2025-2026年四川省人教版高二数学第四十一章数列与立体几何综合练习题

2025-2026年四川省人教版高二数学第四十一章数列与立体几何综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.3n+2C.2n+1D.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2，化简为a_n=6n-3。选项B、C、D均不符合计算结果，正确答案为A。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n∈N），则b_10的值为（）A.191B.192C.193D.194解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_n=b_1+2(1+2+…+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1，代入n=10得b_10=10×11+1=191，正确答案为A。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n，则c_4的值为（）A.8B.10C.12D.14解析：由数列前n项和与通项关系c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且c_1=S_1=2^1-1=1，则c_4=S_4-S_3=2^4-4-(2^3-3)=8-4-5=1，正确答案为A。4.在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，底面△ABC的边长均为2，侧棱AA_1=2，则点A_1到平面BCC_1B_1的距离为（）A.√3B.√2C.√5D.2√2解析：取BC中点D，连接AD、A_1D，由底面等边三角形性质AD⊥BC，AA_1⊥底面ABC，得AD⊥平面BCC_1B_1，故A_1D为所求距离。在直角三角形A_1AD中，AD=√3，A_1D=√(AA_1^2+AD^2)=√(2^2+(√3)^2)=√7，正确答案为C。5.已知直四棱柱P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=2，则对角线AC_1与BD所成角的余弦值为（）A.1/2B.1/√3C.√2/2D.√3/2解析：取AC中点O，连接PO，由底面菱形性质AC⊥BD，PA⊥底面，得AC_1⊥BD，∠POA为所求角。设AB=2，则AO=√3，PO=√(PA^2+AO^2)=√(2^2+(√3)^2)=√7，cos∠POA=AO/PO=√3/√7，正确答案为B。6.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的前5项和d_1+d_2+…+d_5的值为（）A.120B.126C.132D.138解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=6，d_4=54可得6=d_1q，54=6q^2，解得q=3，d_1=2。前5项和S_5=2(1+3+9+27+81)=2×121=242，正确答案为D。7.在正方体E-ABCD-A_1B_1C_1D_1中，点P为棱CC_1的中点，则直线AP与平面EBD所成角的正弦值为（）A.1/3B.1/√3C.√2/3D.√3/3解析：取BD中点O，连接AO、PO，由正方体性质AO⊥平面EBD，AP⊥AO，∠APO为所求角。设正方体边长为2，则AO=√2，PO=√(OC^2+PC^2)=√(1^2+1^2)=√2，AP=√(AO^2+PO^2)=√(2+2)=2√2，sin∠APO=AO/AP=√2/(2√2)=1/2，正确答案为B。8.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，则e_3的值为（）A.7B.9C.11D.13解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），且e_1=T_1=3，则e_3=T_3-T_2=9+3+1-(4+2+1)=7，正确答案为A。9.在直三棱柱F-GHI中，底面△GHI为直角三角形，∠GHI=90°，GH=2，HI=1，FG=3，则点F到平面GHI的距离为（）A.√5B.√6C.√7D.√8解析：取GH中点M，连接FM、IM，由直角三角形性质GM⊥HI，FG⊥底面GHI，得FM⊥平面GHI，故FM为所求距离。在直角三角形FHM中，FM=√(FH^2-HM^2)=√(3^2-(√5)^2)=√4=2，正确答案为A。10.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），则f_10的值为（）A.1023B.1024C.1025D.1026解析：由递推关系f_n+1=2f_n+1，可得f_n=2^n-1，代入n=10得f_10=2^10-1=1023，正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值为______。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，得a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=18，答案为18。2.若数列{h_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则h_5的值为______。解：h_5=S_5-S_4=3×25-2×5-(3×16-2×4)=75-10-48+8=25，答案为25。3.在等比数列{i_n}中，若i_2=4，i_3=16，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列性质i_3/i_2=q，得q=16/4=4，答案为4。4.已知直四棱柱J-KLMN的底面KLMN是矩形，KL=3，KM=4，JK=5，则对角线KL_1与MN所成角的余弦值为______。解：取KM中点O，连接JO，由矩形性质JO⊥MN，JK⊥底面，得∠JOJ_1为所求角。cos∠JOJ_1=JO/JJ_1=3/5，答案为3/5。5.在正方体P-qrst中，点A为棱st的中点，则直线AP与平面qrs所成角的正弦值为______。解：取qr中点B，连接AB、PB，由正方体性质AB⊥平面qrs，AP⊥AB，∠APB为所求角。设正方体边长为2，则AB=√2，AP=√(AB^2+PB^2)=√(2+2)=2√2，sin∠APB=AB/AP=√2/(2√2)=1/2，答案为1/2。6.已知数列{j_n}的前n项和T_n=2^n-n^2，则j_4的值为______。解：j_4=T_4-T_3=16-4^2-(8-9)=16-16+1=1，答案为1。7.在直三棱柱V-wxyz中，底面△wxy为等边三角形，边长为2，VW=3，则点V到平面wxy的距离为______。解：取wx中点M，连接VM，由等边三角形性质VM⊥平面wxy，VW⊥底面，得VM为所求距离。VM=√(VW^2-WM^2)=√(3^2-1^2)=2√2，答案为2√2。8.已知数列{k_n}满足k_1=2，k_n+1=3k_n-1（n∈N），则k_6的值为______。解：由递推关系k_n+1-1=3(k_n-1)，可得k_n-1=2^n，k_n=2^n+1，代入n=6得k_6=2^6+1=65，答案为65。9.在正方体Q-abc中，点D为棱ab的中点，则直线CD与平面Qac所成角的正弦值为______。解：取ac中点E，连接DE，由正方体性质DE⊥平面Qac，CD⊥DE，∠CDE为所求角。设正方体边长为2，则DE=√2，CD=√(DE^2+CE^2)=√(2+2)=2√2，sin∠CDE=DE/CD=√2/(2√2)=1/2，答案为1/2。10.已知数列{l_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则l_10的值为______。解：l_10=S_10-S_9=55-45=10，答案为10。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{m_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=10。解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，得a_5=10，同理a_5+a_7=2a_6=10，正确，答案为正确。2.若数列{n_n}的前n项和S_n=n^2+n，则{n_n}是等差数列。解：n_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，是等差数列，正确，答案为正确。3.在正方体R-xyz中，对角线xy与平面xyz所成角的余弦值为√3/2。解：取yz中点M，连接XM，由正方体性质XM⊥平面xyz，xy⊥XM，∠XMY为所求角。cos∠XMY=XM/XY=√2/2，错误，答案为错误。4.在直三棱柱S-tuv中，侧棱st垂直于底面△tuv，则uv⊥平面stv。解：由直三棱柱性质st⊥底面，uv⊂底面，得uv⊥st，但uv与平面stv不一定垂直，错误，答案为错误。5.已知数列{p_n}满足p_n+1=p_n+2，则{p_n}是等比数列。解：递推关系p_n+1-p_n=2，是等差数列，不是等比数列，错误，答案为错误。6.在正方体T-abc中，对角线ac与平面tab所成角的正弦值为1/2。解：取ab中点M，连接CM，由正方体性质CM⊥平面tab，ac⊥CM，∠CMA为所求角。sin∠CMA=CM/AC=√2/2，错误，答案为错误。7.若数列{q_n}的前n项和T_n=2^n-n^2，则q_n是递增数列。解：q_n=T_n-T_{n-1}=2^n-n^2-(2^{n-1}-(n-1)^2)=2^n-n^2-2^{n-1}+(n-1)^2=2^{n-1}-2n+1，当n=1时q_1=1，n=2时q_2=-1，不是递增数列，错误，答案为错误。8.在直四棱柱U-vwxy中，底面vwxy是菱形，则对角线vx与wy所成角的余弦值为1/2。解：取wy中点M，连接VM，由菱形性质VM⊥平面vwxy，vx⊥VM，∠VMX为所求角。cos∠VMX=VM/VX=√2/2，错误，答案为错误。9.已知数列{r_n}满足r_1=1，r_n+1=2r_n+1，则r_n=2^n-1。解：由递推关系r_n+1-1=2(r_n-1)，可得r_n-1=2^{n-1}，r_n=2^{n-1}+1，错误，答案为错误。10.在正方体W-abc中，点E为棱ab的中点，则直线ce与平面Wac所成角的正弦值为1/2。解：取ac中点F，连接EF，由正方体性质EF⊥平面Wac，ce⊥EF，∠CEF为所求角。sin∠CEF=EF/CE=√2/2，错误，答案为错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_4=10，a_7=19，求该数列的通项公式。解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_5.5，得10+19=2a_5.5，a_5.5=14.5，又a_5.5=a_1+4.5d，a_4=a_1+3d，联立解得a_1=1，d=3，故a_n=1+(n-1)×3=3n-2。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求b_3的值。解：b_3=S_3-S_2=6-3=3。3.在正方体X-abc中，点P为棱bc的中点，求直线ap与平面abc所成角的正弦值。解：取ac中点M，连接PM，由正方体性质PM⊥平面abc，ap⊥PM，∠PAM为所求角。设正方体边长为2，则PM=√2，AP=√(AM^2+PM^2)=√(1^2+(√2)^2)=√3，sin∠PAM=PM/AP=√2/√3=√6/3。4.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1，求c_5的值。解：由递推关系c_n+1-1=2(c_n-1)，可得c_n-1=2^{n-1}，c_n=2^{n-1}+1，代入n=5得c_5=2^4+1=17。5.在直三棱柱Y-zxy中，底面△zxy为直角三角形，∠zxy=90°，zx=3，zy=4，yz=5，求点y到平面zxy的距离。解：取zx中点M，连接ym，由直角三角形性质ym⊥平面zxy，yz⊥ym，∠yzm为所求角。ym=√(yz^2-zx^2)=√(25-9)=4，yz=5，sin∠yzm=ym/yz=4/5。6.已知等比数列{d_n}中，d_2=6，d_4=54，求该数列的前4项和。解：由等比数列性质d_4/d_2=q^2，得q=3，d_1=6/3=2，前4项和S_4=2(1+3+9+27)=2×40=80。7.在正方体Z-abc中，点Q为棱ab的中点，求直线cQ与平面zbc所成角的余弦值。解：取zb中点N，连接QN，由正方体性质QN⊥平面zbc，cQ⊥QN，∠QNC为所求角。设正方体边长为2，则QN=√2，CQ=√(CN^2+QN^2)=√(1^2+(√2)^2)=√3，cos∠QNC=QN/CQ=√2/√3=√6/3。8.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，求e_n与n的关系。解：e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n+1-(n-1)^2-(n-1)+1=2n，故e_n=2n。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在等差数列{f_n}中，若a_1=5，a_5=15，求数列的前10项和。解：由等差数列性质a_5=a_1+4d，得15=5+4d，d=2.5，前10项和S_10=10×5+(10×9/2)×2.5=275。2.若数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-n，求g_6的值。解：g_6=S_6-S_5=729-243=486。3.在正方体A-abc中，点R为棱ac的中点，求直线AR与平面abc所成角的正弦值。解：取ab中点M，连接RM，由正方体性质RM⊥平面abc，AR⊥RM，∠ARM为所求角。设正方体边长为2，则RM=√2，AR=√(AM^2+RM^2)=√(1^2+(√2)^2)=√3，sin∠ARM=RM/AR=√2/√3=√6/3。4.已知等比数列{h_n}中，h_1=2，h_4=32，求该数列的前7项和。解：由等比数列性质h_4/h_1=q^3，得q=4，前7项和S_7=2(1+4+16+64+256+1024+4096)=8192。5.在直三棱柱B-def中，底面△def为等腰直角三角形，∠df=90°，df=4，de=4√2，df_1=3，求点e到平面def_1的距离。解：取df中点M，连接em，由直角三角形性质em⊥平面def，de⊥em，∠dem为所求角。em=√(de^2-df^2)=√(32-16)=4，de=4√2，sin∠dem=em/de=4/(4√2)=1/√2。6.已知数列{i_n}满足i_1=3，i_n+1=3i_n-2，求i_10的值。解：由递推关系i_n+1-1=3(i_n-1)，可得i_n-1=2^{n-1}，i_n=2^{n-1}+1，代入n=10得i_10=2^9+1=513。7.在正方体C-ghij中，点S为棱ij的中点，求直线CS与平面ghi所成角的余弦值。解：取gh中点T，连接st，由正方体性质st⊥平面ghi，cs⊥st，∠cst为所求角。设正方体边长为2，则st=√2，cs=√(ct^2+st^2)=√(1^2+(√2)^2)=√3，cos∠cst=st/cs=√2/√3=√6/3。8.已知数列{j_n}的前n项和T_n=n^2+n，求j_5的值。解：j_5=T_5-T_4=30-20=10。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.D4.C5.B6.C7.B8.A9.A10.A解析：1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，a_5=a_1+4d=9，a_1=3，d=3/2，a_n=3+(n-1)×3/2=6n-3。2.递推关系b_n+1=b_n+2n，b_n