第二章《特殊三角形》培优卷-浙教版数学八年级上册单元分层测

第二章《特殊三角形》培优卷—浙教版数学八年级上册单元分层测一、选择题（每小题3分，共30分）1．根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（）A． B．C． D．2．如图，等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB，交BC于点D，OE∥AC，交BC于点E.图中等腰三角形共有().A．6个 B．7个 C．8个 D．9个3．如图，在△ABC中，点M，点N为AC边上的两点，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM=ND，若∠A=70°，则∠C=（）A．40° B．50° C．60° D．70°4．如图，D、E为等边△ABC边AB、BC上的点，连结DE，∠ADE和∠DEC的角平分线恰好过AC边上同一点F。若要知道△ABC的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长?该三角形是（）A．△ADF B．△BDE C．△CEF D．△DEF5．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，则∠FAE的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．90°6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是30，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则CM+DM的最小值为（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.577．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC=6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（）A．7 B．9 C．11 D．148．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A．1.5 B．3 C．4.5 D．69．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.若已知AC×BC=12，则A．18 B．24 C．25 D．3610．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，给出下列结论：①AB=MG.②S△ABC=S△AFN.③过点B作BI⊥EH于点I，延长IB交AC于点J，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题3分，共18分）11．如图，点A，C，F，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CD=CE，EF=EG，则∠F=度.12．周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有个.13．如图，在长方形ABCD中，点E是边BC上一点，将△DCE沿DE折叠，使得点C落在AB上，连结DC'、EC'，点F是DC'的中点，连结CF，BC=714．如图，将圆桶中的水倒入一个直径为4dm，高为5dm的圆口容器中，放置时圆桶顶部与水平线的夹角为60°，且容器中的水面不能与圆桶接触，则该容器中水的深度至多为dm.15．如图所示，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AB+AD=2AE；②∠ADC+∠ABC=180°；③CD=CB；④S△ADC+S16．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小.解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P（1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，（2）几何拓展：如图3，△ABC中，AC=2，∠A=30°，若在AB上取一点M，则三、解答题（共8小题，共72分）17．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．（1）若一个三角形的三边长分别是4，11和3，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，CD为△ABC的中线，若△BCD是平方倍三角形，求△ABC的面积．18．定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．（1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．（2）图2是一个顶角为45°的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．（3）在△ABC中，其最小的内角∠C=24°，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出∠ABC的度数．19．根据以下素材，探索解决问题．如何作出“倍角三角形”？素材如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”问题解决项目操作如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请将△ABC分成两个小三角形，使得其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数．项目探索若△ABC是倍角三角形，∠A>∠B>∠C，∠B=30°，AC=42，求△ABC项目拓展如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，点E在CA延长线上，若AE=AB，AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．20．如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝∠CBA，作射线BC，AD是腰BC的高线，E是△ABC外射线BC上一动点，连结AE．（1）当AD＝4，BC＝5时，求CD的长．（2）当BC＝CE时，求证：AE⊥AB．（3）设△ACD的面积为S1，△ACE的面积为S2，且S1S2=1825，在点21．阅读材料：⑴对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．⑵对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1＝用x、y的式子表示）W2＝（用x、y的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1＝AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在店P处，该方案中管道长度a2＝AP+BP．①在方案一中，a1＝km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2＝km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．22．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°；CD⊥AB于点D，点E，F分别在AC，BC上，且EF⊥BC，EF与CD交于点N．（1）如图1，当点E与点A重合时，①求证：△ADN≌△CDB；②直接写出CFEN（2）如图2（图在答题卷上），当点E在AC边上时，①依题意补全图2；②CFEN23．如图，在△ABC中，∠C=90°,60°<∠ABC<90°.点E在边AB上，点D在CB（1）若∠BED=40°，求（2）小真同学通过画图和测量得到以下近似数据：AE4cm6cm8cm10cmBC2cm3cm4cm5cm猜想：AE与BC之间的等量关系，并给出证明.（3）探究AD,24．勾股定理是证明方法最多的定理之一，小明便以此建立项目，加以探究.【问题提出】小明在做作业本时发现利用右图可以证明勾股定理.思路为利用面积法，将梯形的面积用不同的方式表示列出等式.由此猜想如果将Rt△DAF向左平移，能否证明勾股定理？【方案设计】考虑到探究的难度，他首先设计了两种特殊的位置，开展研究：方案方案一方案二图形备注Rt△BCA≌Rt△EADRt△BCA≌Rt△CFDBC=a，AC=b，AB=c【探究验证】首先验证方案一为方案二提供经验基础.方式验证过程（分别用含有a，b，c的代数式完成填空）图形方式①S四边形ADBE=S△ABE+S△ABDS△ABE=．（以AE为底，高为BC）S△ABD=．（以AD为底，则AD边上的高与AC等长）连结BE，BD，不难得出AB⊥ED方式②S四边形ADBE=S△EBD+S△EADEAD=1S=12ED⋅综上所述利用方式①，②列出等式即可证明勾股定理.【方法应用】根据上述经验，请你继续完成方案二后续的证明过程.提示：如图，连结BD，AD，不难得出CD⊥BA，利用两种方法表示四边形BCAD的面积.

参考答案1．D2．B3．B4．A5．A6．B7．C8．C9．A10．D11．1512．313．414．5−15．①②③④16．（1）10（2）217．（1）一个三角形的三边长分别是4，11和3，这个三角形是平方倍三角形，理由如下：42所以这个三角形是平方倍三角形；（2）解：设该直角三角形三个边长从小到大依次为a，因为是直角三角形，所以满足a2+又因为该三角形是平方倍三角形，则3a2根据①②两个式子可得到a=b，则a:b:c=1:1:2（3）解：设CD边为x，∵Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=4，CD为△ABC的中线，∴AD=DB=CD=x，∴AB=2x，又△BCD是平方倍三角形，当3x2=∴AC=A∴S△ABC此时△ABC的面积为8，当x2+x∴AC=A∴S△ABC此时△ABC的面积为85所以△ABC的面积为8或8518．（1）解：如图即为所求：

∴AH为所画的“二分线”.（2）解：如图即为所求：

∴DE，EC为所画的“三分线”.（3）解：∠ABC的度数为108°或72°或90°19．解：项目操作：如图所示，△BCD为“倍角三角形”；

项目探索：

∵∠A>∠B>∠C，∠B=30°，

①当∠B=2∠C，∠C=15°，

过C作CH⊥BA的延长线于点H，则∠AHC=90°，

∴∠CAH=∠CBA+∠BCA=3∠C=45°，

∴△AHC为等腰直角三角形，

∴AH=CH=22AC=22×42=4，

∵∠B=30°，

∴BC=2CH=8，

∴BH=BC2−CH2=82−42=43，

∴AB=BH−AH=43−4，

∴S△ABC=12AB·CH=12×43−4×4=83−8；

②当∠A=2∠B或∠A=2∠C时，与三角形内角和为180°矛盾，该种情形不存在；

∴△ABC面积为83−8；

项目拓展：

△ADC和△ABC是倍角三角形．

证明：∵AD平分∠BAE，

∴∠BAD=∠EAD，

∵AB=AE，AD=AD，

∵△ABD≌△AEDSAS，

∴∠ADE=∠ADB，BD=DE，

又∵AB+AC=BD，

∴AE+AC=BD，

20．（1）解：∵等腰△ABC中，∠CAB＝∠CBA，

∴AC=BC=5.

∵AD=4，AD是腰BC的高线，

∴CD=3；（2）证明：∵AC=BC，CE=BC，

∴CE=AC.

∴∠E=∠CAE，

∵∠B+∠CAB+∠E+∠CAE=180°，∠B=∠CAB，∴∠CAE+∠CAB=90°，

即AE⊥AB.（3）解：

∵S1∴CDCE=设CD=18k，CE=25k.

∴DE=CE－CD=7k.

∵AD⊥CE，DE≠CD，

∴AE≠AC.当CE=CA时，△ACE为等腰三角形，

∵CA=CB，

∴CE=CB.

此时C为EB中点，BEBC当AE=EC=25k时，△ACE也是等腰三角形，

∵DE=7k，CD=18k，

∴AD=24k，

∴AC=BC=30k，

∴BE=55k，

∴BE∴BEBC=2或者21．（1）解：①3x+7y；6x+8y；②解：W1﹣W2＝（3x+7y）﹣（2x+8y）＝x﹣y，∵x＞y，∴x﹣y＞0，∴W1﹣W2＞0，∴W1＞W2，即张丽同学用的纸面积最大．（2）解：①x+3；②x2③∵a12−a22＝（x+3）2﹣（x4+48）①当a1③当a1③当a1综上所述，当x＞6.5时，选择方案二，当x＝46.5时，两种方案一样，当0＜x＜6.5时，选择方案一．22．（1）①证明：∵CD⊥AB，∠BAC=45°，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴AD=CD.

∵EF⊥BC，CD⊥AB，

∴∠ADN=∠CDB=∠AFB=90°，

∴∠B+∠BAF=90°=∠B+∠BCD，

∴∠BAF=∠BCD，

在△ADN和△CDB中，

∠DAN=∠