2026-2027学年八年级数学上册 2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习 浙教版

2026-2027学年八年级数学上册2.4等腰三角形的判定定理同步练习浙教版一、选择题1．（2026八上·游仙期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于点E，下列结论错误的是（）​​​​​​​A．BD平分∠ABC B．点D是线段AC的中点C．AD=BD=BC D．△BCD的周长等于AB+BC2．（2026八上·关岭期末）如图，在△ABC中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①AD=BD；②AF=BF；③∠BAF=∠CBE；④DF⊥AB．其中一定正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2025八上·来宾期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=AC，BD⊥AC，垂足为点D，延长BC至点E，取CE=CD．若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长是（）A．9+a B．12+a C．9+2a D．12+2a4．（2026八上·广州月考）如图，在△ABC中，AC=BC，F为边AB的中点，边AC的垂直平分线DE分别交AC,CF,CB于点D，O，E，连接OB．若∠ACF=20°，则∠BOE的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，若点D为BC的中点，过点D作∠MDN=90°，分别交AB、AC于点M、N，连接MN，则下列结论中：①△DMN是等腰直角三角形；②△DMN的周长有最小值；③四边形AMDN的面积为定值8；④△DMN的面积有最小值．正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（2025八上·慈溪月考）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，∠D=30°，AB=2，BC=3，则CD=()A．5 B．6 C．7 D．87．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中的等腰三角形共有().A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．（2025八上·鄞州期中）如图，在等边△ABC中，BD是△ABC的角平分线，BD=3，点E为BD上一点，将BE绕点B时针旋转60°得BF.当F，E，C三点恰好在同一直线时，连结CF与DF，则DF的长为()A．3 B．7 C．3 D．12二、填空题9．（2026八上·温州期末）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB交AC于点E．若△ADC的周长为21，AD=7，则△DEC的周长为．10．（2025八上·杭州期中）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB=EF，若BD=4，BF=8，则线段DE的长为.11．（2024八上·广州期中）如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，点P，Q分别在AB，AD上，且BP=AQ=QD=1，动点E在BD上，则12．（2026八上·慈溪期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB右下方，∠ADB=∠ACB。过点C作AD的平行线交BD于点F，过A作AE⊥BD，垂足E在线段DF上。若DE=3，EF=1，则CD的长为，BF的长为。三、解答题13．（2026八上·遵义期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE．（1）求∠E的度数；（2）若△ABC的面积为43，BC=4，求DE14．（2026八上·潮南期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．（1）若∠BAC=40°．求∠AFE的度数；（2）若AD=CD，AF=2，求BF的长．15．把一张顶角为3616．（2025八上·香河期末）如图1，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，连接BD，点C关于BD的对称点为点E，连接BE．（1）若AB是∠DBE的平分线，求∠ABD的度数；（2）如图2，连接EA并延长交BD的延长线于点F，∠F=60°，试探究EA，AF和BF三者之间满足的等量关系，并说明理由．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=180°−36°∵AB的垂直平分线是DE，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=72°−36°=36°=∠ABD，∴BD平分∠ABC，故A正确；∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故D正确；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°−∠DBC−∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴AD=BD=BC，故C正确；∵BD>CD，∴AD>CD，∴点D不是线段AC的中点，故B错误．故选：B．【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理得到∠ABC与∠C的度数，然后根据垂直平分线的性质得到AD=BD，求出∠ABD的度数，判断A选项正确；可得△BCD的周长等于AB+BC判断D选项正确，得到∠BDC的度数，即可得到AD=BD=BC判断C选项正确解答即可．2．【答案】D【解析】【解答】解：由图可知，DF是AB的垂直平分线，BE是∠ABC的角平分线．∵DF垂直平分AB，∴AD=BD，AF=BF，DF⊥AB，∴①、②、④正确，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵AF=BF，∴∠BAF=∠ABE，∴∠CBE=∠BAF．∴③正确．∴4个结论全部正确．故选：D．【分析】由图可知，DF是AB的垂直平分线，BE是∠ABC的角平分线，根据垂直平分线性质可得AD=BD，AF=BF，DF⊥AB，可判断①②④；根据角平分线定义可得∠CBE=∠ABE，根据等边对等角可得∠BAF=∠ABE，根据角之间的关系可判断③.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠A=60°，BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∵△ABC的周长为18，∴BC=AC=18÷3=6，∵BD⊥AC，∴BD是高线也是AC边上的中线、∠ABC的平分线，∴CD=12AC=∵CE=CD=3，∴∠E=∠CDE=1∴∠CBD=∠E，∴BD=DE，∴△BDE的周长为：BD+DE+BE=BD+DE+BC+EC=2a+6+3=9+2a，故选：C．

【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的三线合一。首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，判定ΔABC为等边三角形，结合周长求出边长；再利用直角三角形三线合一的性质，求出CD的长度和∠CBD的度数；由CE=CD结合三角形外角性质求出∠E的度数，判定ΔBDE为等腰三角形，得到DE=BD，最后结合线段的和差关系计算4．【答案】D【解析】【解答】解：连接AO，如图∵AC=BC，点F为AB的中点，∠ACF=20°，∴CF平分∠ACB，且CF⊥AB，∴∠BCF=∠ACF=20°，CF垂直平分AB，∴OA=OB，∵DE垂直平分AC，∴OA=OC，∠EDC=90°，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=20°，∵∠EDC=90°，∴∠DEC=180°−90°−∠DCE=90°−20°−20°=50°，∵∠OEC=∠OBE+∠BOE，∴∠BOE=∠DEC−∠OBE=50°−20°=30°故答案为：D【分析】本题首先根据等腰三角形的性质得出CF平分∠ACB，且CF⊥AB，继而推出∠BCF=∠ACF=20°，CF垂直平分AB；然后利用垂直平分线的性质得出OB=OC，从而算出可知∠OBC=∠OCB=20°，再结合三角形内角和定理计算得出∠DEC=50°，最后利用三角形外角的性质计算得出∠BOE=30°。5．【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，D为BC的中点，∴AD=12BC=CD=BD，∠ADC=90°∵∠MDN=90°，∴∠ADC=∠MDN，∴∠ADC−∠ADN=∠MDN−∠ADN∴∠CDN=∠ADM，在△AMD和△CND中，∠MAD=∠CAD=CD∴△AMD≌△CNDASA∴DM=DN，∴△DMN是等腰直角三角形，①结论正确；当DM⊥AB时，DM最小，则△DMN的周长、面积有最小值，②④结论正确；∵△AMD≌△CND，∴S∴S∵AB=AC=4，∴△ABC的面积为4×4÷2=8，∴△ACD的面积为4，∴四边形AMDN的面积为定值4，③结论错误；∴正确的有①②④，共3个，故选：B．【分析】征得△AMD≌△CNDASA，得DM=DN，可知①正确；当DM⊥AB时，DM最小，则△DMN的周长、面积有最小值，故②④正确；由△AMD≌△CND，得到S四边形AMDN=S6．【答案】C【解析】【解答】解：如图，延长BA,DC交于点∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°，∵∠A=90°，∠D=30°，∴∠E=60°，∴∠CBE=∠E=∠BCE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE=CE=BC=3，∴AE=AB+BE=5，在Rt△ADE中，∠D=30°，∴DE=2AE=10，∴CD=DE−CE=7．故答案为：C.【分析】延长BA,DC交于点E，证明△BCE是等边三角形，可得BE=CE=BC=3，从而得到AE=AB+BE=5，再由直角三角形的性质可得7．【答案】D【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=1∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；

在△BCD中，

∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=(180°-36°)÷2=72°，∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个.故选：D.【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形.8．【答案】B【解析】【解答】解：连接AF，如图所示，∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC

∴BD⊥AC，AD=CD，∠ABD=12∠ABC=30°

设AB=2m，则AD=m，则有(2m)2=m2+(3)2，得m=3

∵BE=BF，∠EBF=60°

∴△BEF为等边三角形

∴∠ABD=∠ABF=30°

∴∠CBF=90°

∴EF⊥AB

∴CF⊥AB

∴∠BCE=∠ACF=30°

∴△CAF≌△CBF(SAS)

∴【分析】连接AF，由等边三角形的性质知BD⊥AC，由勾股定理可得AD的长，同时△BEF为等边三角形，∠FAC=90°，由勾股定理得AF的长，由此可得DF的长.9．【答案】14【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线

∴∠BAD=∠CAD

∵DE∥AB

∴∠BAD=∠ADE

∴∠ADE=∠CAD

∴EA=ED

∵AD+DC+CA=21，AD=7

∴DC+CA=14

∵△DEC的周长=DC+CE+ED

∴△DEC的周长=DC+CE+EA=DC+CA=14

故答案为：14

【分析】先利用角平分线与平行线的性质证明DE=AE，再结合△ADC的周长求出DC+EC的值，最后代入△DEC的周长公式计算。10．【答案】2【解析】【解答】解：过E点作EH⊥BF，

设DE=x，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°

∵DE//BC.

∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°

∴△ADE是等边三角形

∵BD=4.

∴EC=BD=4，AB=BC=AC=4+x，∠ACB=60°

在Rt△CHE中，

∵∠ACB=60°，EC=BD=4，

∴∠HEC=180°-∠ACB-∠EHC=180°-60°-90°=30°

∴CH=12EC=2

∴BH=BC-CH=4+x-2=2+x，

∵EB=EF.

∴△EBF是等腰三角形

∵EH⊥BF，BF=8.

∴BH=FH=4，

∴2+x=4

∴x=2

∴DE=2

故答案为：2.11．【答案】3【解析】【解答】解：如图，作点P关于BD的对称点P'，连接P'Q交BD于E，

此时PE+EQ的值最小，最小值为：PE+QE=P'E+QE=P'Q，

∵BP=1∴BA=BC=AC，∠ACB=60°，∵BD是中线，∴BD⊥AC，∠ABD=∠CBD，AD=CD，∵BP=AQ=QD=1，∴AD=DC=AQ+QD=2，

∴AC=BC=AB=4，∴CQ=CP'=3，

又∴△CP∴P∴PE+QE的最小值是3，故答案为：3．【分析】作点P关于BD的对称点P'，连接P'Q交BD于E，根据轴对称的性质得到PE+EQ的最小值为：PE+QE=P'E+QE=P12．【答案】4；6【解析】【解答】解：在BD上取点G，使EG=ED=3，连接AG，如图所示，

∵GF=EG-EF

∴GF=3-1=2

∵AE⊥DG，EG=ED

∴△ADG为等腰三角形且AG=AD

∴∠AGD=∠ADG=α

∴∠ADB=∠ACB，

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=α

∴∠BAC=∠DAG=180°-2α

∵AB=AC，AG=AD

∴△ABG≌△ACD(SAS)

∴∠ADC=∠AGB=180°-α，BG=CD

∴∠CDF=∠ADC-∠ADE=180°-α-α=180°-2α

∵AD||CF

∴∠CFD=∠ADF=α

∴∠DCF=180°-∠CDF-∠CFD=180°-α-(180°-2α)=α

∴∠DCF=∠CFD

∴CD=DF

∵DF=DE+EF=3+1=4

∴CD=4，BF=4

∴BE=BF+EF=4+2=6

故答案：4，6.

【分析】在BD上取点G，使EG=ED，由角度关系知∠BAG=∠CAD，得△ABG≌△ACD，得BG=CD，∠AGB=∠ADC，由此得∠DCF=∠DFC，即有DC=DF，由此可得DC和BF的长.13．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠E=∠CDE，∴∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E=60°，∴∠E=30°；（2）解：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ACB=60°，BD⊥AC，AC=BC=4，∴∠CBD=30°=∠E，∴BD=DE，∵△ABC的面积为43∴12∴BD=23∴DE=23【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得∠ACB=60°，根据等边对等角可得∠E=∠CDE，再根据三角形外角性质即可求出答案.

（2）根据等边三角形性质可得∠ACB=60°，BD⊥AC，AC=BC=4，则∠CBD=30°=∠E，根据等角对等边可得BD=DE，再根据三角形面积即可求出答案.14．【答案】（1）解：如图，

∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=180°−40°∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=1∵AF⊥AB，∴∠BAF=90°，∴∠AFE=∠BAF+∠ABD=90°+35°=125°．∴∠AFE的度数为125°．（2）解：如图，

∵AE∥BC，

∴∠E=∠DBC，在△ADE和△CDB中，∠E=∠DBC∠ADE=∠CDB∴△ADE≌△CDBAAS∴AE=CB，∵∠E=∠DBC，∠ABD=∠DBC，∴∠E=∠ABD，∴AB=AE，∴AB=CB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABD=30°，∵AF=2，∴BF=4，∴BF的长为4．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合AB=AC，∠BAC=40°，得∠ABC=70°，根据BD平分∠ABC，得∠ABD=∠DBC=35°，再根据AF⊥AB，得∠BAF=90°，即可得∠AFE的度数为125°．（2）根据AE∥BC得∠E=∠DBC，可证明△ADE≌△CDB，即可得AE=CB，进一步可判断

△ABC为等边三角形，进而可知BF的长度．15．【答案】解：能办到，理由如下：如图：AB=AC，∠A=36°，将BC沿BD折叠，点C落在点E处即可；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=∵将BC沿BD折叠，点C落在点E处，∴∠EBD=∠CBD=1∴∠BDC=∠BDE=180°-72°-36°=72°，∴∠C=∠BDC=∠BDE=∠BED=72°，∴BC=BD=BE，即△BCD，△BDE均为等腰三角形，∵∠BED=72°，∠A=36°，∴∠ADE=∠BED-∠A=36°，∴∠A=∠ADE=36°，∴AE=ED，