2027年高考数学一轮复习(创新设计)第1节 任意角、弧度制和三角函数的概念

课标要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l角度与弧度的换算1°＝π180rad;1rad＝180弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|3.任意角的三角函数(1)定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y余弦x叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝x定义正切yx叫做α的正切函数，记作tanα即tanα＝yx(x≠三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.(3)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα＝yr;cosα＝xr;tanα＝yx(1.象限角2.轴线角3.若角α∈0,π2，则sinα<α<tan1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)锐角的取值范围是0,π(2)第一象限角不一定是锐角.2.(人教A必修一P175T2改编)角－843°的终边所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析－843°＝－2×360°－123°，则－843°和－123°的终边相同，故角－843°的终边在第三象限.3.(人教A必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sinθ＋cosθ＝.

答案－7解析由三角函数的定义可得sinθ＋cosθ＝5(−12)2+4.(北师大必修二P12B组T2)在半径为R的圆中，120°的圆心角所对的弧长为，面积为2R2的扇形的圆心角等于弧度.

答案2π3R解析由弧长公式可得l＝|α|R＝2π3R由扇形面积公式得S＝12|α|R2＝2R2∴|α|＝2R考点一象限角及终边相同的角例1(1)(多选)下列命题正确的是()A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C.第三象限角的集合为αD.在－720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°(2)若α是第二象限角，则()A.－α是第一象限角B.α2C.3π2＋αD.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角答案(1)AD(2)D解析(1)A项显然正确;B中，终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝π2＋kπ，k∈Z}，角度与弧度不能混用，故错误C中，第三象限角的集合为α|π+2kπ<D中，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°<0°(k∈Z)，解得－178≤k<－18(k∈从而当k＝－2时，β＝－675°;当k＝－1时，β＝－315°，故正确.(2)因为α是第二象限角，可得π2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z对于A，可得－π－2kπ<－α<－π2－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误对于B，可得π4＋kπ<α2<π2＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，当k为奇数时，α2的终边在第三象限，所以α2是第一或第三象限角，B对于C，可得2π＋2kπ<3π2＋α<5π2＋2kπ，k∈即2(k＋1)π<3π2＋α<π2＋2(k＋1)π，k∈所以3π2＋α的终边在第一象限，所以3π2＋α是第一象限角，C对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角，D正确.感悟提升1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.2.确定kα，αk(k∈N*先写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在的位置;对于θ2终边所在位置可以采用如下方法:若θ训练1(1)集合{α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈(2)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为.

答案(1)C(2)−解析(1)当k取偶数时，比如k＝0，此时π4≤α≤π2，故角的终边在第一象限或y当k取奇数时，比如k＝1，此时5π4≤α≤3π故角的终边在第三象限或y轴的负半轴.综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.(2)在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角为π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有π在[－2π，0)内满足条件的角有－23π和－5故满足条件的角α构成的集合为−5考点二弧度制及其应用例2已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝π3，R＝10cm，求扇形的弧长l(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大?(3)若α＝π3，R解(1)因为α＝π3，R＝10所以l＝|α|R＝π3×10＝10π(2)由已知，得l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5cm时，S取得最大值，此时l＝10cm，α＝lR＝2(3)设弓形面积为S弓形，法一由题意知l＝2π3所以S弓形＝12×2π3×2－12×22＝2π3－3法二S弓形＝12×π3×22－12×22×sinπ感悟提升应用弧度制解决问题的思路(1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题.(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.训练2(1)砖雕是古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气等特点.图(2)是根据一个砖雕(如图(1))所作的扇环，该扇环可视为将扇形OAB截去同心扇形OCD所得的图形，若∠AOB＝2π3，C，D分别在OA，OB上，AC＝2，AB的长度＝2π，则该扇环的面积为()A.8π3 B.C.5π3 D.(2)已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值为.

答案(1)A(2)36解析(1)因为∠AOB＝2π3，＝2π，所以OA＝＝2π2π3所以OC＝OA－AC＝3－2＝1.由扇形面积公式可得该扇环的面积S＝12×2π3(OA2－OC2)＝π3×(32－12)＝8π(2)设扇形的弧长为l，半径为r，则l＋2r＝24，所以扇形的面积S＝12lr＝14l·2r≤14l当且仅当l＝2r，即l＝12，r＝6时取等号，所以该扇形的面积的最大值是36.考点三三角函数的定义及应用角度1三角函数的定义例3(1)(2026·开封调研)已知角α的终边经过点P(－1，m)，且sinα＝－35，则tanαA.±34 B.C.－34 D.(2)角α的终边在直线y＝32x上，则cosα的值为.答案(1)B(2)±2解析(1)∵角α的终边经过点P(－1，m)，∴sinα＝mm2+1＝－35，得∴tanα＝－m＝34(2)法一当角α的终边位于第一象限时，取直线y＝32x上位于第一象限的一个点的坐标，如则cosα＝213同理，当角α的终边位于第三象限时，取直线上一个点的坐标为(－2，－3)，则cosα＝－21313，故答案为±法二∵角α的终边在直线y＝32x上∴tanα＝32，即sinα又sin2α＋cos2α＝1，②∴解①②构成的方程组，得cosα＝±21313，经检验，角度2三角函数值符号的判定例4已知sinθ·tanθ<0，且cosθ·sinθ<0，则θ为()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案B解析因为sinθ·tanθ<0，所以θ的终边可能在第二、三象限;因为cosθ·sinθ<0，所以θ的终边可能在第二、四象限.要同时满足sinθ·tanθ<0，cosθ·sinθ<0，则θ为第二象限角.故选B.感悟提升1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练3(1)已知点P的坐标为(sin5，cos5)，则点P位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)(多选)(2026·广州质检)已知角θ的终边经过点(－2，－3)，且θ与α的终边关于x轴对称，则()A.sinθ＝－21B.α为钝角C.cosα＝－2D.点(tanθ，tanα)在第四象限答案(1)B(2)ACD解析(1)∵3π2<5<2π，∴sin5<0，cos∴点P位于第二象限，故选B.(2)因为角θ的终边经过点(－2，－3)，所以sinθ＝－37＝－217，故A因为θ与α的终边关于x轴对称，所以α的终边经过点(－2，3)，则α为第二象限角，不一定为钝角，且cosα＝−27＝－277，故B错误因为tanθ＝32>0，tanα＝－3所以点(tanθ，tanα)在第四象限，D正确.

一、单选题1.下列与角9π4A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋9π4(k∈ZC.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z答案C解析与角9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确.2.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sinα，tanα)在第四象限，则角α的终边在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析因为点P(sinα，tanα)在第四象限，所以sinα>0，tanα<0，所以角α的终边在第二象限.3.若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α＋2π3A.第一象限 B.第二象限C.y轴的非负半轴上 D.x轴的非正半轴上答案A解析由角α的终边在y轴的非正半轴上可知α＝3π2＋2kπ，k∈Z故α＋2π3＝3π2＋2kπ＋2π3＝13π而角13π6＝2π＋π6故角α＋2π3的终边在第一象限4.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanαA.－45 B.－C.－34 D.－答案D解析因为α是第二象限角，所以cosα＝15x<0，即x又cosα＝15x＝x解得x＝－3(x＝3舍去)，所以tanα＝4x＝－45.已知点P−12,32在角θA.π3 B.C.5π3 D.答案B解析由题意，得θ为第二象限角，又θ∈[0，2π)，则π2<θ易知tanθ＝－3，所以θ＝2π6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题:[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何?[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何?翻译为:[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少?[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少?则下列说法正确的是()A.问题[三三]中扇形的面积为240平方步B.问题[三四]中扇形的面积为50494C.问题[三三]中扇形的面积为60平方步D.问题[三四]中扇形的面积为50492答案B解析依题意，问题[三三]中扇形的面积为12lr＝12×30×162问题[三四]中扇形的面积为12lr＝12×99×5127.(2026·南京质检)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为5−12时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCDA.5+14C.3－5 D.答案B解析设∠AOB＝θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意，有12即r2所以r1从而得r18.已知相互啮合的两个齿轮，大齿轮有45齿，小齿轮有30齿.如果大齿轮的转速为180r/min(即每分钟旋转180圈)，小齿轮的半径为10cm，那么小齿轮圆周上一点每1s转过的弧长是()A.5400πcm B.90πcmC.180πcm D.40πcm答案B解析大齿轮有45齿，小齿轮有30齿，当大齿轮转动一周时，小齿轮转动4530＝3大齿轮的转速为180r/min，则小齿轮转速为32×故小齿轮圆周上一点每1s转过的弧度数为270×2π÷60＝9π.又小齿轮的半径为10cm，所以小齿轮圆周上一点每1s转过的弧长为9π×10＝90π(cm).二、多选题9.下列说法正确的有()A.角π3与角－5πB.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C.若角α的终边在直线y＝－3x上，则cosα的取值为D.67°30'化成弧度是3π8答案AD解析角π3与角－5π3相差2π，终边相同，故A终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误;若角α的终边在直线y＝－3x上，则cosα的取值为±1010，故C67°30'化成弧度是3π8rad，故D正确10.已知点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是()A.5π4,9πC.−π2,答案AD解析由点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，可得sinx－cosx<0，即sinx<cosx，所以－3π4＋2kπ<x<π4＋2kπ，k∈当k＝0时，x所在的一个区间是−3π当k＝1时，x所在的一个区间是5π411.(2026·北京昌平区质检)已知角α是第二象限角，则下列不等式一定成立的是()A.sinα2<0 B.tanαC.sinα2>cosα2 D.sin答案BD解析由题设，2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z故kπ＋π4<α2<kπ＋π2，k当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋π4<α2<2nπ＋π2，n∈Z，则角α2当k＝2n＋1，n∈Z时，2n