结合求模公式及共规复数的概念，即可得答案.

【详解】由题意J—+(-2匚=2或(l—i)=20(1一)二血—/3

1+i1+i(l+i)(l-i)2

则Z的共规复数Z=V2+72i

2.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100

人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有8()()人，则高三年级抽取的

人数为()

A.30B.25C.20D.15

【答案】B

【解析】

［分析］根据分层抽样的抽样比公式进行求解即可.

【详解】根据分层抽样的性质可知：

高三年级抽取的人数为100X-----------=25.

500+700+800

故选：B

3.己知向量。=(2x-l,x),^=(1,1),若方1B，JW|3a-2b=()

A.2B.20C.3D.VfO

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得'=进而利用向量的线性坐标运算求得35-23的坐标，代

3

入模的运算公式即可求解.

【详解】因为向量万=（2%一1户），6=（1,1）,且所以2X-1+X=0,解得X=

所以3。-25二（6%一3,3力一（2,2）=（-3,-1）,所以13万—2耳二可.

4.已知小，〃是两条直线，。是一个平面，下列命题正确的是：）

A.若m//a,〃//a,则〃z//〃B.若加_La,ni±n,则〃//a

C.若m_La,na.a,则〃?_L〃D.若〃z//a,则〃_La

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间中线、面关系的判定和性质逐一判断即可.

【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误；

对B：若〃z_La,加J.〃，则〃//a或〃ua,故B错误；

对C：根据线面垂直的定义可知，C正确；

对D：若加//a,nt±n,则直线〃与平面a的位置关系不确定，故D错误.

故选:C

5.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为4兀，则此圆锥的体积为（）

A.8岳B.—7tC.16兀D.3兀

33

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意结合圆锥的结构特征列式求尸,/,人，进而可得体积.

【详解】设圆锥的底面半径为〃，母线长为/，高为〃，

nr2-4兀f

]r=2

由题意可得：＜—x2nl=2nr,解得，/=4,

2

h=26

h=yjI2—r2

所以圆锥的体积为p=lx4兀乂2石=辿.

33

故选：B.

6.在△WBC中，已知4C=5,46=3,BC=7,/O是BC边.上的中线，则力。=()

15715

A.——C.一D.

42T

【答案】B

【解析】

【分析】利用两次余弦定理即可求解.

„AB2+BC2-AC29+49-2511

由余弦定理得:cosB----------------=---------=——

2ABBC2x3x714

4971119

再由余弦定理得：AD2=AB2+BD2-2AB-BDCOSB=9+——2x3x-x—=—,

42144

则,4。=晅，

2

故选：B

7.将函数/(x)=sin0X+J(切＞0)的图象向左平移n2个单位长度后，得到的函数图象关于直线

I3J66

%二四对称，则。的最小值是()

6

15

A.vB.-C.2D.6

22

【答案】B

【解析】

【分析】通过平移得到g(x)=sin＜yx+$3+J,再利用无•称性列方程20+刍0+：=依+V，即

V63J6632

可求解.

【详解】函数/(x)=sin公i(。＞0)的图象向左平移三个单位后,

兀271

得到的函数g（x）=sin的+3卜

I63y

因为曲线V=g（x）关于直线x=y对称,

LL,，兀兀2兀，兀，〜

所以一。+—0+—=攵兀+—,kwZ,

6632

解得：s=3k一一,keZ,

2

因为。>0,令k=l,得0=|",所以0的最小值是一.

22

故选：B.

8.如图，在直角梯形48。。中，ABl.AD,AB\\DC,AD=DC=2,AB=4,以四条边为直径向外作四

个半圆，点用是这四个半圆弧上的一个动点，则而.存的最大值是（）

A.8B.16…+等D.12+4北

【答案】D

【解析】

【分析】根据点M的位置，分类讨论，利用数量枳的定义即可求解.

【详解】要使而•通最大，石？与刀的夹角〃小于90°,

当点M在孤0c上时，而.布=|而卜cos。♦画42・4=8,

当点A/在弧上时，AA/-^=|^A7|-COS6>-|ZS3函2=16,

当点”在弧BC上时，取线段8c中点为。，

则而•方=西+两）.方=初方+西.万

=|』0|«力8卜（：05（40,/8）+|0〃,481（：05（0711,48）

=3x4+\[1x4xcos<OM,AB>，

所以当次7与方同向时，cos<OM~AB>niax=1,

止匕时而.前最大值为12+4加，

故选：D.

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，有选错的

得0分.共18分.)

9.一组样本数据如下：47,48,49,50,51,52,53,贝<)

A.该组数据的平均数为50B.该组数据的中位数为50

C.该组数据的方差为3D.该组数据的第80百分位数为51.5

【答案】AB

【解析】

十…―47+48+49+50+51+52+53350“

【详解】对于A项:平均数x=---------------------------=—=50,故A正确;

77

对于B项：该组数据共7个，从小到大排列后中位数为第4个数据，即50,故B正确：

对干C项：方差52=3乂[(一3)2+(-2)2+(-1)2+02+12+22-32]=4,故C错误；

对于D项：由7x80%=5.6,结果不是整数，向上取整为6,因此第8()百分位数为第6个数据52,不是

515,故D错误.

10.已知平面向量G=(1,COS6),E=(-2,sin。)，贝ij()

A.VOwR,万,B不垂直

B.3<9GR,使得口B共线

C.当0=2时，a+b=3

4

D.当，=0时，q在B方向上的投影向量为一；B

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于选项A,可通过向量的数量积进行判断；对于选项B,根据向量的共线性质进行判断；对于

选项C,首先求出万万的坐标，然后求其和的模；对于选项D,首先求出的坐标，然后根据向量的投

影公式进行求解.

【详解】因为1=（1,cos。）,B=（-2,sin。），

一1

则=-2+sin0cos=-2+—sin2。<0,

2

所以weeR&石不垂直，所以选项A正确.

假设万=23，则sine=-2cos。，所以tan6=-2,

所以当8=wctan（-2）时，之石共线，所以选项B正确.

当夕二'时，,b=一2,日），

所以万+B=（—i,3）,所以M+B卜=JJ,所以选项c错误.

当。=0时，2=（1/）3二（一2,0）,

近2K1r

所以）在月方向上的投影向量为甲匕=一^力=一58.

故选：ABD.

11.已知棱长为2的正方体力8。一44。1。，点尸是8c的中点，点。在线段C。上，满足

CQ=ACD（0<A<iy则下列表述正确的是（）

A.尤=~!•时，尸0//平面44A

2

B.不存在4£[0』],使得40JL平面力用。

C.任意4w[o』],三棱锥尸-44。的体积为定值

D.过点4,P,。的平面分别交明,。2于瓦凡则即十6'的范围是[1,2]

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用线面平行的判定判断A；举例说明判断B；利用等体积法计算判断C；作图直接计算得到

8£+。尸二二一并判断D.

1+2

【详解】对于A,当义二；时，。是CD的中点，而p是4c的中点，则P0//8O//4A，

而B1"u平面PQN平面44于是平面A正确；

对干B,当a=0,即点。与。重合时，由44_L平面ABC。，BDu平面4BCD,

则,44,8Q,又4C_L8Q,4Cc44=4,力。,44u平面44。，则BO_L平面力4。，

而&Cu平面/4。，于是4C_L8Q,又BDIIB\D\,则&CJ.4。，同理同。_1力。，

又4DqBR=D"Di，BRu平面4BR,因此4Q_L平面B错误；

对于c,显然44//CQ//C。，而COU平面487,4片（=平面44尸，则。。//平面44。，

因此点。到平面44P的距离〃为定值，在/中，44_L87，其面积s=；4A为定值,

因此三棱锥P-44。的体积匕『留=%T即,为定值，c正确；

对干D,直线尸。与直线力B和力。分别交于点M,N,则4朋口84二£,A】NCDDI=F,

而有BP=CP=』BC=1,CQ=ACD=2A,

2

当0<X<1时，有BM==24,DN=**E

BPCPCPQCA

1—A

BERMRM2/4DFDNDN~T~1-/1

hill-------=---------=------------------=------------=---------,--------=--------=------------------=-------A-----=--------

i+A

44AMAB+BM2+221+2AA,ANAD+DN2+—

~1T

从而3七=」一44=-生，DF^2-2%

AA1=

14-/1,11+214-71

当4=0时，E,尸分别与民。重合；当力=1时,点E为四中点，F与D重.合,m=大

2-2/1

DF=——二亦成立，

1+A

2Z2-2Z2

则8£+。/=——+------=——，0</1<1,所以BE+D尸的取值范围是[1,2],D正确.

1+41+41+4

故选：ACD.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12,已知复数4=-2+i/2=3+2i,则复数4-Z2在复平面内对应的点位于第象限.

【答案】三

【解析】

【分析】先求出Z-Z2,然后求出其在复平面对应的坐标，从而可得答案

【详解】因为z=-2+i,?2=3+2i,

所以Zl-z2=-2+i—（3+2i）=-5—i,

所以复数4-Z2在复平面内对应的点为（-5,-1）,位于第三象限，

故答案为：三

,2兀.

13.在△力8C中，角4、8、。所对的边分别为。、bc,若4=—,b+c=6,sin。=2sin2?,则

3

a=.

【答案】

【解析】

【分析】根据正弦定理进行角化边，由题意解得两边的长，利用余弦定理，可得答案.

【洋解】因为sinC=2sin8,所以根据正弦定理得c=2b,

代入b+c=6,可得b+2b=6,解得力=2,c=2b=4.

所以由余弦定理可得。2=〃+c2-26ccos4=2?+4?-2x2x4xcosg=28,即〃=2，7.

故答案为：2近.

14.三棱锥P—N8c的顶点都在球。的球面上，且AB=254c=®NABC=j若三楂锥

6

尸-NBC的体积最大值为毡，则球。的表面积为.

2------

【答案】167r

【解析】

【分析】先由余弦定理得到△48。为直角三角形，解得〃二百，再根据R2=/+,.2得到〃与的关

系，而后由三棱锥P—/8C的体积最大值为矩得到〃皿=3,此时d+A=〃mx，即可求得火，代入球

2

的表面积公式可得答案.

【详解】由余弦定理可知：AC2=AB2+BC2-2AB^BCCOS^,

6

即3=12+8。2・6BC，又BC〉O,解得3C=3.

因为8。2+力。2=力夕2,故NC=],△IBC所在小圆的圆心为力B中点，小圆半径尸=Jj；

记球心到小圆圆心的距离为d,球半径为R,三棱锥尸-48C的高为力，

22

则有胃=J+r=3+」,

当三棱锥尸-48c的体积最大时，尸与△48C在球心两侧，此时有

d+R=%、,

再由(Lg)皿=；S»8C〃max，可知矶x=3,

故R2=3+(3-解得R=2,此时S表=4夕火2=4夕’4=16夕，

故答案为：16兀.

四、解答题(本题共5小题，共77分.)

15.如图，在正方体43CQ—44GA中，£是棱CG上一点，且CE:EG=1:2.

(1)试画出过A,4E三点的平面截正方体ABCD-44GA所得截面a：

(2)证明：平面Q/E与平面4BC。相交，并指出它们的交线.

【答案】(1)作图见解析

(2)证明见解析；4G为面Q/E与面48C。的交线

【解析】

【分析】(1)在8c上取一点歹，使得b=；C8,延长交于点G,连结Eb,即可得到

截面;

(2)根据两平面有公共点力,可知两面相交；延长。C,"E,设它们交于点G,可证得G在两面交线

上，由此可知交线为4G.

【小问1详解】

在BC上取一点尸，使得CF=gcB,延长交于点G,连结E7L

则平面/在〃就是过D「A,E三点的平面截正方体ABCD-4BGD所得截面a.

【小问2详解】

•・,4€平面Q/E，力€平面45C。,

.•.平面£>/En平面力即平面O/E与平面48CQ相交.

延长。。,。或，设它们交于点G,

•・・6£直线。石，直线"Eu平面。/E,/.GE平面。/E.

•••Gw直线QC,直线QCu平面48CO,「.Gw平面力5C0.

.•./G为面E与面4BCD的交线.

16.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者,

更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市“知识竞

赛，从所有答卷中随机抽取1（）0份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整

数）分成六段：［40,50）,［50,60）,…，［90,100］得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中。的值及样本成绩的第80百分位数：

（2）求样本成绩的平均数，中位数和众数；

（3）已知落在［50,60）的平均成绩是55,方差是7,落在［60,70）的平均成绩为67,方差是4,求两组成

绩合并后的平均数］和方差

【答案】（1）67=0.030,86

（2）74,75,75

（3）z=63,s2=37

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得参数，根据百分数的定义，可得答案；

（2）根据平均数、中位数以及众数估计值的公式，结合频率分布直方图，可得答案；

（3）根据两个分数段的频率可得其人数比例，结合平均数与方差的计算，可得答案.

【小问1详解】

根据题意可得（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）x10=1,解得a=0.030；

因为前几组的频率依次为005,0.1,0.2,0,3,0.25,

0.8-0.05-0.1-0.2-0.3

所以样本成绩的第8（）百分位数在［80,90）内，且为80f=86.

0.025

【小问2详解】

本戌绩的平均数为45x0.05+55x0.1+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.1=74；

因为前几组的频率依次为0.05,0.1,0.2,0.3,

0.5-0.05-0.1-0.2

所以样本成绩的中位数在［70,80）内，且为70+=75；

0.03

样本成绩的众数为四二汉=75.

2

【小问3详解】

因为［50,60）与［60,70）的频率之比为0.1:0.2=1:2,

又落在［50,60）的平均成绩是55,方差是7,落在［60,70）的平均成绩为67,方差是4,

-12

所以两组成绩合并后的平均数z=55x-+67x-=63；

33

所以两组成绩合并后的方差s2=［7+（55—63）［x；+［4+（67—63）2］xg=37.

17.已知。力,。分别是锐角A/IBC三个内角48,C的对边，且缶sinC=c（l+cos4）,asinB=73.

（1）求4b的值;

（2）求△48。面积的取值范围.

【答案】（1）A=-,b=2

3

（2）俘,26

I2J

【解析】

【分析】（】）根据正弦定理和辅助角公式求出力,再由已知条件结合正弦定理求得/八

（2）先根据正弦定理求出c,8的关系式，然后根据〃的范围求出。的范围，最后利用三角形面积公式即可

求得其面积的范围.

【小问I详解】

在锐角△力3c中，由正弦定理得‘一二」一二」一，

sinAsinBsinC

asinC=csinA,asinB=bsinA,

又V^zsinC=c(l+cos/1),

TocsinA=c+ccosA

•・•c>0,

所以sin4=1+cosA，

则2sinJ--|=1,

k6)

兀

在锐角△/BC中，•.•0<4<一,

2

,兀兀rr.」兀

/.A—=—,即/=一.

663

osinB=，

b二竺皿』二2

sinA.71

sin

3

【小问2详解】

由(1)得4=2，6=2

3

山正弦定理：==得

sinAsinBsine

"还=0二J=^cos8+sin叽巫+],

sinBsinBsinBtanB

0<B<-

2

因为△力8C为锐角三角形，所以,所以BE

兀c兀

—+3〉一

32

所以tan3e,所以cw(1,4),

冬栏，26

所以邑做=­/)<?sinA=

2

(f，2百

故△ZBC面积的取值范围为

2

18.设函数f(x)=sincox--Usin(ox-—其中0＜/＜3,己知函数/'(X)的图象关于点作,0

\\2)16

成中心对称.

(1)求

(2)当x«0,句时,求函数/(工)的单调递增区间：

(3)若a£；，兀，Pe兀，与，且/(2+.)二2'，sin(/7-a)=＞求a+力的值.

【答案】(1)。=2

八5兀1E

⑵院’——，兀

12

⑶子

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等变换得到/(x)=6sin妙一三，将?，0代入，结合0＜。＜3,求出©=2；

k3J16/

(2)整体法得到2工一^£,求出XE0^即为单调递增区间;

•JJ/14

(3)求出sin2a=乎，由同角三角函数关系得到cos2a和cos([-a)的值，凑角法，结合余弦和角公

式得到cos(a+/)=cos[(/?-a)+2a]=曰，结合a,〃的范围，求出。+4=年.

【小问1详解】

走sins」cos—s

//、.7C7T

f(x)=sin<wxcos——coscoxsin——coscox=

v76622

=^sin^-2cos^

=6sincox--71

223

将3。代入得bsinCOTI71=。,故詈-卜”,

663)

解得0=6A+2,AeZ,

又0＜。＜3,故当女=0时，0=2满足要求;

【小问2详解】

rtl(1)知，/(x)=0sin2x--

3J

-7兀1兀5兀

xe[0,兀]时,2x——G——,——

333

故当或2X—郎,弓，即XJ0,yy或X€=时，/（工）单训递增，

DJ4J乙*z1乙I乙

故/（x）单调递增区间为0,普，1In

，兀.

【小问3详解】

fa+)=V3sin2a=绍故sin2a=身

K兀71

又aw-,n,所以2aw-,2TT,

4

因为sin2a=>0，所以2awpK,

5

兀兀

故a£，cos26r=-Vl-sin22a=

452

,C371,,c