第2课时 几何中的代数式求值

第2课时几何中的代数式求值教学目标课题3.2第2课时几何中的代数式求值授课人素养目标1.能运用公式列出几何图形问题中的代数式，并把具体数代入求值.2.掌握代数式在几何问题中的运用，发展学生的几何直观感知能力与计算能力.教学重点几何中的代数式求值.教学难点几何中的代数式求值.教学活动教学步骤师生活动活动一：复习旧知，新课导入设计意图通过回忆小学时学过的几何问题中的一些公式，并说明将利用这些公式进行代数式求值的探究，从而衔接新课的学习.【问题引入】这节课我们将继续代数式求值的探究，这次要探究的是利用几何公式进行代数式求值.【教学建议】教师跟学生说明这节课是上节课的延续，在上节课已经涉及一些实际问题（如行程问题）中的公式，由此进行过渡，启发学生回忆小学时学过的几何问题中的一些公式，学生自然联想到类比行程问题公式，运用几何公式来进行代数式求值这一数学活动，从而将教学气氛调动起来.活动二交流合作，探究新知设计意图通过例题使学生学会运用公式进行几何中的代数式求值.探究点几何中的代数式求值我们刚刚在活动一中回忆了一些几何相关公式，在解决有关问题时，经常用这些公式进行计算.我们来看下面两个例题：例1（教材P80例3）如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为ɑ，半圆形弯道的直径为b.（1）用代数式表示这条跑道的周长；（2）当ɑ=67.3m，b=52.6m时，求这条跑道的周长（π取3.14，结果取整数）.引导提问：①跑道的周长是由哪些部分组成的？跑道的周长是两段直道和两段弯道的长度组成的.②如何求出两段弯道的长度和？两段弯道的长度和即为圆的周长，由圆的周长公式即可求得结果.解：（1）两段直道的长为2ɑ；两段弯道组成一个圆，它的直径为b，周长为πb.因此，这条跑道的周长为2ɑ+πb.（2）当ɑ=67.3m，b=52.6m时，2ɑ+πb=2×67.3+3.14×52.6≈300（m）.因此，这条跑道的周长约为300m.例2（教材P81例4）一个三角尺的形状和尺寸如图所示，用代数式表示这个三角尺的面积S.当ɑ=10cm，b=17.3cm，r=2cm时，求这个三角尺的面积（π取3.14）.引导提问：三角尺的面积可以根据哪两个规则图形的面积差得到？三角尺的面积=三角形的面积-圆的面积.【对应训练】教材P81练习.【教学建议】学生分组进行合作探讨，动手完成本部分的探究过程.本部分的重点在于学会分析方法，将几何图形拆解成学过的常见几何图形，再利用熟悉的公式列出代数式，最后代值求解.通过例题中的实际背景，能使学生感受到数学来源于生活，有助于帮助学生理解几何图形与代数式之间的联系，而不是只会生搬硬套公式.在教学过程中教师要及时给予学生反馈，注意引导和帮助.活动三强化应用，巩固新知设计意图通过稍复杂几何问题中的代数式求值强化学生对于新知的理解及应用能力.例3如图是某居民小区的一块宽为2ɑ，长为b的长方形空地，为了美化环境，准备在这块长方形空地的四角处各修建一个半径为ɑ的四分之一圆形花坛，然后在花坛内种花，其余部分种草.（1）请用代数式表示种草的面积；（2）当ɑ=10m，b=35m时，求种草的面积（π取3.14）.图示分析：解：（1）由题意得种草的面积（单位：m2）为2ɑ·b-π×ɑ2=2ɑb-πɑ2.（2）当ɑ=10m，b=35m时，2ɑb-πɑ2=2×10×35-3.14×102=386（m2）.因此，种草的面积为386m2.【对应训练】如图，一块正方形纸板剪去四个相同的三角形后留下了阴影部分的图形．已知正方形的边长为ɑ，三角形的高为h.（1）用代数式表示阴影部分的面积；（2）当|ɑ-4|和|h-1|的值互为相反数时，求阴影部分的面积．【教学建议】用代数式计算不规则图形的面积，应先将待求图形的面积表示为规则图形面积的和（差），再将所给的字母的值代入，即可求出具体的面积.如例3中4个半径为ɑm的1/4圆，拼在一起恰好是一个整圆，于是用长方形的面积减去整圆的面积即为所求的面积.这部分的教学依然采用小组讨论，教师指正的方法进行，建议仿照活动二中的解题方法，先思考如何将图形分解，再列式，这样条理会更加清晰.活动四随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你熟悉与几何相关的公式吗？能解答几何中的代数式求值问题吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P82习题3.2第5,6题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计教学反思本节课继续代数式求值的学习，研究方向都在几何图形之中，所以熟记几何公式是本节课的基础.在后面的整式加减学习中，将会遇到更多有关几何与代数式结合的问题，于是设置这节课让学生初步感知代数式与几何图形之间的联系，给学生构建一张知识网，体会这种螺旋上升式的学习理念，也将代数式这章所学知识进行了整合，为本章学习画下一个完美的句号.解题大招利用几何公式进行代数式求值求代数式的值在几何问题中的应用往往是求周长或面积或体积，对于规则图形，我们可直接利用公式求解；而对于不规则图形，则要通过适当的方法将其转化成规则图形的和或差，再利用公式求解.目前阶段得出的结果不需要化简（涉及后面要学的整式加减），重点在于对几何公式的灵活运用.1.求周长与面积例1长方形ABCD的长是ɑ，宽是b，分别以点A，C为圆心，长方形的宽为半径画弧，得到如图所示的图形.（1）请你用代数式表示阴影部分的周长和面积（结果保留π).（2）当ɑ=5，b=2时，阴影部分的周长和面积是多少(π取3.14)？2.求体积例2如图（图中长度单位：cm），一截钢管外径是Rcm，内径是rcm，长度为ɑcm.（1）用代数式表示钢管的体积；（2）若R=10，r=8，ɑ=20，求钢管的体积(π取3.14，结果取整数）.分析：钢管可看作空心圆柱，它的体积是大圆柱体积-小圆柱体积，而圆柱的体积=底面积×高，由此易得解.解：（1）钢管的体积为(πR2ɑ-πr2ɑ)cm3.（2）当R=10，r=8，ɑ=20时，πR2ɑ-πr2ɑ=3.14×102×20-3.14×82×20≈2261.因此，钢管的体积约为2261cm3.培优点几何问题与实际问题综合的代数式求值问题例如图（图中长度单位：m）是一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆形窗框，下面是两个大小相等的长xm，宽ym的长方形窗框，窗户全部安装玻璃.（1）一扇这种窗户共需要铝合金多少米（用代数式表示）？（2）一扇这种窗户共需要玻璃多少平方米（用代数式表示，铝合金窗框宽度忽略不计）？（3）某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价：当x=4，y=2时，该公司在哪家厂商购买窗户更合算(π取3)？分析：（1）求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可，注意其中半圆形窗框的两条半径之和是长方形的长；（2）求出窗框的面积即可，窗框的面积=半圆形的面积+两个长方形的面积；（3）由表分别求出在甲厂、乙厂购买窗户的费用，再比较大小即可判断.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.下列是代数式的是()A.0<2 B.x2-1≠0 C.-3 D.x+y=12.已知语句“b比a的3倍多1”,下列关于甲、乙的判断正确的是()甲:用a表示b的代数式是3a+1;乙:用b表示a的代数式是b+1A.甲、乙都对 B.甲、乙都错 C.甲对,乙错 D.甲错,乙对3.一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为()A.abc B.a+b+c C.100a+10b+c D.100abc4.已知甲、乙两数的和为30,若甲数为x,则甲数的3倍与乙数的23的和用含有x的式子表示正确的是(A.3(30-x)+23 B.23(3x+30C.3x+23(30-x) D.3(30-x)+5.代数式a2+b2可以表示不同实际问题中的数量关系,下列举例恰当的是()A.长是a,宽是b的长方形的周长B.购买(a+b)本单价为(a+b)元的笔记本的总价钱C.买a支单价为a元的钢笔和b支单价为b元的铅笔的总价钱D.边长是a+b的正方形的面积6.下列四个说法:①书的总页数一定,未读的页数与已读的页数成正比例;②如果圆的半径不变,圆的周长与圆周率成正比例;③小麦的总产量一定,每公顷产量与公顷数成反比例;④圆柱的体积一定,圆柱的底面积与高成反比例.其中正确说法的个数是()A.1 B.2 C.3 D.47.规定新运算:x◎y=xy-y2,则12◎(-2)=(A.-5 B.3 C.-3 D.18.若2024×7=x,则下列代数式可以表示2024×5的是()A.x+4048 B.x-2024 C.x-2 D.579.某商场针对一款服装给出两个调价方案:①先提价10%,再降价10%;②先降价20%,再提价20%.下列说法正确的是()A.①②两种方案的调价结果相同B.方案①的售价比方案②的售价低C.方案①的售价比方案②的售价高D.无法比较,调整后的售价高低取决于服装原售价10.某窗户的形状如图所示,其上部是半圆形,下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成.已知半圆的半径为acm,长方形的长和宽分别为bcm和ccm.给出下面四个结论:①窗户外围的周长是(πa+3b+2c)cm;②窗户的面积是(πa2+2bc+b2)cm2;③b+2c=2a;④b=3c.上述结论中,所有正确结论的序号是()A.①② B.①③ C.②④ D.③④二、填空题(将结果填在题中横线上)11.一支铅笔的价格是a元,一块橡皮的价格是b元,买3支铅笔和7块橡皮应付元.

12.一个长方体容器的底面是长为a,宽为b的长方形,将体积为V的水倒入这个长方体容器,则水面的高度为.(用含a,b,V的式子表示)

13.若比-2大3的数为x,-5的绝对值为y,-14的4倍为z,则x+y+z=.14.已知甲、乙两种书的售价分别为12元/本、20元/本,现购买a本甲书和b本乙书,共付款W元.(1)W=;(用含a,b的式子表示)

(2)若|a-2|+(b-1)2=0,则W的值为.

15.一组数-2,5,-8,11,-14,17……按这样的规律排列下去,则第10个数为.

16.某超市以m元/袋的价格购进了200袋相同的酱料,加价50%卖出了180袋,剩余每袋比进价增加n元后全部卖出,卖完这批酱料该超市可获得利润元.(用含m,n的代数式表示)

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.用代数式表示:(1)长为x,宽为y的长方形的面积;(2)棱长为a的正方体的表面积;(3)某班总人数为m,女生人数是男生人数的35(4)a的相反数与b的倒数的和(b≠0);(5)x,y两数的平方和减去它们积的2倍;(6)底面半径为r,体积为V的圆锥的高.18.下图是一个“数值转换机”的示意图.输入x→乘4→减6→除以2→输出(1)输出的结果用含x的代数式表示为;

(2)当输入x=13时,求输出的值19.已知m是6的相反数,n比-m的相反数大3.(1)直接写出m=,n=.

(2)求-n-m+7的值.20.某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价300元,领带每条定价40元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案.方案一:买一套西装送一条领带;方案二:西装和领带的定价打九折付款.现有某客户要到该服装厂购买西装50套,领带x条(x>50).(1)若该客户按方案一购买,需付款元.(用含x的代数式表示)

若该客户按方案二购买,需付款元.(用含x的代数式表示)

(2)若该客户购买西装50套,领带60条,请通过计算说明按哪种方案购买较为合算.(3)若该客户购买西装50套,领带200条,请通过计算说明按哪种方案购买较为合算.21.观察、探究、应用(1)在下列横线上用含有a,b的代数式表示相应图形的面积.①②③④

(2)通过拼图,你发现前3个图形的面积与第4个图形的面积之间有什么关系?请用数学式子表示:(用含字母a,b的等式表示).

(3)利用(2)的结论计算:①172+2×17×3+32;②1992+398+1的值.综合训练1.C2.C3.C4.C5.C6.B7.A解析:因为x◎y=xy-y2,所以12◎(-2)=12×(-2)-(-2)2=-1-4=-8.D9.C10.B解析:根据题干图形,可知窗户的周长是12×2π×a+b+c+b+c+b=(πa+3b+2c)cm,故①正确窗户的面积是12πa2+2bc+b2,故②错误由题干图形可知b+2c=2a,故③正确;由b+2c=2a,得不出b和c之间的关系,故④错误.故选B.11.(3a+7b)12.V13.514.(1)(12a+20b)(2)4415.2916.(90m+20n)17.解:(1)xy;(2)6a2;(3)58m;(4)-a+1b;(5)x2+y2-2xy;(6)18.解:(1)2