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文档简介

导数的概念任务一绝大多数交通事故的发生是由于变换车道造成的，在变道时要迅速提速，车速大于后车，留给后车足够的安全距离。假设智能汽车以60速度行驶在高速公路上，为超车变道，现需要将车速提升到100，求智能汽车的瞬时加速度。车速器显示的速度（瞬时速度），不停地变化，因为汽车作的是变速运动，如何计算？智能汽车的速度问题智能汽车的运动规律为：,问时汽车运动的速度？设S是质点从某一选定时刻到时刻t所走过的路程下面讨论物体在任一时刻

的瞬时速度。，则S是t的一个函数时间内物体经过的路程：分析：内的平均速度为速度的变化不大，可以匀速代替。越小，平均速度就越接近于时刻的瞬时速度局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。割线PQ的斜率为两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题.一、导数的定义定义

设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,

在点处可导,在点的导数.即概念说明：1.导数

是因变量

在点处相对自变量

的变化率，它反应了函数值

随自变量x的变化而变化的快慢程度。2.如果函数y=f(x)在开区间I内每一点都可导,则称函数f(x)在区间I内可导。3.对于任意x∈I,都有导数[f(x)]′与之对应，则导数称为函数f(x)的导函数。

记作：由定义求导数步骤:例1求函数的导数.（2）计算比值：（3）求极限：所以，.（1）求函数增量：解，，，二、导数的几何意义曲线在M

点处的切线斜率函数在点处的导数就是函数所表示的曲线在点处切线的斜率例2求曲线在处的切线方程和法线方程.于是，切线方程为：解所以，由导数的几何意义，得切线斜率：，即；，因为.而法线斜率为：法线方程为：即.，，切线方程为法线方程为

证明：因为函数在点处可导，所以有=

所以函数在点处连续。

定理如果函数在点处可导，则处一定连续。三、可导与连续的关系它在点注意:函数在点x连续未必可导.例:在

x=0处连续,但不可导.求时刻的电流强度通过该导线横截面的电量为则为的函数设有非稳恒电流通过导线．从某一时刻开始到时刻四、变化率问题应用案例1[电流强度]应用案例2[冷却速度]当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就会的函数关系为不断冷却。若物体的温度T与时间t请表示出物体在时刻的冷却速度？T=T(t)假设智能汽车以60速度行驶在高速公路上，为超车变道，现需要将车速提升到100，求智能汽车的初始瞬时加速度。任务实施1.搜集数据：提速时间与瞬时速度。2.拟合速度与时间的关系，给出速度的函数关系3.分析速度与加速度的关系4.求出初始瞬时加速度1.导数的概念及导数的记号.2.导数的几何意义.

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