2027年高考数学一轮复习(创新设计)第1节 集合

课标要求1.了解集合的含义,理解元素与集合的关系.2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集、交集与补集.4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR2.集合间的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).(2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A).(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B.(4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U,则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A.(2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A.(3)A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB.3.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)若1∈{x2,x},则x=-1或1.()(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.空集只有一个子集.(2)错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集.(3)错误.当x=1时,不满足集合中元素的互异性.2.(人教B必修一P9练习BT4改编)已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,则x=.

答案-1或-8解析若x-2=-3,得x=-1,符合题意,若x+5=-3,得x=-8,符合题意,故x=-1或-8.3.(人教A必修一P13T1改编)已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(∁UB)=.

答案{2,4}解析易知∁UB={2,4,6},故A∩(∁UB)={2,4}.4.(苏教必修一P23T14改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围是.

答案[2,+∞)解析由图可知a≥2.考点一集合的基本概念例1(1)(多选)下列各组中M,P表示不同集合的是()A.M={3,-1},P={(3,-1)}B.M={(3,1)},P={(1,3)}C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R}D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}(2)若含有3个实数的集合既可表示成a,ba,1,又可表示成{a2,a+b,0},则a2027+b2027答案(1)ABD(2)-1解析(1)选项A中,M={3,-1}是数集,P={(3,-1)}是点集,二者不是同一集合,故M≠P;选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P;选项C中,M={y|y=x2+1,x∈R}=[1,+∞),P={x|x=t2+1,t∈R}=[1,+∞),故M=P;选项D中,M是二次函数y=x2-1,x∈R的所有y组成的集合,而集合P是二次函数y=x2-1,x∈R图象上所有点组成的集合,故M≠P.(2)因为a,ba,1={a2,显然a≠0,所以ba=0,即b此时两集合分别是{a,1,0},{a,a2,0},则a2=1,解得a=1或a=-1.当a=1时,不满足互异性,故舍去;当a=-1时,满足题意.所以a2027+b2027=(-1)2027+02027=-1.感悟提升1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是数、点,还是其他元素;然后再看集合的构成元素满足的限制条件,从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.训练1(1)(2026·江西重点高中联考)已知集合A={x|x2-3x-10<0},则()A.-4∈A B.-2∈AC.3∈A D.5∈A(2)设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C中元素的个数为()A.3 B.4C.5 D.6答案(1)C(2)B解析(1)由题得A={x|(x+2)(x-5)<0}={x|-2<x<5},结合各选项,A,B,D错,C正确.故选C.(2)因为集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},所以C={5,6,7,8},即C中元素的个数为4.考点二集合间的基本关系例2(1)设M={x|x=4k-3,k∈Z},N={x|x=2k-1,k∈Z},则()A.M⊆N B.N⊆MC.M=N D.M∩N=⌀(2)已知M={x|-2≤x≤2},A={x|1-a≤x≤1+a},且A∩M=A,则实数a的取值范围为.

答案(1)A(2){a|a≤1}解析(1)因为M={x|x=4k-3,k∈Z}={x|x=2(2k-1)-1,k∈Z},N={x|x=2k-1,k∈Z},所以M⊆N.故选A.(2)因为A∩M=A,所以A⊆M,又因为A={x|1-a≤x≤1+a},当A=⌀时,1-a>1+a,解得a<0;当A≠⌀时,a≥0,1−a≥−2,综上,实数a的取值范围是{a|a≤1}.感悟提升1.若B⊆A,应分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解.训练2(1)(2026·广州模拟)满足{x|x2+2x-3=0}⊆A⫋{-3,-1,0,1,3}的集合A的个数为()A.3 B.7C.8 D.15(2)(2026·河南部分校联考)已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|(x-2)2=a},若A⊆B,则a=()A.-1 B.0C.1 D.2答案(1)B(2)C解析(1)由x2+2x-3=0,整理得(x+3)·(x-1)=0,解得x=-3或x=1,则{-3,1}⊆A⫋{-3,-1,0,1,3},设B={-3,1},所以∁AB⫋{-1,0,3},可得满足题意的集合A的个数为23-1=7.故选B.(2)A={x|x2-4x+3=0}={1,3},B中最多只有2个元素,因为A⊆B,所以A=B,所以a=(1-2)2=1.考点三集合的运算例3(1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=()A.{0,1,2} B.{1,2,8}C.{2,8} D.{0,1}(2)(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则∁U(A∪B)=()A.{1,2,3,4} B.{2,3,4}C.{2,4} D.{4}(3)(2026·石家庄调研)已知集合A,B满足A={x|x>1},B={x|x<a-1},若A∩B=⌀,则实数a的取值范围为()A.(-∞,1] B.(-∞,2]C.[1,+∞) D.[2,+∞)答案(1)D(2)D(3)B解析(1)由题可得B={-1,0,1},所以A∩B={0,1},故选D.(2)由题可得A∪B={1,2,3,5},所以∁U(A∪B)={4},故选D.(3)因为集合A,B满足A={x|x>1},B={x|x<a-1},且A∩B=⌀,则a-1≤1,解得a≤2.感悟提升1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.2.对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示,此时要注意端点的情况.训练3(1)(2026·泰州模拟)已知集合M=xx−1x−5≤0,N={x|x2A.{x|-1<x<2} B.{x|-1<x<5}C.{x|1≤x<2} D.{x|1≤x<5}(2)(2026·青岛质检)设集合A={x∈N|3≤x<6},B={2,3,4,8},则图中阴影部分表示的集合为()A.{2,8} B.{3,4}C.{2,5,8} D.{3,4,5}(3)(2025·衡水模拟)已知集合A={x|y=ln(1-x2)},B={x|x≤a},若(∁RA)∪B=R,则实数a的取值范围为()A.(1,+∞) B.[1,+∞)C.(-∞,1) D.(-∞,1]答案(1)C(2)C(3)B解析(1)法一由x−1x得(解得1≤x<5.由x2-x<2得-1<x<2.则M={x|1≤x<5},N={x|-1<x<2},M∩N={x|1≤x<2}.故选C.法二(特例法)观察选项,取x=0,此时0−10−5=15>0,易知0∉M,取x=3,此时32-3=6>2,易知3∉N,故可排除D.故选C.(2)题图中阴影部分表示∁A∪B(A∩B).A={x∈N|3≤x<6}={3,4,5},B={2,3,4,8},则A∪B={2,3,4,5,8},A∩B={3,4}.故题图中阴影部分表示的集合为{2,5,8}.故选C.(3)由题可知A={x|y=ln(1-x2)}={x|-1<x<1},∁RA={x|x≤-1或x≥1},所以由(∁RA)∪B=R,得a≥1.考点四集合的新定义问题例4(多选)(2026·吉林部分学校联考)对于集合A,若∀x∈A,2-x∈A,则称A为对偶互存集,则下列为对偶互存集的是()A.{-1,0,1,2,3}B.{x|=2k-1,k∈Z}C.y|yD.{y|y=1+sinx}答案ABD解析当x=-1,0,1,2,3时,2-x∈{-1,0,1,2,3},故A正确;{x|x=2k-1,k∈Z}为全体奇数构成的集合,当x为奇数时,2-x也为奇数,故B正确;y|y=1x−1={y|y≠0},{y|y=1+sinx}=[0,2],当x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],故D正确.感悟提升解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目所给定义和要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.训练4(多选)(2025·西安调研)设M,N,P为非空实数集,定义MN={z|z=xy,x∈M,y∈N},则()A.M{1}=M B.M{0}={1}C.MN=NM D.(MN)P=M(NP)答案ACD解析由MN的定义得,M{1}=M显然成立,故A正确;由MN的定义得,M{0}={0}≠{1},故B错误;设x∈M,y∈N,则MN={z|z=xy,x∈M,y∈N},NM={z|z=yx,y∈N,x∈M},所以MN=NM成立,故C正确;设x∈M,y∈N,z∈P,则MN={n|n=xy,x∈M,y∈N},所以(MN)P={t|t=nz=xyz,n∈MN,x∈M,y∈N,z∈P},又NP={m|m=yz,y∈N,z∈P},所以M(NP)={h|h=xm=xyz,m∈NP,x∈M,y∈N,z∈P},所以(MN)P=M(NP)成立,故D正确.故选ACD.容斥原理1.教材母题(人教A必修一P35T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?2.上述问题的解决方法被称为容斥原理,在人教A必修一P15《阅读与思考》中有详细阐释,总结如下:(1)二元容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);(2)三元容斥原理:card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(C∩A)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).典例某学校教师中,会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若至少会其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为.

答案20解析设A={x|x是会打乒乓球的教师人数},B={x|x是会打羽毛球的教师人数},C={x|x是会打篮球的教师人数}.根据题意得card(A)=30,card(B)=60,card(C)=20,card(A∪B∪C)=80,card(A∩B∩C)=5,根据三元容斥原理得card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C),有card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)=35,而card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)中把A∩B∩C的区域计算了3次,故要减掉这3次,才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35-3×5=20.一、单选题1.(2025·新高考Ⅰ卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数},集合A={1,3,5},则∁UA中元素的个数为()A.0 B.3C.5 D.8答案C解析由题知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},故∁UA={2,4,6,7,8},故∁UA中有5个元素.2.(2025·北京卷)集合M={x|2x-1>5},N={1,2,3},则M∩N=()A.{1,2,3} B.{2,3}C.{3} D.⌀答案D解析因为M={x|2x-1>5}={x|x>3},所以M∩N=⌀.3.已知集合A={-1,a2-2a+1,a-4},若4∈A,则a的值可能为()A.-1,3 B.-1C.-1,3,8 D.-1,8答案D解析由题意,若a2-2a+1=4,解得a=3或a=-1,若a-4=4,解得a=8,当a=-1时,A={-1,4,-5}满足题意,当a=3时,A={-1,4,-1}违背了集合中元素间的互异性,当a=8时,A={-1,4,49}满足题意,综上所述,a的值可能为-1,8.4.已知集合M={-1,1,2,3,4,5},N={1,2,4},P=M∩N,则P的真子集共有()A.3个 B.6个C.7个 D.8个答案C解析因为M={-1,1,2,3,4,5},N={1,2,4},所以P=M∩N={1,2,4},所以P的真子集共有23-1=7(个).5.(2026·泉州模拟)已知集合A={-9,-4,-2,1,2,3,4},B={x∈A|x∈A},则∁A(A∩B)=()A.{-2,1,2,3} B.{-2,2,3}C.{-2,1,3,4} D.{-9,-2,1,3}答案B解析依题意,B={-9,-4,1,4},所以A∩B=B={-9,-4,1,4},所以∁A(A∩B)={-2,2,3}.故选B.6.(2026·盐城段测)已知集合A={0,1},A∪B={0,1,2,3},则下列关系一定正确的是()A.1∉B B.{0,1}⊆BC.{2,3}⊆B D.{1,2,3}⊆B答案C解析因为集合A={0,1},A∪B={0,1,2,3},所以2∈B,3∈B,所以{2,3}⊆B,C选项正确;0,1可以在集合B中,也可以不在集合B中,所以选项A,B,D错误.7.(2026·鄂州模拟)已知全集U={x|x∈N,x≤9},A={1,2,6},B={6,7,8},则{1,2}可以表示为()A.(∁UA)∩B B.(∁UB)∩AC.∁U(A∩B) D.∁U(A∪B)答案B解析因为全集U={x|x∈N,x≤9}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,6},B={6,7,8},所以(∁UB)∩A={0,1,2,3,4,5,9}∩{1,2,6}={1,2},B选项正确.(∁UA)∩B={0,3,4,5,7,8,9}∩{6,7,8}={7,8};A∩B={6},A∪B={1,2,6,7,8},则∁U(A∩B)={0,1,2,3,4,5,7,8,9},∁U(A∪B)={0,3,4,5,9}.故选B.8.(2025·重庆南开中学质检)设集合A={x|x=4k+1,k∈Z},B={x|x=4k+3,k∈Z},则A∪B=()A.{x|x=4k,k∈Z} B.{x|x=2k-1,k∈Z}C.{x|x=4k-1,k∈Z} D.{x|x=8k+4,k∈Z}答案B解析因为A={x|x=2·2k+1,k∈Z},B={x|x=2(2k+1)+1,k∈Z},所以A∪B={x|x=2k+1,k∈Z},即A∪B表示全体奇数构成的集合.选项A,D对应的集合中的元素均为偶数,故A,D错误;选项B对应的集合中的元素是全体偶数减1对应的数,即选项B对应的集合由全体奇数组成,选项C对应的集合中的元素是部分奇数,故B正确,C错误.二、多选题9.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|1<x<3},则()A.(∁RA)∪B={x|0≤x<3}B.(∁RA)∩B={x|1<x<2}C.A∩B={x|2<x<3}D.A∩B是{x|2<x<5}的真子集答案ACD解析由x2-2x>0,得x<0或x>2,所以A={x|x<0或x>2},所以∁RA={x|0≤x≤2},对于A,因为B={x|1<x<3},所以(∁RA)∪B={x|0≤x<3},所以A正确;对于B,因为B={x|1<x<3},所以(∁RA)∩B={x|1<x≤2},所以B错误;对于C,因为A={x|x<0或x>2},B={x|1<x<3},所以A∩B={x|2<x<3},所以C正确;对于D,因为A∩B={x|2<x<3},所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集,所以D正确.10.已知A,B是全集U的两个非空真子集,下列说法中一定正确的是()A.A∩B=⌀B.A⊆(A∪B)C.(∁UA)∪A=UD.(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)答案BCD解析如图所示,A∩B≠⌀,A选项错误;A⊆(A∪B),(∁UA)∪A=U,(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B),BCD选项正确.11.非空集合A具有如下性质:①若x,y∈A,则xy∈A;②若x,y∈A,则x+y∈AA.-1∉