高等基础数学 1

2022年高职院校教学能力比赛——教案微积分基本公式教学基本信息课程名称高等数学授课班级汽车制造与试验技术21级1班授课内容微积分基本公式授课时数2学时授课人数45授课地点多媒体数学虚拟仿真实验室所选教材《应用高等数学》（主编：卓春英等，出版社：高等教育出版社，版次：第一版）其他资源媒体资源PPT课件，动画，职教云，中国大学MOOC(慕课)国家精品课程在线学习平台环境资源多媒体数学虚拟仿真实验室、汽车虚拟仿真实验室二、教学分析教学内容本次教学内容选自模块4定积分及其应用中的微积分基本定理。主要包括：变限定积分——变上限积分求导、变下限积分求导、变上限函数积分求导牛顿—莱布尼兹公式——直接基本法、分段函数求积、绝对值函数求定积分学情分析知识基础已掌握函数极限的概念和运算；已掌握函数导数的运算和拉格朗日定理；已掌握原函数的概念、定积分的性质和积分公式；已具备一定的物理知识；技能基础已具备寻找规律、总结归纳的能力；已具备一定的数学问题分析能力；已具备查阅资料的能力；学习特点学生的学习具有一定程度的被动接受性，缺乏自我探索；学生善于查阅资料，总结归纳；预判教学难点微积分基本定理的证明和理解；变上限函数积分求导；三、教学目标确定教学目标知识目标理解微积分基本定理；掌握定积分求解方法和步骤；掌握变上限积分函数求导方法；能力目标能够对探索内容进行总结归纳、举一反三的能力；能够运用定积分建立数学模型的能力；能够运用微积分基本定理解决实际问题的能力；素质目标培养学生敢于质疑、自主探索的学习态度；培养学生善于发现、求真务实的学习态度；思政目标：1.感受凡事预则立，不预则废。工欲善其事，必先利其器的观点；2.学生勇于质疑、探索的勇气、创新精神；教学重点内容微积分基本定理的应用；变上限积分函数求导；解决策略分解定理，归纳步骤，按步骤求导；借助微积分基本定理和导数运算，加深理解；教学难点内容微积分基本定理的证明；变上限积分函数求导公式推导；解决策略运用汽车专业知识，逆向设计倒推微积分基本定理；运用微积分基本定理和导数运算求导，归纳总结方法步骤，寻找规律；教学方法教法“问题链”教学法、任务驱动法、小组探究归纳法学法实验探究、小组讨论、自主探究教学设计四、教学实施（一）课前测试、学习诊断教师活动学生活动设计意图课程思政发布复习知识点（函数极限、导数运算、拉格朗日中值定理、定积分性质）课前测试（导数运算、积分中值定理、极限的运算）学生复习发布的知识点；完成课前测验让学生复习准备本次授课所需要的知识基础；了解学生对知识点的掌握情况，为教学实施策略调整做依据；凡事预则立，不预则废。工欲善其事，必先利其器课前学习诊断共性问题定积分的概念理解的很透彻，但性质运用不好；导数的计算掌握很好，但概念理解不透；个体关注对原函数的概念掌握的不好；教学实施策略调整根据学生课前测试结果和教学内容知识点难易衔接，将教学内容进行调整如下：（二）课中讲授、知识内化第一学时（45分钟）环节1情境导入（5分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政复习定积分概念汽车速度函数与路程函数的关系复习定积分的概念，提问怎么计算？已知速度函数，用定积分表示汽车路程；已知路程函数，计算某时间段路程，根据速度函数与路程函数的关系，猜测定积分计算和谁有关？学生回顾，写出数学模型；小组思考，建立模型；结合物理知识，猜测定积分计算需要什么？数学创新的过程：发现——猜测——证明大胆猜测质疑、敢于探索环节2问题分析（5分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政探究定积分的计算条件和结论根据思考的结果，用原函数的概念替换被积函数，建立新的模型；提醒学生用拉格朗日定理代换，化简模型；根据拉格朗日定理的使用条件，探究定积分计算的条件和结论学生将被积函数进行改组，建立模型；学生查阅拉格朗日定理结论，进行化简，探索结果。学生查资料探究。1.逆向设计，根据需要的条件，探寻微积分基本定理勇于探索、创新的精神环节3新知学习（25分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政微积分基本定理引导学生总结归纳，概况微积分基本定理；查资料，微积分基本定理还叫什么定理原因是什么？提问：计算定积分的步骤是什么？学生总结归纳与书上定理对照；学生查资料，了解微积分基本定理的发展史，了解数学家故事回答：第一先找原函数，第二用原函数的上限函数值减去下限函数值；数学家的故事，培养学生积极探索寻找规律；不畏艰苦，勇于创新微积分基本定理应用提出三种不同被积函数的积分问题根据定理、积分公式、定积分性质求解由浅入深、由易入难逐步深入敢于探索面对困难的勇气环节4专业应用（10分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政微积分基本定理专业应用提出问题，引导学生思考建模求解；发布找茬，检查纠错分析问题，建立模型并求解，上传过程结果相互找茬，改正错误专业应用，找茬解决个性问题敢于发现错误、改正错误第二学时（45分钟）环节1问题分析（5分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政已知速度函数求路程函数提出问题：已知速度函数，如何确定路程函数?在指定时间约束条件下，如何确定？小组讨论，查阅资料，思考问题；专业引问题一般与特殊，普通与个别环节2新知学习（25分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政变上限积分函数变上限积分函数求导引出变上限积分函数概念，布置任务：思考与定积分的区别、联系；提出问题：如何计算变上限积分？引导学生用微积分基本定理计算，并总结归纳；引导学生对计算结果进行求导；分析特点；总结归纳变上限积分求导的公式；思考变上限积分与定积分的区别联系，找出共同点；思考问题，分析变上限积分的计算方法；用定理计算，寻找规律；对结果求导，寻找结果和被积函数的关系，总结规律；总结归纳，记录笔记；培训学生分析、归纳总结的能力；变下限积分函数提出问题：如果下限变化，会有什么变化？引导学生对比变上限与变下限积分结果的区别以及导数的区别，总结规律；思考问题，再次探索对比结果，总结规律；对比分析，举一反三的能力；环节3专业应用（10分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政已知速度函数，求路程函数发布任务：求各时间段汽车变速行驶时路程关于时间的函数；检查学生的情况，进行指导；思考问题，建立模型，进行求解；相互帮助指导，对比结果纠错改正；培养学生用数学解决实际问题的能力环节3知识总结（5分钟）教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政微积分基本定理总结检查学生课堂练习结果，引导学生找茬纠错讲解习题，梳理知识点学生找茬纠错；学生梳理知识点，记录课堂笔记，标准重难点明确重难点（三）课后拓展、知识迁移教学内容教师活动学生活动设计意图课程思政微积分定理的发展史；微积分与国家科技发展发送视频、资料，布置任务，让学生更深入的理解微积分；学生收看视频，查阅资料，小组为单位制作有关微积分的短视频，发送朋友圈或其他平台，推广微积分的重要性；让学生了解为什么要学微积分；了解微积分对国家发展的重要性科技兴国数学强国五、教学效果（教学评价与反馈）知识方面：经过本节课的学习，学生掌握了“微积分基本定理”的思想；掌握了变上限积分函数及其求导方法；技能方面：学生具备了应用数学解决实际问题的能力；对比分析问题的能力；总结归纳、举一反三的能力；素养方面：学生自主探索、发现问题、求真务实的学习态度有所提高；思想方面：学生的质疑精神、探索精神得到了很大提升；深刻理解了一般与特殊、普通与个别的辩证思维；课前课中课后课前测试结果：课中随机提问评价结果：课后资源拓展心得体会：六、特色与创新特色将数学研究的“发现问题——质疑猜测——求实论证”的思想融入教学中，培养学生敢于质疑敢于求证的精神；“逆向设计，正向实施”，从猜测的结果推导需要的条件，证明结论成立，培养学生敢于探索创新的精神；“以专业问题为导向”，探索微积分在实际中的应用，培养学生建模求解的能力；创新从学生基本学情出发，重组教学内容（先讲微积分基本定理后讲变上限积分函数）；融入数学文化（微积分发展史），让学生了解微积分对国家科技发展的重要性，也让学生明白科技可以兴国、数学可以强国；七、反思与诊改调整教学内容，突破重难点。按照书上的教学内容是由变上限积分函数推导微积分基本定理，微积分基本定理的证明过程中用到的积分中值定理和导数的概念等，从课前测试结果看出这种证明方法对大部分同学存在难度，难以理解，调整了教学内容后，采用学生容易理解的拉格朗日定理和定积分的概念，解决了教学重难点；学生找茬，点评同学练习。课中练习总结通过学生找茬和帮助改正问题等方法对学生自主纠错、学生的主观能动性有显著帮助；基础不扎实，问题仍存在。极个别同学变上限函数积分的求导，仍然存在出错的情况，究其原因是复合函数求导掌握不熟练，在后期会针对复合函数求导加强练习。

课前任务单课前测试活页式教材求导公式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)求积公式

课后知识拓展题目：数学强则国强——微积分的影响力数学到底有什么用？数学可并不像大多数人理解的一样，去菜市场买菜用不到复杂的数学，而认为没有必要学习它。数学是推动科技发展最为强大的动力，比如，微积分的出现，立即在科技上获得了应用，广泛地应用在了天文学、力学、光学、热学等各个领域，将人类科技推到了一个崭新的高度。微积分的出现，促使英国在1840年左右完成了第一次工业革命，大工业生产使英国的国力空前增强，直接导致帝国主义的野心空前膨胀。为了获取更多的利益，开始疯狂的对外扩张。1840年，侵略者们把目光投向了在清朝统治下积贫积弱的中国，用它的坚船利炮敲开了我们的国门，使中国开始了长达一百年的屈辱史。从表面来看，造成中国落后挨打的根本原因，是腐败无能的清朝政府实行闭关锁国的政策，造成了国家积贫积弱的结果。而在更深层次上，则是当时的中国数学，错过了一个可以与世界同步快速发展的时期。古代中国的数学与西方都是不分高下的，但是从极限理论开始，我们就开始落后于西方，而在微积分出现之后，西方国家的数学进入了高速发展的快车道，而中国同期的数学几乎是一片空白。在1820年前后，西方的一大批数学如波尔模诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等开始关注微积分，半个世纪之后，数学家威尔特拉斯、戴德金和康托尔彻底解决了微积分的问题，为“数学分析”奠定了基础。早在17世纪，牛顿和莱布尼兹已经创立了微积分，以“无穷小分析”为基础，当时由于对其概念的理解和运用非常地混乱，从而遭到了很多人的质疑与猛烈地抨击，从而引发了第二次数学危机。经过数学家们的努力，渐渐地完善了近代数学体系，最后由数学家柯西用“极限的方法”定义了“无穷小量”，彻底解决了第二次数学危机，使近代数学体系变得更加完善。微积分是现代科学的基础，是促进科技发展锐利无比的数学工具。微积分一出现，数学史上无数难题被轻而易举的解决了。如果没有微积分，人类的发展会推迟至少两百年，我们现在所处的美妙世界定然会黯然失色！微积分主要是用来研究函数的，分为微分与积分两种，一个是切分问题：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度；一个是求积问题：已知运动的速度求给定时间内经过的路程；微分研究函数的一般性质，积分解决微分的逆运算。微分方程在函数和代数之间搭建起了桥梁，比如二次函数的求最大值和最小值问题，微积分研究几何问题。在生产生活当中，人们极其需要一种高效的方法来计算不规则物体的长度、面积、体积，而微积分的出现，正好解决了这些问题。微积分是“数学分析法”的开端，是集合论的基础，使“实数论”的研究得以更加的深入。题目：数学对国家的重要性数学对国家的重要性用一句话概括：“得数学者得天下”，充分说明了数学得重要性，事实上，纵观世界上的那些发达国家，基本都是数学强国，而探究科技发展的轨迹历程，基本上也是数学发展演变的历程。一、对国家发展的影响观看历史，17世纪的牛顿，发明了微积分，用微积分研究了许多力学、天体运动的问题，为英国18世纪的工业革命、社会经济变革等奠定了坚实的基础，成功崛起，主宰了一个时代。俄罗斯从19世纪开始重视数学在内的基础科学教育，导致了苏联在20世纪成为数学强国，并发射了第一颗人造卫星。第二次世界大战前，美国只是一个新兴国家，但它重视数学家的地位，吸纳了大量的犹太裔数学家以及其它欧洲的数学家移居美国，迅速成长为世界大国。二、对科技发展的影响美国数学家香农提出了信息熵的概念，奠定了信息论和数字通信的基础，现在的通信研究都十围绕着香农的三定理进行的，包括现在的4G、5G的发展，都是在香农定理的基础上发展的。数学家冯·诺依曼提出的存储程序原理，利用二进制把程序本身当成数据对待，使得计算机技术得到飞速发展，即便到现在，他的理论体系依然在用。