2025-2026年天津市北师大版高二数学下册第8章同步练习题

2025-2026年天津市北师大版高二数学下册第8章同步练习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.在北师大版高二数学下册第8章中，关于函数f(x)=ln(x^2-2x+3)的单调性，下列说法正确的是（）A.在整个实数域上单调递增B.在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增C.在整个实数域上单调递减D.在(-∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减解析：函数f(x)=ln(x^2-2x+3)的定义域为x^2-2x+3>0，即x∈(-∞,1)∪(3,+∞)。通过求导f'(x)=2x-2/(x^2-2x+3)，令f'(x)=0得x=1。在(-∞,1)上f'(x)<0，在(3,+∞)上f'(x)>0，故选项B正确。2.北师大版高二数学下册第8章中，若函数g(x)=e^(ax)+b在x→+∞时极限为0，则a和b的取值范围分别是（）A.a<0且b=0B.a<0且b≠0C.a>0且b=0D.a>0且b≠0解析：函数g(x)=e^(ax)+b在x→+∞时极限为0，需满足e^(ax)→0，即a<0。同时b为常数项不影响极限，故选项B正确。3.在北师大版高二数学下册第8章中，关于数列{a_n}，若a_1=1，a_(n+1)=a_n+ln(n+1)，则数列的前n项和S_n的表达式为（）A.S_n=n+nln(n+1)-1B.S_n=n+nln(n)-1C.S_n=n^2/2+nln(n+1)-1D.S_n=n^2/2+nln(n)-1解析：由递推式a_(n+1)=a_n+ln(n+1)可得a_n-a_(n-1)=lnn，累加可得a_n=1+ln2+ln3+...+lnn=ln(n!)。前n项和S_n=nln(n!)，利用斯特林公式近似ln(n!)=nlnn-n+1/2ln(2π)，化简得S_n≈n^2/2+nlnn-1，故选项D正确。4.北师大版高二数学下册第8章中，若函数h(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.2B.3C.4D.5解析：h'(x)=3x^2-6x，令h'(x)=0得x=0或x=2。计算h(0)=2，h(2)=-2，h(3)=0，故M=2，m=-2，M+m=0，但选项无0，需重新计算。实际h(3)=0，h(1)=-1，故M=2，m=-2，M+m=0，选项需修正。5.在北师大版高二数学下册第8章中，关于不等式ln(x)+ln(x-1)>ln2的解集，下列说法正确的是（）A.(1,2)B.(1,2)∪(2,+∞)C.(0,1)∪(2,+∞)D.(1,+∞)解析：由ln(x)+ln(x-1)>ln2得ln(x(x-1))>ln2，即x(x-1)>2。解x^2-x-2>0得x∈(-1,2)∪(2,+∞)，结合定义域x>1，故解集为(2,+∞)，选项需修正。6.北师大版高二数学下册第8章中，若数列{b_n}满足b_1=1，b_(n+1)=b_n+1/(b_n+1)，则数列的极限为（）A.1B.eC.e-1D.2解析：令a_n=1/b_n，则a_(n+1)=a_n+1/(a_n+1)，累加可得a_n=ln(n+1)-ln1=ln(n+1)。极限为lim(n→∞)a_n=lim(n→∞)ln(n+1)=+∞，即1/极限=0，故极限为0，选项需修正。7.在北师大版高二数学下册第8章中，关于函数f(x)=xlnx-x+1的单调区间，下列说法正确的是（）A.在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减B.在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增C.在整个实数域上单调递增D.在整个实数域上单调递减解析：f'(x)=lnx，令f'(x)=0得x=1。在(0,1)上f'(x)<0，在(1,+∞)上f'(x)>0，故选项B正确。8.北师大版高二数学下册第8章中，若函数g(x)=x^2-2ax+a^2+1在x=1时的最小值为0，则a的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：g(x)=(x-a)^2+1，最小值在x=a时取得。由题意a=1，此时g(1)=0，故选项B正确。9.在北师大版高二数学下册第8章中，关于数列{c_n}，若c_1=1，c_(n+1)=c_n/(1+c_n)，则数列的前n项和S_n的表达式为（）A.S_n=1-1/2^nB.S_n=1+1/2^nC.S_n=1-2^nD.S_n=1+2^n解析：c_(n+1)=c_n/(1+c_n)可变形为1/c_(n+1)=1/c_n+1，累加可得1/c_n=1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)。故c_n=1/(2-1/2^(n-1))，前n项和S_n≈1-1/2^n，故选项A正确。10.北师大版高二数学下册第8章中，若函数h(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程为y=3x-2，则该函数的拐点坐标为（）A.(1,0)B.(2,0)C.(1,1)D.(2,1)解析：h''(x)=6x-6，令h''(x)=0得x=1。计算h(1)=0，故拐点为(1,0)，选项A正确。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.在北师大版高二数学下册第8章中，函数f(x)=ln(x^2+1)的导数为________。参考答案：2x/(x^2+1)解析：f'(x)=d/dx[ln(x^2+1)]=1/(x^2+1)•2x=2x/(x^2+1)。2.北师大版高二数学下册第8章中，若数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=a_n+1/n，则a_5的值为________。参考答案：1+1/1+1/2+1/3+1/4=2.0833解析：a_2=a_1+1/1=2，a_3=a_2+1/2=2.5，a_4=a_3+1/3≈2.8333，a_5=a_4+1/4≈2.0833。3.在北师大版高二数学下册第8章中，函数g(x)=e^(x)-x在x=0处的二阶导数为________。参考答案：1解析：g''(x)=d/dx[de^(x)/dx]=d/dx[e^(x)]=e^(x)，g''(0)=e^(0)=1。4.北师大版高二数学下册第8章中，若函数h(x)=xlnx-x+1在x=1处的值为________。参考答案：1解析：h(1)=1ln1-1+1=1。5.在北师大版高二数学下册第8章中，函数f(x)=ln(x+1)-lnx的单调递增区间为________。参考答案：(0,+∞)解析：f'(x)=1/(x+1)-1/x=(x-x-1)/x(x+1)=-1/(x(x+1))<0，故无单调递增区间，需修正。实际f'(x)=1/(x+1)-1/x=(x-x-1)/x(x+1)=-1/(x(x+1))<0，故无单调递增区间，选项需修正。6.北师大版高二数学下册第8章中，若数列{b_n}满足b_1=2，b_(n+1)=b_n+ln(n+1)，则b_5的值为________。参考答案：2+ln2+ln3+ln4+ln5≈8.6066解析：b_2=b_1+ln2=2+ln2，b_3=b_2+ln3≈2+ln2+ln3，b_4=b_3+ln4≈2+ln2+ln3+ln4，b_5=b_4+ln5≈8.6066。7.在北师大版高二数学下册第8章中，函数g(x)=x^3-3x^2+2的极值点为________。参考答案：x=1解析：g'(x)=3x^2-6x，令g'(x)=0得x=0或x=2，计算g(0)=2，g(2)=-2，g(1)=0，故极值点为x=1。8.北师大版高二数学下册第8章中，若函数f(x)=ln(x^2+1)在x=1处的切线斜率为________。参考答案：1解析：f'(1)=2×1/(1^2+1)=1。9.在北师大版高二数学下册第8章中，函数h(x)=e^(x)-x在x=0处的三阶导数为________。参考答案：1解析：h'''(x)=d/dx[d/dx[d/dx[e^(x)]]]=e^(x)，h'''(0)=e^(0)=1。10.北师大版高二数学下册第8章中，若数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=a_n+1/(n+1)，则数列的前n项和S_n的表达式为________。参考答案：n+nln(n+1)-1解析：a_n-a_(n-1)=1/(n)，累加可得a_n=1+1/2+1/3+...+1/n=ln(n!)，S_n=nln(n!)-1。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.在北师大版高二数学下册第8章中，函数f(x)=ln(x^2+1)在x=0处的导数为0。（×）解析：f'(x)=2x/(x^2+1)，f'(0)=0，正确。2.北师大版高二数学下册第8章中，若数列{b_n}满足b_1=1，b_(n+1)=b_n+ln(n+1)，则数列是递增的。（√）解析：b_(n+1)-b_n=ln(n+1)>0，故数列递增。3.在北师大版高二数学下册第8章中，函数g(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的二阶导数为0。（√）解析：g''(x)=6x-6，g''(2)=6×2-6=6≠0，错误。4.北师大版高二数学下册第8章中，若函数h(x)=e^(x)-x在x=0处的三阶导数为0。（×）解析：h'''(x)=e^(x)，h'''(0)=1≠0，错误。5.在北师大版高二数学下册第8章中，函数f(x)=ln(x^2+1)在x=1处的导数为1。（√）解析：f'(1)=2×1/(1^2+1)=1，正确。6.北师大版高二数学下册第8章中，若数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=a_n+1/(n+1)，则数列是等差数列。（×）解析：a_(n+1)-a_n=1/(n+1)，公差不为常数，错误。7.在北师大版高二数学下册第8章中，函数g(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的极值为0。（√）解析：g(1)=0，正确。8.北师大版高二数学下册第8章中，若函数h(x)=e^(x)-x在x=0处的二阶导数为0。（×）解析：h''(x)=e^(x)，h''(0)=1≠0，错误。9.在北师大版高二数学下册第8章中，函数f(x)=ln(x^2+1)在x=0处的拐点为(0,0)。（×）解析：f''(x)=2(1-x^2)/(x^2+1)，f''(0)=2≠0，无拐点，错误。10.北师大版高二数学下册第8章中，若数列{b_n}满足b_1=1，b_(n+1)=b_n+ln(n+1)，则数列的前n项和S_n为n+nln(n+1)-1。（√）解析：b_n=ln(n!)，S_n=nln(n!)-1，正确。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.在北师大版高二数学下册第8章中，函数f(x)=ln(x^2+1)的单调区间是什么？请说明理由。解析：f'(x)=2x/(x^2+1)。令f'(x)=0得x=0。在(-∞,0)上f'(x)<0，在(0,+∞)上f'(x)>0，故f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。2.北师大版高二数学下册第8章中，若数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=a_n+1/(n+1)，求证数列是递增的。解析：a_(n+1)-a_n=1/(n+1)>0，故数列递增。3.在北师大版高二数学下册第8章中，函数g(x)=x^3-3x^2+2的极值点是什么？请说明理由。解析：g'(x)=3x^2-6x，令g'(x)=0得x=0或x=2。计算g(0)=2，g(2)=-2，g(1)=0，故x=1为极值点。4.北师大版高二数学下册第8章中，函数h(x)=e^(x)-x在x=0处的切线方程是什么？解析：h(0)=1，h'(x)=e^(x)-1，h'(0)=0，故切线方程为y=1。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.在北师大版高二数学下册第8章中，某工厂生产某种产品的成本函数为C(x)=x^2/2+x+10，其中x为产量。求产量为10时的边际成本，并解释其经济意义。解析：边际成本为C'(x)=x+1，C'(10)=10+1=11。经济意义表示产量为10时，每增加一个单位产量，成本增加11。2.北师大版高二数学下册第8章中，某商品的需求函数为p=100-0.01x，其中p为价格，x为需求量。求需求量为1000时的收入函数，并求收入最大时的需求量。解析：收入函数R(x)=px=100x-0.01x^2，R'(x)=100-0.02x，令R'(x)=0得x=5000。收入最大时的需求量为5000。3.在北师大版高二数学下册第8章中，某城市人口增长模型为P(t)=P_0e^(kt)，其中P_0=100万，k=0.02。求5年后的人口数量，并解释指数增长模型的特点。解析：P(5)=100e^(0.02×5)=110.51万。指数增长模型特点为增长率恒定，增长速度越来越快。4.北师大版高二数学下册第8章中，某公司投资某项目的收益函数为R(t)=50t-0.5t^2，其中t为时间（年）。求收益最大时的投资年限，并求最大收益。解析：R'(t)=50-t，令R'(t)=0得t=50。最大收益为R(50)=50×50-0.5×50^2=1250。【标准答案